Harika bir alıştırma kağıdı! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutmayın, matematikte her sorunun bir mantığı vardır. Önemli olan o mantığı kavramak. Haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulunuz.
Bir sayının çarpanlarını bulmak, o sayıyı hangi iki sayının çarpımının oluşturduğunu bulmak demektir. Gökkuşağı yöntemi dediğimiz bir yöntemle kolayca bulabiliriz. Baştaki ve sondaki sayıların çarpımı her zaman sayının kendisini verir.
a. 15 →
15’i hangi sayıların çarptığını düşünelim:
1 x 15 = 15
3 x 5 = 15
Sonuç: 15’in pozitif tam sayı çarpanları 1, 3, 5, 15‘tir.
b. 24 →
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Sonuç: 24’ün pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24‘tür.
c. 40 →
1 x 40 = 40
2 x 20 = 40
4 x 10 = 40
5 x 8 = 40
Sonuç: 40’ın pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40‘tır.
ç. 60 →
1 x 60 = 60
2 x 30 = 60
3 x 20 = 60
4 x 15 = 60
5 x 12 = 60
6 x 10 = 60
Sonuç: 60’ın pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60‘tır.
d. 72 →
1 x 72 = 72
2 x 36 = 72
3 x 24 = 72
4 x 18 = 72
6 x 12 = 72
8 x 9 = 72
Sonuç: 72’nin pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72‘dir.
e. 96 →
1 x 96 = 96
2 x 48 = 96
3 x 32 = 96
4 x 24 = 96
6 x 16 = 96
8 x 12 = 96
Sonuç: 96’nın pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96‘dır.
2. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, x ∙ y = 36 ise x + y ifadesinin en küçük ve en büyük değerini bulunuz.
Bu soruda bize çarpımları 36 olan iki sayı bulmamız ve bu sayıların toplamlarının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulmamız isteniyor. Çok önemli bir kuralımız var çocuklar: Çarpımları sabit olan iki sayının toplamının en büyük olması için sayıları birbirinden olabildiğince uzak seçeriz. Toplamın en küçük olması için ise sayıları birbirine olabildiğince yakın seçeriz.
Adım 1: Çarpımları 36 olan tüm pozitif tam sayı ikililerini yazalım.
1 x 36 = 36
2 x 18 = 36
3 x 12 = 36
4 x 9 = 36
6 x 6 = 36
Adım 2: Şimdi bu sayı ikililerini toplayalım.
1 + 36 = 37
2 + 18 = 20
3 + 12 = 15
4 + 9 = 13
6 + 6 = 12
Adım 3: En büyük ve en küçük değerleri bulalım.
Gördüğümüz gibi, birbirine en uzak sayılar olan 1 ve 36’nın toplamı en büyük değeri verdi. Birbirine en yakın (hatta eşit) olan 6 ve 6’nın toplamı ise en küçük değeri verdi.
Sonuç:
En büyük değer: 37
En küçük değer: 12
3. Aşağıdaki pozitif tam sayıları asal sayıların çarpımı olarak yazınız.
Bu soruda asal çarpan algoritmasını (bölen listesi) kullanacağız. Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye çalışacağız, ta ki sonuç 1 olana kadar.
a. 72
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
Sonuç:72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
b. 100
100 | 2
50 | 2
25 | 5
5 | 5
1 |
Sonuç:100 = 2 x 2 x 5 x 5
c. 120
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |
Sonuç:120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
ç. 675
675 | 3 (Rakamları toplamı 6+7+5=18, 3’e bölünür)
225 | 3 (Rakamları toplamı 2+2+5=9, 3’e bölünür)
75 | 3 (Rakamları toplamı 7+5=12, 3’e bölünür)
25 | 5
5 | 5
1 |
Sonuç:675 = 3 x 3 x 3 x 5 x 5
d. 1372
1372 | 2
686 | 2
343 | 7 (343, 7’nin küpüdür, bunu ezbere bilmek işinizi kolaylaştırır!)
49 | 7
7 | 7
1 |
Sonuç:1372 = 2 x 2 x 7 x 7 x 7
e. 2904
2904 | 2
1452 | 2
726 | 2
363 | 3 (Rakamları toplamı 3+6+3=12, 3’e bölünür)
121 | 11 (121, 11’in karesidir!)
11 | 11
1 |
Sonuç:2904 = 2 x 2 x 2 x 3 x 11 x 11
4. Aşağıdaki pozitif tam sayıları tabanları asal sayı olacak şekilde üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Bu soru aslında bir önceki sorunun devamı niteliğinde. Asal çarpanlarını bulduktan sonra aynı olanları üslü olarak yazacağız. Mesela 2 x 2 x 2 yerine 2³ yazmak gibi.
a. 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁶
b. 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴
c. 1125 = 3 x 3 x 5 x 5 x 5 = 3² x 5³
ç. 784 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 7 = 2⁴ x 7²
d. 1800 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 2³ x 3² x 5²
e. 4459 = Bu sayı biraz zorlayıcı. Sırayla asal sayılara bölmeyi deneyelim. 2, 3, 5’e bölünmez. 7’ye bölelim: 4459 / 7 = 637. Şimdi 637’yi bölelim. 637 / 7 = 91. 91 tanıdık geldi, 7’ye bölünür: 91 / 7 = 13. 13 de asal bir sayıdır. O zaman: 7 x 7 x 7 x 13 = 7³ x 13¹
5. Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.
Bu soruyu çözmek için önce 120 sayısını iyice analiz etmeliyiz. Asal çarpanlarına ayıralım:
120 = 2³ x 3¹ x 5¹
Asal çarpanları: 2, 3, 5
Şimdi ifadelere bakalım:
(…) a. 120 sayısının en büyük pozitif tam sayı çarpanı 60’tır.
(Y) – Yanlış. Bir sayının en büyük pozitif tam sayı çarpanı her zaman kendisidir. Yani 120’dir.
(…) b. 120 sayısının en büyük asal çarpanı 5’tir.
(D) – Doğru. 120’nin asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Bunların en büyüğü 5’tir.
(…) c. 120 sayısının asal çarpanları toplamı 11’dir.
(Y) – Yanlış. Asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Toplamları ise 2 + 3 + 5 = 10 eder, 11 değil.
(…) ç. 120 sayısının 12 tane pozitif tam sayı çarpanı vardır.
(Y) – Yanlış. Pozitif çarpan sayısını bulmak için sayıyı üslü ifade olarak yazdıktan sonra üsleri birer artırıp çarparız. 120 = 2³ x 3¹ x 5¹. Üsler 3, 1 ve 1. Birer artıralım: (3+1) x (1+1) x (1+1) = 4 x 2 x 2 = 16. Demek ki 120’nin 16 tane pozitif tam sayı çarpanı varmış, 12 değil.
6. Asal çarpanları 2, 3, 11 olan dört basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır?
Bu soruda aradığımız sayı hem 2’ye, hem 3’e, hem de 11’e bölünmeli. Yani bu sayıların ortak katı olmalı. En küçük dediği için önce bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
Adım 1: Sayının içermesi gereken en temel asal çarpanları çarpalım.
2 x 3 x 11 = 66
Bu, asal çarpanları 2, 3 ve 11 olan en küçük sayıdır. Ama bizden dört basamaklı en küçük sayıyı istiyor.
Adım 2: 66’nın katlarını alarak 1000’i (dört basamaklı en küçük sayı) geçen ilk sayıyı bulmalıyız. Ancak bir şartımız var: 66’yı çarpacağımız sayıların da asal çarpanları sadece 2, 3 veya 11 olabilir. Çünkü başka bir asal sayı (mesela 5) ile çarparsak, sonucun asal çarpanları arasına 5 de eklenmiş olur ki bunu istemiyoruz.
Adım 3: 1000’i 66’ya bölelim ve hangi katına yakın olduğuna bakalım.
1000 / 66 ≈ 15,15
Demek ki 66’yı 15,15’ten büyük ve asal çarpanları sadece 2, 3, 11 olan en küçük sayıyla çarpmalıyız. Bu sayı kaçtır? Deneyelim:
16 olabilir mi? 16 = 2⁴. Evet, sadece 2’den oluşuyor. 16 > 15,15. Bu bir aday.
15’ten büyük başka ne olabilir? 3³ = 27 (çok büyük), 2×11=22 (büyük), 3x3x2=18 (büyük). En küçüğü 16 gibi duruyor.
Adım 4: Sayımızı bulalım.
66 x 16 = 1056
Kontrol edelim: 1056 dört basamaklı mı? Evet. Asal çarpanları sadece 2, 3 ve 11 mi? Evet, çünkü 1056 = (2x3x11) x (2⁴) = 2⁵ x 3¹ x 11¹.
Sonuç: Doğru cevap C) 1056‘dır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!