Merhaba sevgili öğrencilerim!
Ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeninizim. Gönderdiğiniz görseldeki “Gerçek Sayılar” konusuyla ilgili örnekleri şimdi hep birlikte, adım adım inceleyip çözeceğiz. Unutmayın, matematik sabır ve anlama işidir. Takıldığınız yerleri tekrar tekrar okumaktan çekinmeyin.
Görselde ilk olarak Pi (π) sayısından bahsedilmiş. Farklı medeniyetlerin Pi sayısını neden farklı değerlerde bulduğunu merak etmişsinizdir. Bunun sebebi, Pi sayısının irrasyonel bir sayı olmasıdır. Yani ondalık kısmı sonsuza kadar hiçbir düzen olmadan devam eder. Bu yüzden insanlar tarih boyunca onun sadece yaklaşık değerlerini bulabilmişlerdir.
Şimdi gelelim asıl konumuz olan örneğimize. Bu örnekte bizden istenen, verilen sayıların rasyonel sayı olup olmadığını bulmak. Rasyonel sayı neydi bir hatırlayalım: a ve b birer tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklinde, yani iki tam sayının oranı (kesir) olarak yazılabilen sayılara rasyonel sayı diyorduk.
Haydi başlayalım!
1. Örnek: Aşağıda verilen sayıların iki tam sayının oranı şeklinde yazılıp yazılmadığını araştıralım.
a) -25
Çözüm:
- Adım 1: -25 sayısı bir tam sayıdır. Aklımıza şu soruyu getirelim: “Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayı mıdır?”
- Adım 2: Rasyonel sayı tanımını düşünelim, a/b şeklinde yazılabilmesi gerekiyordu. Her tam sayının paydasında gizli bir 1 olduğunu unutmayalım.
- Adım 3: Bu durumda -25 sayısını -25 / 1 şeklinde yazabiliriz. Burada -25 bir tam sayı, 1 de bir tam sayıdır ve paydamız 0 değildir.
Sonuç:
-25 sayısı, iki tam sayının oranı olarak yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.
b) 3,24
Çözüm:
- Adım 1: 3,24 bir ondalık sayıdır. Ondalık sayıları kesre çevirme kuralını hatırlayalım. Sayının tamamını virgülsüz bir şekilde paya yazarız. Yani 324.
- Adım 2: Paydaya ise 1 yazarız ve virgülden sonra kaç tane rakam varsa o kadar sıfır ekleriz. Virgülden sonra “24” yani iki rakam var. O halde paydaya iki sıfır ekleyerek 100 yazarız. Kesrimiz 324 / 100 oldu.
- Adım 3: Bu kesir rasyonel sayı tanımına uyuyor. İstersek en sade halini bulabiliriz. Hem payı hem de paydayı 4’e bölelim. 324 ÷ 4 = 81 ve 100 ÷ 4 = 25.
Sonuç:
3,24 sayısı, 81 / 25 şeklinde iki tam sayının oranı olarak yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.
c) √121
Çözüm:
- Adım 1: Bu bir kareköklü ifade. Önce karekökün dışına çıkıp çıkmadığını kontrol etmeliyiz. “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 121’dir?” diye düşünelim.
- Adım 2: 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121. Harika! Demek ki 121 bir tam kare sayıdır ve kök dışına 11 olarak çıkar.
- Adım 3: Artık sayımız 11. Tıpkı ‘a’ şıkkında olduğu gibi, 11 bir tam sayıdır ve paydasına 1 yazarak 11 / 1 şeklinde gösterebiliriz.
Sonuç:
√121 sayısı, 11’e eşit olduğu ve 11 / 1 şeklinde yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.(Unutmayın, kök dışına tam sayı olarak çıkabilen tüm köklü sayılar rasyoneldir!)
ç) 2,4 (4’ün üzerinde devir çizgisi var)
Çözüm:
Bu sayı 2,444… şeklinde sonsuza kadar devam eden bir devirli ondalık sayıdır. Devirli sayıları rasyonel sayıya çevirmek için özel bir formülümüz vardı. Haydi hatırlayalım:
(Sayının Tamamı – Devretmeyen Kısım) / (Virgülden Sonra Devreden Basamak Sayısı Kadar 9)
- Adım 1: Formülü uygulayalım. Sayının tamamı (virgülü ve devir çizgisini görmeden): 24.
- Adım 2: Sayıda devretmeyen kısım (üzerinde çizgi olmayan kısım): 2.
- Adım 3: Payımızı hesaplayalım: 24 – 2 = 22.
- Adım 4: Paydamız için virgülden sonrasına bakıyoruz. Sadece 4’ün üzerinde çizgi var, yani devreden bir tane basamak var. O halde paydaya bir tane 9 yazıyoruz.
Sonuç:
2,4 devirli ondalık sayısı, 22 / 9 şeklinde iki tam sayının oranı olarak yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Gördüğünüz gibi, tam sayılar, ondalık sayılar, devirli ondalık sayılar ve kök dışına tam çıkabilen sayılar rasyonel sayılar ailesinin birer üyesidir. Hepinize iyi çalışmalar dilerim