Anlık görüntüleyici sayısı yükleniyor…
Çözümü Değerlendir
Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte alıştırmalarımızdaki soruları çözeceğiz. Matematik yolculuğumuzda bu problemlerle bilginizi pekiştireceğiz. Hazırsanız başlayalım!
1. Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
Bu soruda bizden bazı cebirsel ifadelerin çarpanlarına ayrılması isteniyor. Çarpanlara ayırma, bir ifadeyi çarpım şeklinde yazmak demektir.
a) 4x + 4
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için ortak çarpanları bulmalıyız. Hem 4x hem de 4’ün ortak çarpanı 4’tür.
4x + 4 = 4 * (x + 1)
b) 25a² + 5a
Burada da ortak çarpanları bulalım. Hem 25a² hem de 5a’da ortak çarpanlar 5 ve a’dır. Yani 5a’dır.
25a² + 5a = 5a * (5a + 1)
c) 10x²b + 20xb²
Bu ifadede hem sayılar hem de harfler ortak çarpanlar içerebilir. Sayılardan 10 ve 20’nin ortak çarpanı 10’dur. Harflerden x² ve x’in ortak çarpanı x’tir. b ve b²’nin ortak çarpanı b’dir. Yani ortak çarpanımız 10xb’dir.
10x²b + 20xb² = 10xb * (x + 2b)
d) a² + 16a + 64
Bu ifadeye baktığımızda, bir tam kare ifade olabileceğini düşünebiliriz. İlk terim a² (yani a’nın karesi), son terim 64 (yani 8’in karesi) ve ortadaki terim 16a. Ortadaki terim, ilk ve son terimlerin kareköklerinin çarpımının 2 katı mı diye kontrol edelim: 2 * a * 8 = 16a. Evet, bu bir tam kare ifadedir.
a² + 16a + 64 = (a + 8)²
e) 64a² – 100b⁴
Bu ifade iki kare farkı şeklinde görünüyor. İlk terim 64a² = (8a)² ve ikinci terim 100b⁴ = (10b²)²’dir. İki kare farkı özdeşliği (x² – y² = (x – y)(x + y)) kullanarak çarpanlarına ayırabiliriz.
64a² – 100b⁴ = (8a – 10b²)(8a + 10b²)
2. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlara “D”, yanlış olanlara “Y” yazınız.
Bu soruda verilen eşitliklerin doğruluğunu kontrol edeceğiz.
a. (….) x² – 100 = (x – 10) ⋅ (x + 10)
Bu ifade iki kare farkı özdeşliğine uymaktadır. x²’nin karekökü x, 100’ün karekökü 10’dur. Dolayısıyla (x – 10)(x + 10) = x² – 100’dür. Bu nedenle bu ifade doğrudur.
Cevap: D
b. (….) 15x²y + 20xy² = 5xy (3x + 4y)
Sol taraftaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Ortak çarpanlar 5, x ve y’dir. Yani 5xy.
15x²y + 20xy² = 5xy * (3x + 4y)
Bu ifade doğrudur.
Cevap: D
c. (….) y² + 2ya + a² = (y + a)²
Bu ifade, tam kare özdeşliğinin bir örneğidir. (y + a)² = y² + 2ya + a² şeklinde açılır. Bu nedenle ifade doğrudur.
Cevap: D
ç. (….) 50a² + 50b² = 50 ⋅ (a – b) ⋅ (a + b)
Sol taraftaki ifadeyi 50 parantezine alırsak: 50(a² + b²).
Sağ taraftaki ifadeyi çarparsak: 50(a² – b²).
Bu iki ifade birbirine eşit değildir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Cevap: Y
d. (….) 81a² – 144 = (9a – 12) ⋅ (9a + 12)
Bu ifade de iki kare farkı şeklindedir. 81a² = (9a)² ve 144 = 12².
Dolayısıyla, 81a² – 144 = (9a – 12)(9a + 12) olmalıdır. Bu ifade doğrudur.
Cevap: D
e. (….) 25 – 30x + 9x² = (5 – 3x) ⋅ (5 + 3x)
Sol taraftaki ifadeye bakalım. 25 = 5², 9x² = (3x)². Ortadaki terim -30x. Bu tam kare ifadeye benziyor. (5 – 3x)² = 25 – 30x + 9x² şeklinde açılır.
Sağ taraftaki ifade ise iki kare farkı şeklindedir: (5 – 3x)(5 + 3x) = 25 – 9x².
Bu iki ifade birbirine eşit değildir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Cevap: Y
3. 200² – 180² = A ⋅ 76 olduğuna göre A kaçtır?
Bu soruyu çözmek için yine iki kare farkı özdeşliğini kullanabiliriz.
200² – 180² = (200 – 180) ⋅ (200 + 180)
Şimdi bu işlemleri yapalım:
200 – 180 = 20
200 + 180 = 380
Yani, 200² – 180² = 20 ⋅ 380
Şimdi bu çarpımı hesaplayalım:
380
x 20
—–
000
7600
—–
7600
Demek ki, 200² – 180² = 7600.
Soruda bize 200² – 180² = A ⋅ 76 olarak verilmişti.
O halde, 7600 = A ⋅ 76.
A’yı bulmak için 7600’ü 76’ya bölmeliyiz.
7600 / 76 = 100
Dolayısıyla A = 100’dür.
Sonuç: A = 100
4. Yanda verilen boyalı bölgenin alanını veren cebirsel ifadeyi ve bu cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış hâlini yazınız.
Görseldeki boyalı bölge bir dikdörtgendir. Dikdörtgenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarpmamız gerekir.
Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu x olarak verilmiş.
Diğer kenar uzunluğu ise 5 br + 5 br olarak verilmiş, yani toplamda 10 br’dir.
Bu durumda, boyalı bölgenin alanını veren cebirsel ifade:
Alan = Kenar 1 ⋅ Kenar 2
Alan = x ⋅ (5 + 5)
Alan = x ⋅ 10
Alan = 10x
Bu ifade zaten en basit haliyle verilmiş, yani çarpanlarına ayrılmış haliyle de 10x olarak kalır. Ancak soruda “cebirsel ifadeyi ve bu cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış hâlini” soruyor. Burada bir karmaşa olabilir. Eğer soruda bahsedilen dikdörtgenin kenarları x ve x+5 olsaydı, alan x(x+5) olurdu ve çarpanlarına ayrılmış hali de x(x+5) olurdu. Ancak görseldeki şekle göre kenarlar x ve 10’dur.
Eğer soruda bahsedilen şekil, büyük bir kare ve içinden küçük bir kare çıkarılmış hali ise, bu durumda alan farklı hesaplanır. Ancak görselde sadece bir dikdörtgen gösterilmiş ve kenarları x ve (5+5=10) olarak görünüyor.
Eğer şekil, kenarları x+5 olan bir kareden, kenarı x olan bir karenin çıkarılması şeklinde yorumlanırsa;
Büyük Karenin Alanı = (x+5)²
Küçük Karenin Alanı = x²
Boyalı Alan = (x+5)² – x² = (x² + 10x + 25) – x² = 10x + 25
Bu durumda, 10x + 25 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali:
10x + 25 = 5(2x + 5)
Ancak görseldeki şekil daha çok kenarları x ve 10 olan bir dikdörtgeni tarif ediyor gibi. Şeklin yanındaki küçük kutucuklar, büyük şeklin kenar uzunluklarını ifade ediyor olabilir. O kutucuklarda 5 br ve 5 br yazıyor. Bu, büyük şeklin bir kenarının 5+5=10 olduğunu gösteriyor. Diğer kenarı da x olarak verilmiş.
Bu durumda,
Cebirsel İfade (Alan): 10x
Çarpanlarına Ayrılmış Hali: 10x (zaten en sade hali)
Eğer soru, yan taraftaki küçük kareleri birleştirip büyük dikdörtgenin alanını sorduğunu varsayarsak, büyük dikdörtgenin kenarları x ve (5+5=10) olur. Alan = 10x.
Ancak, eğer şekil şu şekilde yorumlanırsa: Kenarı (x+5) olan bir kareden, kenarı x olan bir karenin çıkarılması ve kalan kısmın alanı soruluyorsa, o zaman alan 10x+25 olur ve çarpanları 5(2x+5) olur. Görseldeki küçük karelerin üzerindeki “5 br” ibaresi, bu yoruma daha uygun gibi duruyor.
Bu durumda,
Cebirsel İfade (Alan):
(x + 5)² – x²
Bu ifadeyi açalım:
(x + 5)² = x² + 2 ⋅ x ⋅ 5 + 5² = x² + 10x + 25
Şimdi büyük kareden küçük kareyi çıkaralım:
Alan = (x² + 10x + 25) – x²
Alan = 10x + 25
Çarpanlarına Ayrılmış Hali:
Şimdi 10x + 25 ifadesini çarpanlarına ayıralım. Ortak çarpan 5’tir.
10x + 25 = 5 ⋅ (2x + 5)
Sonuç: Cebirsel İfade: 10x + 25, Çarpanlarına Ayrılmış Hali: 5(2x + 5)
5. x – 9 = √5 olduğuna göre 2x² – 36x + 162 ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soruda verilen bilgiyi kullanarak istenen ifadenin değerini bulacağız.
İlk olarak verilen eşitlikten x’i yalnız bırakalım:
x – 9 = √5
x = 9 + √5
Şimdi istenen ifadeye bakalım: 2x² – 36x + 162
Bu ifadeye dikkatli bakarsak, bir tam kare ifadeye benzeyebilir.
2x² – 36x + 162
Bu ifadeden 2’yi ortak çarpan parantezine alabilir miyiz diye bakalım:
2(x² – 18x + 81)
Parantez içindeki ifadeye bakalım: x² – 18x + 81
Bu ifade bir tam kare ifadedir. x²’nin karekökü x, 81’in karekökü 9’dur. Ortadaki terim ise -18x’tir.
Kontrol edelim: (x – 9)² = x² – 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9² = x² – 18x + 81
Evet, parantez içindeki ifade (x – 9)²’ye eşittir.
Yani, 2x² – 36x + 162 = 2(x – 9)²
Bize soruda x – 9 = √5 olarak verilmişti.
O halde, (x – 9)² = (√5)² = 5 olur.
Şimdi bu değeri yerine koyalım:
2(x – 9)² = 2 ⋅ 5 = 10
Sonuç: 10
6. 64x² + Ax + 25 ifadesinin iki ifadenin toplamının karesi olması için A yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.
Bir ifadenin iki ifadenin toplamının karesi olması demek, (a + b)² = a² + 2ab + b² şeklinde bir formata sahip olması demektir.
Bizim ifademiz 64x² + Ax + 25.
Burada a² = 64x² olmalı. Bu durumda a = 8x olur (çünkü (8x)² = 64x²).
Ve b² = 25 olmalı. Bu durumda b = 5 veya b = -5 olabilir.
Eğer b = 5 ise, ortadaki terim Ax = 2ab olur.
Ax = 2 ⋅ (8x) ⋅ 5
Ax = 80x
Bu durumda A = 80 olur.
Eğer b = -5 ise, ortadaki terim Ax = 2ab olur.
Ax = 2 ⋅ (8x) ⋅ (-5)
Ax = -80x
Bu durumda A = -80 olur.
Yani A yerine yazılabilecek sayılar 80 ve -80’dir.
Sonuç: A = 80 veya A = -80
7. Alanı 2x² + 44x + 242 olan dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu 2 cm olduğuna göre diğer kenarının uzunluğunu santimetre cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir.
Alanı = Kenar 1 ⋅ Kenar 2
Bize alan 2x² + 44x + 242 olarak verilmiş ve bir kenar uzunluğu 2 cm olarak verilmiş.
O halde, 2x² + 44x + 242 = 2 ⋅ (Diğer Kenar)
Şimdi diğer kenarı bulmak için alanı 2’ye bölmeliyiz.
Diğer Kenar = (2x² + 44x + 242) / 2
İfadeyi 2’ye bölelim:
2x² / 2 = x²
44x / 2 = 22x
242 / 2 = 121
Yani, diğer kenarı veren cebirsel ifade x² + 22x + 121’dir.
Şimdi şıklara bakalım:
A) x² – 121
B) (x – 11)² = x² – 22x + 121
C) (x + 22) ⋅ (x – 11)
D) (x + 11)² = x² + 22x + 121
Bulduğumuz cebirsel ifade x² + 22x + 121’dir. Bu ifade D şıkkındaki (x + 11)²’nin açılmış halidir.
Kontrol edelim: (x + 11)² = x² + 2 ⋅ x ⋅ 11 + 11² = x² + 22x + 121.
Bu nedenle doğru cevap D şıkkıdır.
Sonuç: D) (x + 11)²
8. x = 20 ve y = 24 olmak üzere 9x² – 24xy + 16y² ifadesinin değerini hesaplayınız.
Bu soruda verilen x ve y değerlerini kullanarak cebirsel ifadenin değerini bulacağız.
İfadeye baktığımızda, 9x² – 24xy + 16y²
Bu ifade de tam kare bir ifadeye benziyor.
9x² = (3x)²
16y² = (4y)²
Ortadaki terim -24xy. Kontrol edelim: 2 ⋅ (3x) ⋅ (4y) = 24xy.
Yani bu ifade (3x – 4y)²’nin açılmış halidir.
Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:
x = 20
y = 24
3x = 3 ⋅ 20 = 60
4y = 4 ⋅ 24 = 96
Şimdi bu değerleri tam kare ifadenin içine yerleştirelim:
(3x – 4y)² = (60 – 96)²
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
60 – 96 = -36
Şimdi karesini alalım:
(-36)² = (-36) ⋅ (-36)
Çarpma işlemini yapalım:
36
x 36
—–
216 (6 x 36)
1080 (30 x 36)
—–
1296
Sonuç: 1296
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Takıldığınız yerleri tekrar sormaktan çekinmeyin! Başarılar dilerim!
Henüz onaylanmış öğrenci çözümü yok.
İlk çözümü sen paylaşabilirsin. Aşağıdaki formdan fotoğrafını yükle.
1 takipçi