8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Ada Yayınları Sayfa 73

Harika bir çalışma! Sevgili öğrenciler, bu alıştırmaları birlikte çözerek kareköklü sayılar konusundaki bilgilerimizi pekiştirelim. İşte karşınızdaki soruların adım adım çözümleri ve açıklamaları.

Soru 1: Aşağıda verilen kareköklü ifadelerle çarpıldığında sonucu bir doğal sayı yapan üçer çarpan bulunuz.

Çözüm:

Sevgili arkadaşlar, bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapmak için, onu kök içindeki sayıyı tam kare yapacak bir ifadeyle çarpmamız gerekir. En basit yolu, kökün içini kendisiyle çarpmaktır. Yani √a ifadesini √a ile çarparsak sonuç ‘a’ olur. Haydi bu mantıkla şıkları inceleyelim.

a. √24

Adım 1: Önce √24 ifadesini a√b şeklinde yazalım. 24, 4 ile 6’nın çarpımıdır ve 4 bir tam karedir.
√24 = √(4 ⋅ 6) = √4 ⋅ √6 = 2√6

Adım 2: Şimdi 2√6 ifadesini doğal sayı yapacak çarpanları bulalım. Amacımız √6’dan kurtulmak. Bunun için ifadeyi √6 içeren bir sayıyla çarpmalıyız.
Bulabileceğimiz çarpanlar:

• √6 (En basit çarpan budur. 2√6 ⋅ √6 = 2 ⋅ 6 = 12)
• 2√6 (Kendisiyle de çarpabiliriz. 2√6 ⋅ 2√6 = 4 ⋅ 6 = 24)
• 3√6 (Farklı bir katsayı deneyelim. 2√6 ⋅ 3√6 = 6 ⋅ 6 = 36)

b. √54

Adım 1: √54 ifadesini a√b şeklinde yazalım. 54 = 9 ⋅ 6
√54 = √(9 ⋅ 6) = √9 ⋅ √6 = 3√6

Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için √6’lı bir çarpan bulmalıyız.
Çarpanlar:

• √6
• √54 (kendisi)
• 2√6

c. √160

Adım 1: √160 ifadesini a√b şeklinde yazalım. 160 = 16 ⋅ 10
√160 = √(16 ⋅ 10) = √16 ⋅ √10 = 4√10

Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için √10’lu bir çarpan bulmalıyız.
Çarpanlar:

• √10
• √160 (kendisi)
• 5√10

ç. √44

Adım 1: √44 ifadesini a√b şeklinde yazalım. 44 = 4 ⋅ 11
√44 = √(4 ⋅ 11) = √4 ⋅ √11 = 2√11

Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için √11’li bir çarpan bulmalıyız.
Çarpanlar:

• √11
• √44 (kendisi)
• 3√11

d. 2√14

Adım 1: √14 ifadesi daha fazla sadeleşmez (14 = 2 ⋅ 7). Bu yüzden kök içi 14 olarak kalır.

Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için √14’lü bir çarpan bulmalıyız.
Çarpanlar:

• √14
• 3√14
• 5√14

e. √68

Adım 1: √68 ifadesini a√b şeklinde yazalım. 68 = 4 ⋅ 17
√68 = √(4 ⋅ 17) = √4 ⋅ √17 = 2√17

Adım 2: İfadeyi doğal sayı yapmak için √17’li bir çarpan bulmalıyız.
Çarpanlar:

• √17
• √68 (kendisi)
• 2√17

Diğer şıkları da aynı mantıkla hızlıca yapabiliriz:

f. √175 = √(25 ⋅ 7) = 5√7 → Çarpanlar: √7, 2√7, √175

g. 5√2 → Kök içi √2. Çarpanlar: √2, 3√2, 10√2

ğ. 9√5 → Kök içi √5. Çarpanlar: √5, √5, 2√5

h. 5√27 = 5√(9 ⋅ 3) = 5 ⋅ 3√3 = 15√3 → Çarpanlar: √3, 2√3, √27

ı. √207 = √(9 ⋅ 23) = 3√23 → Çarpanlar: √23, 2√23, √207

i. 3√13 → Kök içi √13. Çarpanlar: √13, 2√13, 5√13

Soru 2: √125 ⋅ 3√a ifadesinin bir doğal sayı belirtmesi için a’nın alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Önce bize verilen ifadedeki sayıları düzenleyelim. √125’i a√b şeklinde yazalım.
125, 25 ile 5’in çarpımıdır.
√125 = √(25 ⋅ 5) = 5√5

Adım 2: Şimdi bu değeri ifadedeki yerine yazalım.
(5√5) ⋅ (3√a)

Adım 3: Katsayıları kendi arasında, kökleri kendi arasında çarpalım.
(5 ⋅ 3) ⋅ (√5 ⋅ √a) = 15 ⋅ √(5 ⋅ a)

Adım 4: Bu ifadenin bir doğal sayı olması için kökün içindeki 5 ⋅ a ifadesinin bir tam kare sayı olması gerekir. Bizden ‘a’ için en küçük doğal sayı değeri istendiği için, 5’i en küçük hangi doğal sayıyla çarparsak bir tam kare elde ederiz diye düşünmeliyiz.
5’i 5 ile çarparsak 25 olur ve 25 bir tam karedir (5’in karesi).

Bu durumda a = 5 olmalıdır.

Sonuç: 5

Soru 3: a = √27, b = √48 ve c = √96 olduğuna göre a, b ve c sayılarından hangi ikisi çarpıldığında sonuç bir doğal sayı olur?

Çözüm:

Arkadaşlar, bu soruda hangi iki sayının çarpımının doğal sayı olacağını bulmak için, sayıları a√b şeklinde yazmalıyız. Kök içleri aynı olan iki sayının çarpımı bir doğal sayı olur.

Adım 1: Verilen tüm sayıları a√b formatına getirelim.
a = √27 = √(9 ⋅ 3) = 3√3
b = √48 = √(16 ⋅ 3) = 4√3
c = √96 = √(16 ⋅ 6) = 4√6

Adım 2: Şimdi hangi ikisinin kök içinin aynı olduğuna bakalım. ‘a’ sayısının kök içi 3, ‘b’ sayısının kök içi de 3. ‘c’ sayısının ise 6. Demek ki ‘a’ ve ‘b’ çarpılırsa sonuç doğal sayı olabilir. Deneyelim!
a ⋅ b = (3√3) ⋅ (4√3)
a ⋅ b = (3 ⋅ 4) ⋅ (√3 ⋅ √3)
a ⋅ b = 12 ⋅ 3 = 36

36 bir doğal sayıdır. Diğerlerini denesek de (örneğin a⋅c) kök içleri farklı olduğu için sonuç doğal sayı çıkmaz.

Sonuç: a ve b

Soru 4: √245 – √180 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa bir doğal sayı elde edilir?

Çözüm:

Adım 1: Öncelikle çıkarma işlemini yapabilmek için köklü ifadeleri a√b şeklinde yazarak sadeleştirmemiz gerekiyor.
√245 = √(49 ⋅ 5) = 7√5
√180 = √(36 ⋅ 5) = 6√5

Adım 2: Şimdi çıkarma işlemini yapalım. Kök içleri aynı olduğu için katsayıları çıkarabiliriz.
7√5 – 6√5 = (7 – 6)√5 = 1√5 = √5

Adım 3: Soruda bizden bu işlemin sonucunu, yani √5’i, neyle çarparsak doğal sayı olur diye soruyor. √5’i doğal sayı yapmak için onu kök içini tam kare yapacak bir ifadeyle çarpmalıyız. En basiti kendisiyle, yani √5 ile çarpmaktır.
√5 ⋅ √5 = 5

Adım 4: Şıklara bakalım.
A) √10
B) √8
C) √5
D) √3
Doğru cevap C şıkkıdır.

Sonuç: C) √5

Soru 5: 5/(2√3) + 4/√3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Bu soruda kesirli ve köklü ifadeleri toplamamız isteniyor. Tıpkı normal kesirlerde olduğu gibi, toplama yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

Adım 1: Paydaları eşitleyelim. Birinci kesrin paydası 2√3, ikincisinin ise √3. İkinci kesri 2 ile genişletirsek paydaları eşitlemiş oluruz.
İkinci kesir: 4/√3. Payı ve paydayı 2 ile çarpalım:
(4 ⋅ 2) / (√3 ⋅ 2) = 8 / (2√3)

Adım 2: Şimdi işlemimiz şu hale geldi:
5/(2√3) + 8/(2√3)

Adım 3: Paydalar eşit olduğuna göre payları toplayabiliriz.
(5 + 8) / (2√3) = 13 / (2√3)

Adım 4: Şıklara baktığımızda paydada köklü ifade olmadığını görüyoruz. Bu yüzden bulduğumuz sonucun paydasını kökten kurtarmamız, yani rasyonel yapmamız gerekir. Bunun için kesri paydadaki köklü ifadeyle (√3) genişletiriz.
(13 ⋅ √3) / (2√3 ⋅ √3)
= (13√3) / (2 ⋅ 3)
= 13√3 / 6

Bu sonuç D şıkkında yer alıyor.

Sonuç: D) 13√3 / 6