8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Ada Yayınları Sayfa 244

Merhaba sevgili öğrencim. Ben senin Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri ve Sosyal Bilimler öğretmeninim. Seninle bu görseldeki geometri sorularını ve etkinliklerini adım adım, bir dedektif titizliğiyle inceleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!

5. Örnek Soru ve Çözüm Analizi

Bu soruda bize iç içe geçmiş iki üçgen verilmiş ve bizden bir açıyı bulmamız isteniyor. Sorunun çözümü kitapta verilmiş ama gel seninle bu çözümün mantığını, “neden” böyle yapıldığını iyice kavrayalım.

Verilenler:

• |AD| = 3,5 cm
• |DB| = 1,5 cm
• |BC| = 8 cm
• |AE| = 2,5 cm
• |EC| = 4,5 cm
• |DE| = 4 cm
• m(ABC) açısı = 50 derece

Adım 1: Büyük Üçgenin Kenarlarını Bulalım

Önce büyük üçgen olan ABC üçgeninin kenar uzunluklarını netleştirelim. Parça parça verilen uzunlukları toplamamız gerekiyor.

|AB| kenarı için:

3,5

+ 1,5

——-

5,0 cm

|AC| kenarı için:

2,5

+ 4,5

——-

7,0 cm

Adım 2: Benzerliği Keşfetmek (Dedektiflik Kısmı)

Şimdi elimizde küçük üçgen (ADE) ve büyük üçgen (ABC) var. Acaba bu üçgenler arasında bir ilişki var mı? Genellikle öğrenciler hemen “DE kenarı BC kenarına paraleldir” diye düşünebilir. Ama bunu kontrol etmemiz lazım.

Eğer paralel olsaydı, sol kenarın tamamına oranı, sağ kenarın tamamına oranına eşit olurdu (|AD|/|AB| = |AE|/|AC|). Bakalım öyle mi?

• |AD| / |AB| = 3,5 / 5 = 0,7
• |AE| / |AC| = 2,5 / 7 (Bu 0,7 yapmaz!)

Demek ki kenarlar paralel değil! O zaman çapraz bir ilişki var mı diye bakacağız. Yani küçük üçgenin sol kenarını, büyük üçgenin sağ kenarıyla kıyaslayacağız.

Adım 3: Oranları Kontrol Edelim

Kitaptaki çözümde yapılan oranlamayı inceleyelim:

• 1. Oran: Küçük üçgenin sol kenarı (|AD|) ile büyük üçgenin sağ kenarı (|AC|):
  3,5 / 7 = 1 / 2
• 2. Oran: Küçük üçgenin sağ kenarı (|AE|) ile büyük üçgenin sol kenarı (|AB|):
  2,5 / 5 = 1 / 2
• 3. Oran: Küçük üçgenin tabanı (|DE|) ile büyük üçgenin tabanı (|BC|):
  4 / 8 = 1 / 2

Adım 4: Sonuç ve Açıyı Bulma

Gördüğün gibi bütün kenarlar arasında 1/2 oranı var. Bu, Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K) benzerlik kuralına uyar. Ancak burada dikkat etmemiz gereken çok önemli bir nokta var: Üçgenler “ters” (çapraz) benzerdir.

Bu benzerliğe göre:

• Küçük üçgendeki E köşesi, büyük üçgendeki B köşesi ile eşleşir. (Çünkü |AD| kenarı |AC| ile, |AE| kenarı |AB| ile orantılıdır).
• Küçük üçgendeki D köşesi ise büyük üçgendeki C köşesi ile eşleşir.

Soru bizden AED açısını istiyor. Eşleşmeye göre AED açısı, ABC açısına eşit olmak zorundadır.

m(ABC) = 50 derece olduğuna göre;

m(AED) = 50 derecedir.

Etkinlik: Üçgen Çizimi ve Eşlik Analizi

Bu etkinlikte senden bir üçgen çizmeni ve sonra aynısını (eşini) başka bir yere kopyalamanı istiyor. Gel bu etkinliğin adımlarını bir laboratuvar deneyi gibi yapalım.

Amaç: İki üçgenin eş (tıpatıp aynı) olması için hangi şartların gerektiğini yaşayarak öğrenmek.

Adım 1: Kareli Alana Üçgen Çizimi

İlk maddede kareli kâğıda rastgele bir ABC üçgeni çizmemiz isteniyor. Diyelim ki kareli zemine tabanı düz, bir kenarı dik olan bir üçgen çizdin. Bu bizim “Orijinal” üçgenimiz.

Adım 2: Ölçüm Yapma

İkinci maddede cetvel ve açıölçer (iletki) kullanman isteniyor. Şunları ölçüp not etmelisin:

• |AB| kenarının uzunluğu (Örneğin: 6 cm)
• |BC| kenarının uzunluğu (Örneğin: 8 cm)
• B açısının ölçüsü (İki kenarın birleştiği köşe. Örneğin: 90 derece veya 60 derece)

Buradaki mantık şudur: İki kenarı ve aradaki açıyı bilirsek, üçgeni kilitlemiş oluruz.

Adım 3: Kopyalama İşlemi (KLM Üçgenini Oluşturma)

Şimdi dedektif gibi, elimizdeki verilerle orijinal üçgenin aynısını başka bir yere (L noktasına) inşa edeceğiz.

• L Noktası: Sayfanın boş bir yerine bir L noktası koy.
• [LM] Kenarı: Cetvelinle, ölçtüğün |BC| uzunluğu kadar (örneğin 8 cm) bir çizgi çiz. Buna [LM] de.
• Açı Oluşturma: Açıölçerini L noktasına koy. Orijinal üçgendeki B açısı kaç dereceydi? (Örneğin 60 derece). Aynı açıyı işaretle ve o yöne doğru bir ışın (uzun bir çizgi) çiz.
• K Noktası: Çizdiğin bu ışın üzerinde, orijinal |AB| uzunluğu kadar (örneğin 6 cm) ilerle ve buraya K noktası de.

Adım 4: Üçgeni Tamamlama ve Sonuç

Son olarak K ve M noktalarını birleştir. Tebrikler! KLM üçgenini oluşturdun.

Neyi İspatladık?

Bu etkinlikte şunu tartıştık: Eğer iki üçgenin;

1. Birinci kenarları eşitse (|AB| = |LK|),
2. İkinci kenarları eşitse (|BC| = |LM|),
3. Ve bu iki kenarın arasındaki açılar eşitse (m(B) = m(L)),

Bu iki üçgen kesinlikle EŞ ÜÇGENLERDİR. Buna geometride Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) Eşlik Teoremi denir. Yani KLM üçgenini, ABC üçgeninin üzerine koysan tam üstüne oturur.