Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik Öğretmeninim. Bu görseldeki soruları senin için adım adım, tane tane anlatarak çözeceğim. Cebirsel ifadelerle alan hesaplamak aslında bir bulmaca çözmek gibi, oldukça keyifli! Haydi, birlikte bu bulmacaları çözelim.
Cebirsel İfadelerin Çarpımı
Soru: Yandaki dikdörtgen, kenar uzunlukları a santimetre olan dört eş kare ve bir kenar uzunluğu a santimetre ve diğer kenar uzunluğu 2 santimetre olan iki eş dikdörtgenden oluşmaktadır. Bu dikdörtgenin alanını cebirsel ifade olarak nasıl belirtebiliriz? Tartışınız.
Sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için iki farklı yol izleyebiliriz. İkisi de bizi aynı doğru sonuca ulaştıracak. Haydi, iki yolu da görelim!
Birinci Yol: Parçaları Birleştirme Yöntemi
Bu yöntemde, büyük dikdörtgeni oluşturan küçük parçaların alanlarını tek tek bulup toplayacağız.
- Adım 1: Şekildeki 4 tane eş karenin alanını bulalım. Bir karenin bir kenarı ‘a’ santimetre ise alanı a çarpı a‘dan a2 (a kare) olur. Elimizde 4 tane olduğu için, toplam karelerin alanı: 4 * a2 = 4a2 santimetrekaredir.
- Adım 2: Şimdi de 2 tane eş dikdörtgenin alanını bulalım. Bu dikdörtgenlerin bir kenarı ‘a’ santimetre, diğer kenarı ‘2’ santimetre. Bir tanesinin alanı a çarpı 2‘den 2a olur. Elimizde 2 tane olduğu için, toplam dikdörtgenlerin alanı: 2 * 2a = 4a santimetrekaredir.
- Adım 3: Son olarak, bulduğumuz bu iki alanı toplayarak büyük şeklin toplam alanını bulalım.
Toplam Alan = (Karelerin Alanı) + (Dikdörtgenlerin Alanı) = 4a2 + 4a
İkinci Yol: Bütünün Alanını Bulma Yöntemi
Bu yöntemde ise büyük dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarını bulup çarparak doğrudan alanını hesaplayacağız.
- Adım 1: Büyük dikdörtgenin kısa kenarını bulalım. Şeklin sol tarafına baktığımızda üst üste duran iki kare görüyoruz. Her birinin kenarı ‘a’ olduğuna göre, kısa kenarımız a + a = 2a santimetredir.
- Adım 2: Şimdi de uzun kenarı bulalım. Şeklin üst tarafına baktığımızda yan yana duran iki kare ve bir dikdörtgen görüyoruz. Karelerin kenarları ‘a’ ve ‘a’, dikdörtgenin kenarı ise ‘2’. O halde uzun kenarımız a + a + 2 = 2a + 2 santimetredir.
- Adım 3: Dikdörtgenin alan formülü neydi? Kısa Kenar × Uzun Kenar. Haydi, bulduğumuz değerleri çarpalım.
Toplam Alan = (2a) * (2a + 2)
Burada dağılma özelliğini kullanmamız gerekiyor. Yani 2a’yı parantezin içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpacağız.
(2a * 2a) + (2a * 2) = 4a2 + 4a
Gördüğün gibi, her iki yolla da aynı sonuca ulaştık! Bu da demek oluyor ki, bir bütünün alanı, o bütünü oluşturan parçaların alanları toplamına eşittir.
Sonuç: Bu dikdörtgenin alanını veren cebirsel ifade 4a2 + 4a‘dır.
ETKİNLİK
Şimdi de kitaptaki etkinliği adım adım birlikte yapalım. Bu etkinlik, cebirsel ifadelerle çarpma işleminin mantığını modelleme yoluyla anlamamızı sağlayacak.
Soru 1: İncelediğimiz dikdörtgenin alanını veren cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm: Dikdörtgenin kısa kenarı a, uzun kenarı ise a + 5 olarak verilmiş. Alanını bulmak için bu iki kenarı çarparız.
Alan = a * (a + 5)Soru 2: Ayırdığımız karesel ve dikdörtgensel bölgelerin alanlarının cebirsel ifadesini yazalım.
Çözüm: Şekil iki parçaya ayrılmış: bir kare ve bir dikdörtgen.
Adım 1: Soldaki karesel bölgenin kenarları ‘a’ ve ‘a’ dır. Alanı = a * a = a2 olur.
Adım 2: Sağdaki dikdörtgensel bölgenin kenarları ise ‘a’ ve ‘5’ tir. Alanı = 5 * a = 5a olur.Soru 3: Ayırdığımız karesel ve dikdörtgensel bölgelerin alanlarını toplayarak başlangıçtaki dikdörtgenin alanının cebirsel ifadesini yazalım.
Çözüm: Az önce bulduğumuz iki parçanın alanını şimdi toplayalım.
Toplam Alan = (Karenin Alanı) + (Dikdörtgenin Alanı) = a2 + 5aSoru 4: Hesapladığımız alan ile başlangıçtaki dikdörtgenin alanını veren cebirsel ifade arasındaki ilişkiyi açıklayalım.
Çözüm ve Açıklama:
Başlangıçta bulduğumuz alan ifadesi a * (a + 5) idi.
Parçaları toplayarak bulduğumuz alan ifadesi ise a2 + 5a oldu.
Bu iki ifade birbirine eşittir. Çünkü bu modelleme bize aslında dağılma özelliğini gösteriyor.a * (a + 5) = a * a + a * 5 = a2 + 5a
Yani, bir sayıyı veya terimi bir parantezle çarparken, o terimi parantezin içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarparız. Şekillerle yapmak, bu kuralın nereden geldiğini somut olarak görmemizi sağlar. Çok güzel bir etkinlik, değil mi?
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Unutma, matematik sabır ve pratik işidir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim!