Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Ben sizin matematik öğretmeniniz. Bugün birlikte silindirlerle ilgili bu alıştırmaları çözeceğiz. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, önemli olan formülleri bilmek ve adım adım, dikkatlice ilerlemek.
Soru 1:Aşağıda verilen dik dairesel silindirlerin hacimlerini hesaplayınız (π yerine 3 alınız.).
Arkadaşlar, bu soruda bize verilen silindirlerin hacmini bulacağız. Silindirin hacim formülünü hatırlayalım: Hacim (V) = Taban Alanı × Yükseklik. Tabanımız daire olduğu için taban alanı πr²‘dir. Yani formülümüz: V = π × r² × h. Soruda π’yi 3 almamız istenmiş.
a)
Bu silindirde yarıçap (r) 12 cm, yükseklik (h) ise 20 cm olarak verilmiş.
Adım 1: Formülde verilenleri yerine yazalım.
V = π × r² × h
V = 3 × (12)² × 20
Adım 2: İşlemleri yapalım. Önce 12’nin karesini alıyoruz.
V = 3 × 144 × 20
Adım 3: Çarpma işlemlerini tamamlayalım.
V = 432 × 20
V = 8640
Sonuç: Bu silindirin hacmi 8640 cm³‘tür.
b)
Bu silindir yan yatmış. Yan yatması kafamızı karıştırmasın, formülümüz aynı! Burada yarıçap (r) 8 cm, silindirin uzunluğu yani yüksekliği (h) ise 44 cm.
Adım 1: Formülde verilenleri yerine yazalım.
V = π × r² × h
V = 3 × (8)² × 44
Adım 2: İşlemleri yapalım. Önce 8’in karesini alıyoruz.
V = 3 × 64 × 44
Adım 3: Çarpma işlemlerini tamamlayalım.
V = 192 × 44
V = 8448
Sonuç: Bu silindirin hacmi 8448 cm³‘tür.
c)
Bu daha kısa ve geniş bir silindir. Yarıçapı (r) 16 cm, yüksekliği (h) ise 8 cm.
Adım 1: Formülde verilenleri yerine yazalım.
V = π × r² × h
V = 3 × (16)² × 8
Adım 2: İşlemleri yapalım. 16’nın karesi 256’dır.
V = 3 × 256 × 8
Adım 3: Çarpma işlemlerini tamamlayalım.
V = 768 × 8
V = 6144
Sonuç: Bu silindirin hacmi 6144 cm³‘tür.
ç)
Son silindirimiz. Yarıçapı (r) 10 cm, yüksekliği (h) 40 cm.
Adım 1: Formülde verilenleri yerine yazalım.
V = π × r² × h
V = 3 × (10)² × 40
Adım 2: İşlemleri yapalım. 10’un karesi 100’dür.
V = 3 × 100 × 40
Adım 3: Çarpma işlemlerini tamamlayalım.
V = 300 × 40
V = 12000
Sonuç: Bu silindirin hacmi 12000 cm³‘tür.
Soru 2:Çapının uzunluğu 36 cm ve yüksekliği 5 cm olan dik dairesel silindirin hacminin kaç santimetreküp olduğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Sevgili arkadaşlar, bu soruda dikkat etmemiz gereken bir nokta var: Bize yarıçap değil, çap verilmiş. Formülümüzde yarıçap (r) kullandığımız için önce yarıçapı bulmalıyız. Yarıçap, çapın yarısıdır.
Adım 1: Yarıçapı bulalım.
Çap = 36 cm ise Yarıçap (r) = 36 / 2 = 18 cm
Adım 2: Şimdi hacim formülünü kullanabiliriz. Yükseklik (h) 5 cm olarak verilmiş.
V = π × r² × h
V = 3 × (18)² × 5
Adım 3: İşlemleri yapalım. 18’in karesi 324’tür.
V = 3 × 324 × 5
V = 972 × 5
V = 4860
Sonuç: Silindirin hacmi 4860 cm³‘tür.
Soru 3:Tabanının çevre uzunluğu 30 cm olan dik dairesel silindirin yüzey alanı 900 cm² olduğuna göre hacminin kaç santimetreküp olduğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Bu soru biraz daha zorlayıcı görünebilir ama endişelenmeyin, adım adım gidince çok kolay! Hacmi bulmak için hem yarıçapa (r) hem de yüksekliğe (h) ihtiyacımız var. Bize verilen bilgilerle bunları bulacağız.
Adım 1: Taban çevresinden yarıçapı (r) bulalım.
Dairenin çevre formülü: Çevre = 2 × π × r
30 = 2 × 3 × r
30 = 6 × r
r = 30 / 6 = 5 cm. Harika, yarıçapı bulduk!
Adım 2: Yüzey alanından yüksekliği (h) bulalım.
Silindirin yüzey alanı formülü: Alan = 2 × (Taban Alanı) + (Yanal Alan)
Alan = 2 × (πr²) + (2πrh)
Bildiğimiz her şeyi formülde yerine yazalım: Alan=900, r=5, π=3.
900 = 2 × (3 × 5²) + (2 × 3 × 5 × h)
900 = 2 × (3 × 25) + (30 × h)
900 = 2 × (75) + 30h
900 = 150 + 30h
Şimdi denklemi çözelim. 150’yi karşıya atıyoruz.
900 – 150 = 30h
750 = 30h
h = 750 / 30 = 25 cm. Süper, yüksekliği de bulduk!
Adım 3: Artık hacmi hesaplayabiliriz.
V = π × r² × h
V = 3 × (5)² × 25
V = 3 × 25 × 25
V = 75 × 25
V = 1875
Sonuç: Silindirin hacmi 1875 cm³‘tür.
Soru 4:Hacimleri eşit iki dik dairesel silindirden birinin çapının uzunluğu 320 cm, yüksekliği 16 cm’dir. Diğerinin çapının uzunluğu 40 cm olduğuna göre yüksekliğinin kaç santimetre olduğunu hesaplayınız.
Bu sorunun anahtar kelimesi “hacimleri eşit”. Yani V₁ = V₂. Yine çap verildiğine dikkat edelim, hemen yarıçapları bulalım. Bu soruda π değerini vermemiş, çünkü eşitliğin iki tarafında da olacağı için birbirini götürecek. Yine de biz π’yi yazalım.
Adım 1: Silindirlerin yarıçaplarını bulalım.
1. Silindir: Çap₁ = 320 cm → r₁ = 320 / 2 = 160 cm. Yüksekliği h₁ = 16 cm.
2. Silindir: Çap₂ = 40 cm → r₂ = 40 / 2 = 20 cm. Yüksekliği h₂ = ?
Adım 2: Hacimleri birbirine eşitleyelim.
V₁ = V₂
π × r₁² × h₁ = π × r₂² × h₂
Eşitliğin her iki tarafındaki π’ler sadeleşir.
r₁² × h₁ = r₂² × h₂
Adım 3: Bildiğimiz değerleri yerine yazıp denklemi çözelim.
(160)² × 16 = (20)² × h₂
25600 × 16 = 400 × h₂
409600 = 400 × h₂
h₂ = 409600 / 400
Sıfırları sadeleştirelim: h₂ = 4096 / 4
h₂ = 1024
Sonuç: İkinci silindirin yüksekliği 1024 cm‘dir.
Soru 5:Uzun kenarının uzunluğu kısa kenarının uzunluğunun 4 katı olan bir dikdörtgenin uzun kenarı etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacminin, kısa kenarı etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmine oranını bulunuz.
Bu soru biraz hayal gücü gerektiriyor. Bir dikdörtgeni bir kenarı etrafında döndürdüğümüzde bir silindir oluşur. Döndürdüğümüz kenar silindirin yüksekliği, diğer kenar ise yarıçapı olur. Haydi bunu canlandıralım.
Adım 1: Dikdörtgenin kenarlarını isimlendirelim.
Kısa kenar = x olsun.
Uzun kenar = 4x olur.
Adım 2:Uzun kenar etrafında döndürelim (1. Durum).
Döndürdüğümüz kenar yükseklik olur: h₁ = 4x
Diğer kenar yarıçap olur: r₁ = x
Bu silindirin hacmi (V₁):
V₁ = π × r₁² × h₁ = π × (x)² × (4x) = 4πx³
Adım 3:Kısa kenar etrafında döndürelim (2. Durum).
Döndürdüğümüz kenar yükseklik olur: h₂ = x
Diğer kenar yarıçap olur: r₂ = 4x
Bu silindirin hacmi (V₂):
V₂ = π × r₂² × h₂ = π × (4x)² × (x) = π × (16x²) × x = 16πx³
Adım 4: İki hacmi birbirine oranlayalım.
Soru bizden V₁’in V₂’ye oranını istiyor.
Oran = V₁ / V₂ = (4πx³) / (16πx³)
Burada π’ler ve x³’ler sadeleşir.
Oran = 4 / 16
Sadeleştirirsek:
Oran = 1 / 4
Sonuç: Hacimlerin oranı 1/4‘tür.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, pratik yapmak matematiğin en önemli parçasıdır. Başarılar dilerim!