Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir test! Bu sorular, 8. sınıf matematiğinin en önemli konularından olan çarpanlar ve katlar ile üslü ifadeleri ne kadar iyi anladığını ölçmek için hazırlanmış. Şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve anlayacağın bir dille çözelim. Hazırsan, haydi başlayalım!
Soru 1:Aşağıdakilerden hangisi 588 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarından biri değildir?
a) 12
b) 14
c) 21
d) 44
Bu soruyu çözmek için en garantili yol, 588 sayısını asal çarpanlarına ayırmaktır. Bir sayının çarpanı olabilmesi için, o çarpanı oluşturan asal sayıların ve kuvvetlerinin, ana sayının içinde bulunması gerekir. Hadi 588’i birlikte ayıralım:
- Adım 1: 588’i en küçük asal sayı olan 2’ye bölerek başlayalım.
588 | 2
294 | 2
147 | 3 (Rakamları toplamı 1+4+7=12, 3’e bölünür)
49 | 7
7 | 7
1
Böylece 588 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali: 588 = 2² ⋅ 3 ⋅ 7² - Adım 2: Şimdi şıkları tek tek kontrol edelim. Acaba hangisi 588’in içinde “saklı” değil?
- A) 12: 12’yi asal çarpanlarına ayırırsak 2² ⋅ 3 olur. 588’in içinde hem 2² hem de 3 var. O zaman 12, 588’in bir çarpanıdır.
- B) 14: 14’ü asal çarpanlarına ayırırsak 2 ⋅ 7 olur. 588’in içinde hem 2 hem de 7 var. O zaman 14 de bir çarpandır.
- C) 21: 21’i asal çarpanlarına ayırırsak 3 ⋅ 7 olur. 588’in içinde hem 3 hem de 7 var. O zaman 21 de bir çarpandır.
- D) 44: 44’ü asal çarpanlarına ayırırsak 4 ⋅ 11 yani 2² ⋅ 11 olur. 588’in içinde 2² var ama 11 asal çarpanı yok! İşte bu yüzden 44, 588 sayısını tam olarak bölemez.
Sonuç: 588 sayısının çarpanlarından biri olmayan sayı 44‘tür. Doğru cevap D şıkkı.
Soru 2:Bir pozitif tam sayının farklı asal çarpanlarının toplamı 15’tir. Buna göre bu sayının alabileceği en küçük değer kaçtır?
a) 21
b) 26
c) 35
d) 105
Bu soruda bizden, toplamları 15 olan farklı asal sayılar bulmamızı ve bu asal sayıları çarparak en küçük sayıyı elde etmemizi istiyor. Unutma, bir sayıyı küçük tutmak için onu oluşturan çarpanların olabildiğince dengeli olması, yani büyük bir asal sayı ile küçük bir asal sayıyı çarpmak genellikle iyi bir stratejidir.
- Adım 1: Toplamları 15 olan farklı asal sayı gruplarını bulalım.
- İhtimal 1: İki asal sayının toplamı olarak düşünelim. En büyük asal sayılardan geriye doğru gidelim. 13 bir asal sayıdır. 15 – 13 = 2. 2 de bir asal sayıdır. O zaman bir grubumuz {2, 13} olabilir.
- İhtimal 2: Üç asal sayının toplamı olarak düşünelim. 7 + 5 + 3 = 15. Evet, 3, 5 ve 7’nin hepsi de asal sayıdır. Diğer grubumuz {3, 5, 7} olabilir.
- Başka ihtimaller var mı diye kontrol edelim. Mesela 11 ile başlasak 15-11=4, 4 asal değil. 5 ile başlasak 5 + … = 15. Geriye 10 kalır. 10’u iki farklı asal sayının toplamı (3+7) olarak yazabiliriz. Bu da bizi {3, 5, 7} grubuna geri götürür.
- Adım 2: Şimdi bu asal sayı gruplarını çarparak sayıları oluşturalım ve en küçüğünü bulalım.
- 1. Sayı: 2 ⋅ 13 = 26
- 2. Sayı: 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105
- Adım 3: Bulduğumuz sayıları karşılaştıralım. 26 ve 105. En küçüğü hangisi? Tabii ki 26.
Sonuç: Bu sayının alabileceği en küçük değer 26‘dır. Doğru cevap B şıkkı.
Soru 3:1250 sayısının tabanları asal sayı olacak şekilde üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2² ⋅ 5³
b) 2³ ⋅ 5³
c) 2 ⋅ 5³
d) 2 ⋅ 5⁴
Bu soru aslında bize “1250’yi asal çarpanlarına ayırın” diyor. Yine asal çarpan algoritmasını kullanacağız.
- Adım 1: 1250’yi en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim.
1250 | 2
625 | 5
125 | 5
25 | 5
5 | 5
1 - Adım 2: Algoritmada hangi asal sayıları kaçar defa kullandığımızı yazalım. Bir tane 2 ve dört tane 5 kullandık. Bu da 2¹ ⋅ 5⁴ demektir.
Sonuç: 1250 sayısının üslü ifade olarak yazılışı 2 ⋅ 5⁴ şeklindedir. Doğru cevap D şıkkı.
Soru 4:540 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
a) 7
b) 8
c) 10
d) 12
Yine bir asal çarpanlara ayırma sorusu. Önce 540’ın asal çarpanlarını bulacağız, sonra da bu farklı olanları toplayacağız.
- Adım 1: 540’ı asal çarpanlarına ayıralım. Sonu 0 ile bittiği için 10’a (yani 2 ve 5’e) bölmek işimizi kolaylaştırır.
540 = 54 ⋅ 10
Şimdi 54 ve 10’u ayıralım:
54 = 6 ⋅ 9 = (2 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3) = 2 ⋅ 3³
10 = 2 ⋅ 5
Hepsini birleştirelim: 540 = (2 ⋅ 3³) ⋅ (2 ⋅ 5) = 2² ⋅ 3³ ⋅ 5¹ - Adım 2: 540 sayısının farklı asal çarpanları nelerdir? Bunlar tabandaki sayılardır: 2, 3 ve 5.
- Adım 3: Bu farklı asal çarpanları toplayalım.
2 + 3 + 5 = 10
Sonuç: 540’ın farklı asal çarpanlarının toplamı 10‘dur. Doğru cevap C şıkkı.
Soru 5:Yanda verilen iki sütunda birbirine eşit olan ifadeler eşleştirildiğinde hangi sayı açıkta kalır?
Bu soruda sağdaki EKOK (En Küçük Ortak Kat) işlemlerini yapıp soldaki sayılarla eşleştireceğiz. Açıkta kalanı bulacağız.
- Adım 1: EKOK(30, 70) hesabını yapalım.
- 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
- 70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7
- EKOK için ortak olanlardan üssü büyük olanı ve ortak olmayanları alırız: 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ ⋅ 7¹ = 210.
- Eşleşme: 210 ↔ EKOK(30, 70)
- Adım 2: EKOK(8, 18) hesabını yapalım.
- 8 = 2³
- 18 = 2 ⋅ 3²
- EKOK = 2³ ⋅ 3² = 8 ⋅ 9 = 72.
- Eşleşme: 72 ↔ EKOK(8, 18)
- Adım 3: EKOK(25, 80) hesabını yapalım.
- 25 = 5²
- 80 = 16 ⋅ 5 = 2⁴ ⋅ 5
- EKOK = 2⁴ ⋅ 5² = 16 ⋅ 25 = 400.
- Eşleşme: 400 ↔ EKOK(25, 80)
- Adım 4: Eşleşmeleri kontrol edelim. 72, 400 ve 210 sayıları eşleşti. Soldaki sütunda eşleşmeyen tek bir sayı kaldı.
Sonuç: Açıkta kalan sayı 240‘tır. Doğru cevap C şıkkı.
Soru 6:Bir A doğal sayısının en büyük ve en küçük asal çarpanlarının toplamı [A] şeklinde gösteriliyor. Buna göre [70] ⋅ [825] işleminin sonucu kaçtır?
a) 77
b) 126
c) 192
d) 266
Bu soru bize yeni bir kural, bir “işlem” tanımlamış. Korkma, çok basit. Sadece kuralı doğru uygulamamız gerekiyor. Önce [70]’in, sonra [825]’in değerini bulup çarpacağız.
- Adım 1: [70]’in değerini bulalım.
- Önce 70’in asal çarpanlarını bulmalıyız: 70 = 7 ⋅ 10 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7.
- Asal çarpanlar: 2, 5, 7.
- En küçük asal çarpan: 2.
- En büyük asal çarpan: 7.
- Kurala göre bunları topluyoruz: [70] = 2 + 7 = 9.
- Adım 2: [825]’in değerini bulalım.
- Şimdi 825’in asal çarpanlarını bulalım. Sonu 5 ile bittiği için 5’e bölünür.
- 825 ÷ 5 = 165
- 165 ÷ 5 = 33
- 33 = 3 ⋅ 11
- Asal çarpanlar: 3, 5, 11.
- En küçük asal çarpan: 3.
- En büyük asal çarpan: 11.
- Kurala göre bunları topluyoruz: [825] = 3 + 11 = 14.
- Adım 3: Son olarak, bulduğumuz değerleri çarpalım.
- [70] ⋅ [825] = 9 ⋅ 14
- 9 x 14 = 126
Sonuç: İşlemin sonucu 126‘dır. Doğru cevap B şıkkı.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, temel kuralları bildikten sonra soruları çözmek hiç de zor değil. Çalışmaya devam et, harika gidiyorsun