Merhaba gençler, ben 8. sınıf matematik öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki soruları sizin için adım adım, tane tane çözeceğim. Hazırsanız, hadi başlayalım!
16. Soru: Ön yüzü pembe, arka yüzü mavi olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun kenar uzunlukları 12 cm ve 20 cm’dir. Bu karton, L köşesinden geçen kesikli doğru parçası boyunca şekildeki gibi katlandığında M köşesi KN kenarı üzerine gelmektedir. Buna göre 2. şekilde oluşan mavi üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?
A) 100⁄6
B) 100⁄3
C) 200⁄3
D) 200⁄9
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için katlama sorularının mantığını ve Pisagor bağıntısını kullanacağız. Unutmayın, bir şekil katlandığında katlanan kenarların uzunlukları değişmez!
Haydi, şimdi adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Katlama Sonrası Uzunlukları Bulalım
Şekle baktığımızda, dikdörtgenin ML kenarı katlanarak ikinci şekildeki M’L kenarı haline geliyor. (Sorudaki M noktası, katlandıktan sonra geldiği yer olduğu için biz ona M’ diyelim, karışmasın).
Dikdörtgenin uzun kenarı 20 cm olduğuna göre, |ML| = 20 cm‘dir. Katlama nedeniyle |M’L| uzunluğu da 20 cm olur.
Şimdi K M’ L üçgenine odaklanalım. Bu bir dik üçgen! Neden mi? Çünkü K köşesi dikdörtgenin köşesi, yani 90 derece.
Bu dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayabiliriz: |M’K|2 + |KL|2 = |M’L|2
Bildiğimiz değerleri yerine yazalım:
|M’K|2 + 122 = 202
|M’K|2 + 144 = 400
|M’K|2 = 400 – 144
|M’K|2 = 256
|M’K| = 16 cm olarak bulunur.
Adım 2: Üstteki Küçük Üçgenin Kenarlarını Bulalım
Dikdörtgenin NK kenarının tamamı 20 cm idi. Biz |M’K|’yı 16 cm bulduk. O zaman |NM’| uzunluğunu bulabiliriz:
|NM’| = |NK| – |M’K| = 20 – 16 = 4 cm.
Şimdi üstteki minik N P M’ dik üçgenine bakalım. Katlamadan dolayı |PM| kenarı ile |PM’| kenarı birbirine eşittir.
Dikdörtgenin kısa kenarı 12 cm, yani |NM| = 12 cm. Eğer |NP| uzunluğuna x dersek, |PM| uzunluğu 12 – x olur.
Katlamadan dolayı |PM’| uzunluğu da 12 – x olur.
Şimdi N P M’ üçgeninde tekrar Pisagor yapalım:
|NM’|2 + |NP|2 = |PM’|2
42 + x2 = (12 – x)2
16 + x2 = 144 – 24x + x2 (Burada tam kare açılımını kullandık, unutmayın!)
Eşitliğin iki tarafındaki x2‘ler birbirini götürür.
16 = 144 – 24x
24x = 144 – 16
24x = 128
x = 128 / 24 = 16 / 3 cm. Bu bulduğumuz |NP|’nin uzunluğu.
Adım 3: Mavi Üçgenin Alanını Hesaplayalım
Soruda bizden istenen mavi üçgenin alanı, aslında katlanan PML üçgeninin alanıdır. Çünkü katlanan parça maviye dönüyor.
PML üçgeni bir dik üçgendir (M köşesi 90 derece).
Bu üçgenin kenarları |PM| ve |ML|’dir.
|PM| = 12 – x = 12 – (16/3) = (36/3) – (16/3) = 20/3 cm.
|ML| = 20 cm (dikdörtgenin uzun kenarı).
Artık alanı hesaplayabiliriz. Üçgenin alanı = (Taban x Yükseklik) / 2
Alan(PML) = (|PM| x |ML|) / 2
Alan = ( (20/3) * 20 ) / 2
Alan = (400/3) / 2
Alan = 400 / 6 = 200 / 3 cm2
Sonuç olarak, oluşan mavi üçgenin alanı 200/3 cm2‘dir.
Doğru cevap C) seçeneğidir.
17. Soru: Aşağıdaki şekilde PRS ve TKS birer üçgendir. T, S ve R noktaları doğrusal, m(SPR) = m(TKS)’dir. |ST| = 30 cm, |TK| = 25 cm ve |SR| = 90 cm olduğuna göre |PR| kaç santimetredir?
A) 80
B) 75
C) 60
D) 48
Çözüm:
Bu soru, üçgenlerde benzerlik konusunu ne kadar iyi anladığımızı ölçüyor. İki üçgenin benzer olduğunu gösterirsek, kenarları oranlayarak soruyu kolayca çözebiliriz.
Hadi benzerliği nasıl bulacağımıza bakalım.
Adım 1: Üçgenlerin Benzer Olduğunu Gösterelim
Elimizde iki üçgen var: PRS üçgeni ve TKS üçgeni.
Benzerlik için en az iki açılarının aynı olduğunu göstermemiz yeterli. (Açı-Açı Benzerlik Kuralı)
- 1. Eşit Açı: Soru bize zaten bir ipucu vermiş! P açısı ile K açısının ölçüleri eşitmiş: m(SPR) = m(TKS). Şekilde bu iki açı da noktayla gösterilmiş. Bu birinci kozumuz!
- 2. Eşit Açı: Şekilde S noktasına dikkatlice bakın. PSR açısı ile TSK açısı “ters açılar“dır. Makasın ağzı gibi düşünün. Ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir. Yani m(PSR) = m(TSK). İşte bu da ikinci kozumuz!
İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğuna göre, bu üçgenler kesinlikle benzerdir!
Adım 2: Benzerliği Doğru Şekilde Yazalım ve Kenarları Oranlayalım
Benzerliği yazarken açıların sırası çok önemlidir. Eşit açıları aynı sıraya yazmalıyız.
P açısı K açısına eşitti.
S açısı S açısına eşitti.
O zaman geriye kalan R açısı da T açısına eşit olmak zorundadır.
Doğru benzerlik yazımı şöyledir: ∆PSR ~ ∆KST
Şimdi bu benzerliğe göre kenarları oranlayabiliriz. Aynı sıradaki harflerin oluşturduğu kenarlar birbiriyle orantılıdır:
|PS|⁄|KS| = |SR|⁄|ST| = |PR|⁄|KT|
Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyup Sonucu Bulalım
Şimdi soruda verilen uzunlukları bu orantıda yerlerine yazalım.
|SR| = 90 cm
|ST| = 30 cm
|PR| = ? (Bunu arıyoruz)
|KT| = 25 cm
Orantımızın bize lazım olan kısmını alalım:
|SR|⁄|ST| = |PR|⁄|KT|
90⁄30 = |PR|⁄25
90’ı 30’a bölersek 3 buluruz. Denklemimiz çok basitleşti:
3 = |PR|⁄25
Şimdi |PR|’yi bulmak için içler-dışlar çarpımı yapalım (veya 25’i karşıya çarpım olarak atalım):
|PR| = 3 * 25
|PR| = 75 cm
Sonuç olarak, |PR| uzunluğu 75 cm‘dir.
Doğru cevap B) seçeneğidir.