Merhaba sevgili öğrencim, seninle bu matematik sorularını adım adım inceleyelim. Konumuz **doğrusal denklemler ve eğim**. Eğim, bir yokuşun ne kadar dik olduğunu anlatan matematiksel bir ifadedir. Hazırsan başlayalım!
5. Aşağıda grafikleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
Eğim bulurken temel kuralımız şudur: Eğim (m) = Dikey Değişim / Yatay Değişim. Ayrıca grafiğin yönü de çok önemlidir:
- Grafik sağa yatıksa (soldan sağa yukarı çıkıyorsa) eğim pozitiftir (+).
- Grafik sola yatıksa (soldan sağa aşağı iniyorsa) eğim negatiftir (-).
- Grafik yatay ise eğim 0 (sıfır)‘dır.
Şimdi grafikleri sırasıyla inceleyelim:
1. Grafik (Sol Üst):
Bu doğru sağa yatık, yani yukarı doğru gidiyor. Demek ki eğimimiz pozitif (+) olacak. Doğru üzerinde tam köşelere denk gelen iki nokta seçelim.
- Adım 1: Doğru, x ekseninde -2, y ekseninde -1 noktasından geçiyor: (-2, -1).
- Adım 2: Doğru, x ekseninde 2, y ekseninde 1 noktasından geçiyor: (2, 1).
- Adım 3: Dikey değişim (Yükseklik farkı): -1’den 1’e kadar 2 birim yükselmiş.
- Adım 4: Yatay değişim (Genişlik farkı): -2’den 2’ye kadar 4 birim ilerlemiş.
- Adım 5: Eğim formülünü uygula: Dikey / Yatay = 2 / 4.
- Sonuç: Sadeleştirirsek eğim 1/2‘dir.
2. Grafik (Sağ Üst):
Bu doğru da sağa yatık, yani eğim pozitif (+). Yine tam köşelerden geçen noktaları bulalım.
- Adım 1: Doğru, x eksenini 1 noktasında kesiyor: (1, 0).
- Adım 2: Doğru, bir sonraki tam köşede x=2, y=1 noktasından geçiyor: (2, 1).
- Adım 3: Dikey değişim: 0’dan 1’e 1 birim.
- Adım 4: Yatay değişim: 1’den 2’ye 1 birim.
- Adım 5: Eğim = 1 / 1.
- Sonuç: Eğim 1‘dir.
3. Grafik (Sol Alt):
Dikkat! Bu doğru sola yatık (aşağı doğru iniyor). Bu yüzden eğimimiz kesinlikle negatif (-) olacak.
- Adım 1: Doğru, y eksenini 1 noktasında kesiyor: (0, 1).
- Adım 2: Doğru, x eksenini 1 noktasında kesiyor: (1, 0).
- Adım 3: Dikey değişim: 1’den 0’a inmiş, yani 1 birim değişmiş.
- Adım 4: Yatay değişim: 0’dan 1’e gitmiş, yani 1 birim değişmiş.
- Adım 5: Eğim = Dikey / Yatay = 1 / 1 = 1. Ancak yönü aşağı olduğu için önüne eksi koyuyoruz.
- Sonuç: Eğim -1‘dir.
4. Grafik (Sağ Alt):
Bu doğru x eksenine paralel, dümdüz yatay bir çizgi.
- Adım 1: Doğru y = -3 noktasından geçen yatay bir doğrudur.
- Adım 2: Yatay doğrularda yükseklik değişimi (dikey değişim) olmaz, yani 0’dır.
- Adım 3: Sıfırın herhangi bir sayıya bölümü sıfırdır.
- Sonuç: Yatay doğruların eğimi 0 (sıfır)‘dır.
6. Yandaki tabloda koordinat sisteminde yer alan bir doğruyu birleştiren sıralı ikililer verilmiştir. Buna göre bu doğrunun eğimini bulunuz.
Tablo verildiğinde eğimi bulmak için tablodan herhangi iki nokta (x, y) seçip formülümüzü kullanırız. Formülümüz şöyledir:
Eğim (m) = (y’lerin farkı) / (x’lerin farkı)
Çözüm:
- Adım 1: Tablodan işlem yapması en kolay iki noktayı seçelim. Ben ilk iki satırı seçiyorum:
1. Nokta: (1, 4) -> Burada x1=1, y1=4
2. Nokta: (4, 0) -> Burada x2=4, y2=0 - Adım 2: y değerlerindeki değişimi bulalım (y2 – y1):
0 – 4 = -4 - Adım 3: x değerlerindeki değişimi bulalım (x2 – x1):
4 – 1 = 3 - Adım 4: Bulduğumuz değerleri oranlayalım (y farkı / x farkı):
Eğim = -4 / 3
Sağlama Yapalım:
Başka iki nokta seçsek de sonuç aynı çıkmalı. Mesela (4, 0) ve (7, -4) noktalarına bakalım.
- y değişimi: -4’ten 0’a fark -4‘tür.
- x değişimi: 7’den 4’e fark 3‘tür.
- Sonuç yine -4/3 çıkar.
Sonuç:
Bu doğrunun eğimi -4/3‘tür.