Harika bir soru, sevgili öğrenciler! Gelin, bu görseldeki konuları hep birlikte, adım adım anlayarak çözelim. Unutmayın, kareköklü sayılarla uğraşmak aslında bir bulmaca çözmek gibidir.
Kareköklü Bir İfade ile Çarpıldığında Sonucu Bir Doğal Sayı Yapan Çarpanlar
Soru: Aşağıda verilen dikdörtgenleri inceleyiniz. Bu dikdörtgenlerden bir tanesinin alanı santimetrekare cinsinden bir doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin hangisi olduğu işlem yapmadan nasıl bulunabilir? Tartışınız.
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar! Bu soruda bize üç tane dikdörtgen verilmiş ve bir tanesinin alanının doğal sayı olduğu söyleniyor. Bizden de bunu işlem yapmadan bulmamız isteniyor. Kulağa zor gibi gelse de aslında çok basit bir mantığı var.
Unutmayın: Bir kareköklü ifadeyi, kendisiyle veya kök içi aynı olan başka bir kareköklü ifadeyle çarparsak sonuç kökten kurtulur, yani bir doğal sayı olur. Örneğin, √5 ⋅ √5 = 5 gibi.
Adım 1: Ortak Kenarı Analiz Edelim
Gördüğünüz gibi her üç dikdörtgenin de bir kenarı ortak: √32 cm. Önce bu sayıyı a√b şeklinde yazarak işimizi kolaylaştıralım.
√32 = √(16 ⋅ 2) = √16 ⋅ √2 = 4√2
Adım 2: Diğer Kenarlarla İlişkiyi Kuralım
Şimdi sihirli kısma geldik. Alanı bulmak için kenarları çarpmamız gerekiyor. Ortak kenarımız 4√2 olduğuna göre, sonucun bir doğal sayı olması için diğer kenarın içinde de mutlaka √2‘li bir ifade olmalı. Neden mi? Çünkü √2 ile √2 çarpılınca 2 olur ve kökten kurtuluruz!
Şimdi diğer kenarlara bakalım:
- Birinci dikdörtgenin diğer kenarı: 3 cm. (İçinde √2 yok.)
- İkinci dikdörtgenin diğer kenarı: 3√15 cm. (İçinde √2 yok.)
- Üçüncü dikdörtgenin diğer kenarı: 5√2 cm. (İşte aradığımız bu! İçinde √2 var!)
Sonuç:
İşlem yapmadan sadece kenarlardaki kareköklü ifadelere bakarak, alanı doğal sayı olan dikdörtgenin PRST dikdörtgeni olduğunu söyleyebiliriz. Çünkü √32’nin (yani 4√2’nin) içindeki √2’yi, sadece 5√2’nin içindeki √2 kökten kurtarabilir.
Hadi sağlamasını yapalım: Alan = 4√2 ⋅ 5√2 = (4⋅5) ⋅ (√2⋅√2) = 20 ⋅ 2 = 40. Gördüğünüz gibi sonuç bir doğal sayı!
ETKİNLİK
Soru: Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz. √12 sayısı hangi sayılarla çarpıldığında sonuç bir doğal sayı oldu? Bu çarpanların √12 sayısı ile olan ilişkisi nedir? Açıklayınız.
Çözüm:
Harika bir etkinlik! Bu etkinlik, konuyu pekiştirmemizi sağlayacak. Önce √12 sayısını a√b şeklinde yazalım. Bu her zaman işimizi kolaylaştırır.
√12 = √(4 ⋅ 3) = 2√3
Şimdi işlemleri tek tek yapalım:
- √12 ⋅ √12 = 12 (Bir sayının karekökünün kendisiyle çarpımı, sayının kendisine eşittir.)
- √12 ⋅ √2 = 2√3 ⋅ √2 = 2√(3⋅2) = 2√6
- √12 ⋅ √3 = 2√3 ⋅ √3 = 2 ⋅ 3 = 6
- √12 ⋅ 3√3 = 2√3 ⋅ 3√3 = (2⋅3) ⋅ (√3⋅√3) = 6 ⋅ 3 = 18
- √12 ⋅ √6 = 2√3 ⋅ √6 = 2√18 = 2√(9⋅2) = 2⋅3√2 = 6√2
- √12 ⋅ √75 = 2√3 ⋅ √75 = 2√3 ⋅ √(25⋅3) = 2√3 ⋅ 5√3 = (2⋅5) ⋅ (√3⋅3) = 10 ⋅ 3 = 30
Analiz ve Sonuç:
Gördüğünüz gibi, √12 sayısını √12, √3, 3√3 ve √75 ile çarptığımızda sonuç bir doğal sayı oldu.
Peki bu sayıların ortak özelliği ne? Hepsinin kök içinde gizli bir √3 çarpanı var!
- √12 = 2√3
- √3 = 1√3
- 3√3 = 3√3
- √75 = 5√3
Demek ki, bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapmak için onu, kök içi aynı olan başka bir kareköklü ifade ile çarpmalıyız. Bütün sır bu!
1. Örnek
Soru: √32 sayısı aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç bir doğal sayı olmaz? Bulalım.
A) √2
B) 7√2
C) √32
D) 2
Çözüm:
Bu soruda dikkat etmemiz gereken kelime “olmaz“. Yine ilk yapmamız gereken şey √32 sayısını a√b şeklinde yazmak.
Adım 1: √32’yi Sadeleştirelim
√32 = √(16 ⋅ 2) = 4√2
Artık biliyoruz ki, 4√2’yi içinde √2 çarpanı olan bir sayıyla çarparsak sonuç doğal sayı olur. Şimdi şıkları tek tek deneyelim.
Adım 2: Şıkları Deneyelim
A) √2 ile çarpalım:
4√2 ⋅ √2 = 4 ⋅ 2 = 8. Bu bir doğal sayıdır.
B) 7√2 ile çarpalım:
4√2 ⋅ 7√2 = (4 ⋅ 7) ⋅ (√2 ⋅ √2) = 28 ⋅ 2 = 56. Bu da bir doğal sayıdır.
C) √32 ile çarpalım:
√32 zaten 4√2 demekti. 4√2 ⋅ 4√2 = (4 ⋅ 4) ⋅ (√2 ⋅ √2) = 16 ⋅ 2 = 32. Bu da bir doğal sayıdır. (Zaten √32 ⋅ √32 = 32 olmalıydı.)
D) 2 ile çarpalım:
4√2 ⋅ 2 = (4 ⋅ 2)√2 = 8√2. Sonuçta hala √2 kaldı, yani kökten kurtulamadık. Bu bir doğal sayı değildir.
Sonuç:
Soru bizden sonucu doğal sayı olmayanı istediği için doğru cevabımız D şıkkıdır.
Umarım anlaşılmıştır. Kareköklü sayılarla çarpma yaparken en önemli ipucu, sayıları a√b şeklinde yazmaktır. Hepinize iyi çalışmalar!