Merhaba sevgili öğrencim, ben senin Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmenin olarak buradayım. Bugün seninle bu güzel Matematik sorularını, cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konularını hatırlayarak adım adım çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
19. Soru: 85² – 5² = 80 · B olduğuna göre B’nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 95
- B) 90
- C) 85
- D) 80
Çözüm:
Bu soruda “iki kare farkı” özdeşliğini kullanmamız gerekiyor. Hatırlarsan kuralımız şuydu: x² – y² = (x – y) · (x + y). Yani sayıların farkı ile toplamını çarpıyoruz.
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki işlemi özdeşliğe göre açalım.
85² – 5² = (85 – 5) · (85 + 5)
Adım 2: Parantez içindeki işlemleri yapalım.
(85 – 5) = 80
(85 + 5) = 90
Yani eşitliğin sol tarafı 80 · 90 oldu.
Adım 3: Şimdi bulduğumuz sonucu sorudaki eşitliğin sağına eşitleyelim.
80 · 90 = 80 · B
Burada her iki tarafta da 80 çarpanı var. Demek ki diğer çarpanlar da birbirine eşit olmalı. Yani B sayısı 90’a eşittir.
Sonuç: B = 90
Doğru Cevap: B seçeneğidir.
20. Soru: Yandaki kareli alanda çizilen karenin alanı 25a² – 50a + 25 birimkaredir. Aynı kareli alanda çizilen dikdörtgenin çevre uzunluğu a cinsinden kaç birimdir?
- A) 28a – 28
- B) 36a + 36
- C) 14(a + 1)²
- D) 28(a – 1)²
Çözüm:
Bu soruda hem cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmayı hem de şekil okumayı kullanacağız.
Adım 1: Sarı renkli karenin alanını çarpanlarına ayıralım. Bu ifade bir tam karedir.
25a² – 50a + 25
(5a)² – 2·(5a)·5 + 5²
= (5a – 5)²
Karenin alanı bir kenarının karesi olduğuna göre, sarı karenin bir kenar uzunluğu 5a – 5 birimdir.
Adım 2: Şimdi şekildeki kareli kağıdı inceleyelim. Sarı karenin bir kenarı kaç birim kareden oluşuyor?
Şekle bakarsak sarı karenin kenarı 5 birim kareden oluşuyor. Demek ki 5 birimlik uzunluk (5a – 5)’e eşit.
5 birim = 5a – 5
Her tarafı 5’e bölersek 1 birim karenin uzunluğunu buluruz:
1 birim = a – 1
Adım 3: Şimdi pembe dikdörtgenin çevresini hesaplamak için kenarlarını sayalım.
- Kısa kenar (genişlik): Şekilde 5 birim kare var.
- Uzun kenar (yükseklik): Şekildeki kareleri saydığımızda 9 birim kare olduğunu görürüz.
Adım 4: Dikdörtgenin çevresini birim cinsinden bulalım.
Çevre = 2 · (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 · (5 + 9)
Çevre = 2 · 14 = 28 birim
Adım 5: Bulduğumuz 28 birimi, “a” cinsinden değere çevirelim. (Hatırla: 1 birim = a – 1 idi)
Çevre = 28 · (a – 1)
Çevre = 28a – 28
Sonuç: 28a – 28
Doğru Cevap: A seçeneğidir.
21. Soru: Alanı 36x² metrekare olan tarlanın 25 metrekarelik kısmına biber, geri kalan kısmına domates ekilmiştir. Domates ekilen alanı gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (6x + 5) · (6x + 5)
- B) (6x – 5)²
- C) (5x – 6) · (5x – 6)
- D) (6x + 5) · (6x – 5)
Çözüm:
Burada bütün alandan bir parçayı çıkaracağız, yani çıkarma işlemi yapacağız.
Adım 1: Domates ekilen alanı matematiksel olarak yazalım.
Domates Alanı = Toplam Alan – Biber Alanı
Domates Alanı = 36x² – 25
Adım 2: Bulduğumuz ifade “iki kare farkı” özdeşliğidir. Bunu çarpanlarına ayıralım.
- 36x² sayısı, 6x‘in karesidir. ((6x)²)
- 25 sayısı, 5‘in karesidir. (5²)
Kuralımız: a² – b² = (a – b) · (a + b)
Adım 3: Kuralı uygulayalım.
(6x)² – 5² = (6x – 5) · (6x + 5)
Çarpma işleminde yer değiştirme özelliği olduğu için bu ifade (6x + 5) · (6x – 5) şeklinde de yazılabilir.
Sonuç: (6x + 5) · (6x – 5)
Doğru Cevap: D seçeneğidir.
22. Soru: Yandaki şekilde ABCD ve BKLM birer karedir. |AB| = x, |BK| = y, |AB| · |BK| = 50 ve boyalı alanlar toplamı 125 cm² olduğuna göre |AK| kaç santimetredir?
- A) 13
- B) 14
- C) 15
- D) 16
Çözüm:
Bu soru tam kare özdeşliğini geometrik şekillerle birleştirmiş çok güzel bir soru. Hadi verilenleri yazalım.
Adım 1: Verilenleri matematik diline çevirelim.
- ABCD karesinin bir kenarı x ise alanı: x²
- BKLM karesinin bir kenarı y ise alanı: y²
- Boyalı alanlar toplamı 125 ise: x² + y² = 125
- Kenarların çarpımı verilmiş: x · y = 50
Adım 2: Bizden ne isteniyor?
Şekle bakarsan A, B ve K noktaları aynı doğru üzerindedir. Bizden |AK| uzunluğu isteniyor. |AK| uzunluğu, büyük karenin kenarı ile küçük karenin kenarının toplamıdır.
|AK| = |AB| + |BK|
|AK| = x + y
Yani bizden (x + y)‘nin kaç olduğu isteniyor.
Adım 3: Tam kare özdeşliğini kullanalım: (x + y)² = x² + 2xy + y²
Bu formülde bildiklerimizi yerine koyalım. x² + y² yerine 125, x·y yerine 50 yazacağız.
(x + y)² = (x² + y²) + 2 · (x · y)
(x + y)² = 125 + 2 · 50
(x + y)² = 125 + 100
(x + y)² = 225
Adım 4: Hangi sayının karesi 225 eder?
15 ile 15’i çarparsak 225 eder. Demek ki x + y = 15 olmalıdır.
Sonuç: |AK| = 15 cm
Doğru Cevap: C seçeneğidir.