8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Ada Yayınları Sayfa 28

Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki matematik sorularını bir 8. sınıf öğrencisinin en iyi anlayacağı şekilde, adım adım açıklayarak çözeceğim. Konumuz **Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri**, yani üslü sayılar! Haydi başlayalım!

Soru: Yanda görseli verilen kültürdeki bakteri sayısı her 1 saatlik süre sonunda üç katına çıkmaktadır. Başlangıçta 27 bakterinin bulunduğu bu kültürde 7 saatin sonunda kaç bakteri olacağı nasıl bulunabilir? Açıklayınız.

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için üslü sayıların gücünden faydalanacağız. Üslü sayılar, bir sayıyı kendisiyle tekrar tekrar çarpmamız gerektiğinde işimizi çok kolaylaştırır.

Unutma, bir şey sürekli aynı oranda katlanarak artıyorsa, orada üslü bir durum vardır!

Adım 1: Verilenleri anlayalım.

• Başlangıçtaki bakteri sayımız: 27
• Artış oranı: Her saatte 3 katına çıkıyor.
• Geçen süre: 7 saat

Adım 2: Başlangıçtaki bakteri sayısını üslü olarak ifade edelim.

27 sayısı, 3’ün kendisiyle birkaç kez çarpımından oluşur. Hadi bulalım: 3 x 3 = 9, ve 9 x 3 = 27. Yani 3 tane 3’ün çarpımı 27’yi veriyor. Bunu üslü olarak şöyle yazarız:

27 = 3 · 3 · 3 = 3³

Adım 3: 7 saatteki artışı üslü olarak ifade edelim.

Her saat bakteri sayısı 3 ile çarpılıyor. 7 saat boyunca bu işlem 7 kez tekrarlanacak demektir. Yani:

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 → Bu, 7 tane 3’ün çarpımıdır ve üslü olarak 3⁷ şeklinde yazılır.

Adım 4: Sonucu bulalım.

7 saatin sonundaki toplam bakteri sayısını bulmak için, başlangıçtaki bakteri sayısıyla (3³) 7 saatlik artış miktarını (3⁷) çarpmamız gerekir.

Toplam Bakteri = (Başlangıçtaki Bakteri) x (Artış Miktarı)

Toplam Bakteri = 3³ x 3⁷

Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: Eğer tabanlar aynıysa, üsler toplanır.

3³ · 3⁷ = 3⁽³⁺⁷⁾ = 3¹⁰

Sonuç:

7 saatin sonunda kültürde 3¹⁰ tane bakteri olur.

1. Örnek: Aşağıda tekrarlı çarpımları verilen tam sayıları üslü ifade şeklinde yazalım.

a) 5 · 5 · 5

Çözüm:

Burada tekrarlı olarak çarpılan sayımız 5‘tir. Bu sayı bizim tabanımız olur. Peki kaç kere çarpılmış? Sayalım: 1, 2, 3 kez. O zaman 3 de bizim üssümüz (kuvvetimiz) olur.

Sonuç:

5³

b) (–6) · (–6) · (–6) · (–6)

Çözüm:

Burada ise tekrarlı olarak çarpılan sayımız (–6)‘dır. Negatif olduğu için parantez içinde yazmamız çok önemli. Bu bizim tabanımızdır. Saydığımızda 4 kez çarpıldığını görüyoruz. O zaman 4 de bizim üssümüzdür.

Sonuç:

(–6)⁴

2. Örnek: 4², (–2)⁶ ve (–3)⁵ üslü ifadelerinin değerlerini bulalım.

Çözüm:

Şimdi de üslü ifadelerin değerini, yani sonucunu bulacağız.

4² ifadesi için:

Adım 1: Bu ifade, tabandaki 4 sayısını üs kadar, yani 2 kez kendisiyle çarpmamız gerektiğini söyler.

Adım 2: İşlemi yapalım: 4 · 4 = 16

Sonuç:

16

(–2)⁶ ifadesi için:

Adım 1: Bu ifade, (–2) sayısını 6 kez kendisiyle çarpmak demektir.

Adım 2: İşlemi açıkça yazalım: (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2)

Adım 3: Önce sonucun işaretini belirleyelim. Bu çok önemli bir kuraldır: Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri her zaman POZİTİFTİR. Çünkü her eksi (-) işareti yanındaki eksi ile çarpıldığında artıya (+) dönüşür ve çift sayıda oldukları için hiç tek başına eksi kalmaz.

Adım 4: Şimdi sayıları çarpalım: 2 · 2 = 4, 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16, 16 · 2 = 32, 32 · 2 = 64. İşaretimiz de pozitif (+) olduğuna göre…

Sonuç:

64

(–3)⁵ ifadesi için:

Adım 1: Bu ifade, (–3) sayısını 5 kez kendisiyle çarpmamız gerektiğini anlatır.

Adım 2: İşlemi yazalım: (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3)

Adım 3: Yine önce işarete karar verelim. İşte diğer önemli kural: Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri her zaman NEGATİFTİR. Çünkü eksi işaretleri ikişerli olarak artıya dönüşür ama üs tek sayı olduğu için en sonda bir tane eksi tek başına kalır ve sonucu negatif yapar.

Adım 4: Sayıları çarpalım: 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81, 81 · 3 = 243. İşaretimiz de negatif (-) olacaktı.

Sonuç:

–243