Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle 2. Ünite kapsamında öğrendiğimiz Kareköklü İfadeler konusunu pekiştireceğiz. Görseldeki “Öğrendiklerimizi Uygulayalım” kısmındaki soruları birlikte, adım adım inceleyerek çözeceğiz. Hazırsanız kalemleriniz elinizde olsun, başlıyoruz!
1. Soru: $sqrt{20}$ sayısı aşağıdaki sayılardan hangileri ile çarpılırsa sonucun doğal sayı olacağını belirleyerek “$checkmark$” ile işaretleyiniz.
Seçenekler: $sqrt{2}$, $sqrt{5}$, $sqrt{10}$, $sqrt{45}$, $sqrt{80}$, $sqrt{20}$, $sqrt{12}$
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce bize verilen sayıyı, yani $sqrt{20}$’yi en sade haliyle ($asqrt{b}$ şeklinde) yazmamız gerekir. Bu sayede hangi köklü ifadeye ihtiyacımız olduğunu daha net görürüz.
Adım 1: $sqrt{20}$ sayısını düzenleyelim.
- $20$ sayısı $4 times 5$ demektir.
- $sqrt{20} = sqrt{4 times 5}$
- 4 tam kare olduğu için dışarıya 2 olarak çıkar.
- Sonuç: $2sqrt{5}$
Adım 2: Kuralı hatırlayalım.
Bir kareköklü ifadenin sonucunun doğal sayı olması için, kök içindeki sayının aynısı ile çarpılması gerekir. Yani elimizde $2sqrt{5}$ var, kökün içinde 5 var. Demek ki çarpacağımız sayının içinde de mutlaka $sqrt{5}$ çarpanı olmalı veya sadeleşince $sqrt{5}$ kalmalı.
Adım 3: Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- $sqrt{2}$: Kök içi 2. $sqrt{5}$ ile uyuşmuyor. (Olmaz)
- $sqrt{5}$: Kök içi 5. Bizim aradığımız sayı! ($2sqrt{5} times sqrt{5} = 2 times 5 = 10$). (İşaretliyoruz $checkmark$)
- $sqrt{10}$: $sqrt{2 times 5}$. İçinde $sqrt{2}$ fazlalığı var. Tam kare olmaz. (Olmaz)
- $sqrt{45}$: Sadeleştirelim: $sqrt{9 times 5} = 3sqrt{5}$. Bakın, bunun da kökünün içi 5. Çarparsak doğal sayı olur. (İşaretliyoruz $checkmark$)
- $sqrt{80}$: Sadeleştirelim: $sqrt{16 times 5} = 4sqrt{5}$. Bunun da kökünün içi 5. Bu da olur. (İşaretliyoruz $checkmark$)
- $sqrt{20}$: Kendisiyle çarparsak kök tamamen kalkar ($sqrt{20} times sqrt{20} = 20$). Bu bir doğal sayıdır. (İşaretliyoruz $checkmark$)
- $sqrt{12}$: Sadeleştirelim: $sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}$. Kök içi 3 olduğu için 5 ile uyuşmaz. (Olmaz)
Sonuç: İşaretlemeniz gereken kutucuklar: $sqrt{5}$, $sqrt{45}$, $sqrt{80}$ ve $sqrt{20}$.
2. Soru: Aşağıdaki kareköklü ifadelerle çarpılınca sonucu doğal sayı yapan iki çarpan bulunuz.
Çözüm:
Burada da mantığımız aynı çocuklar. Önce sayıyı $asqrt{b}$ şeklinde yazacağız, sonra kökün içindeki sayı neyse, o köke sahip herhangi bir sayı ile çarparak örnekler vereceğiz.
a) $3sqrt{21}$
Adım 1: Kökün içine bakalım: $sqrt{21}$. 21 sayısı kök dışına çıkamaz.
Adım 2: Bize içinde $sqrt{21}$ olan çarpanlar lazım.
- 1. Çarpan: En basiti kökün kendisidir: $sqrt{21}$
- 2. Çarpan: Kökün katları olabilir: $2sqrt{21}$ (veya $5sqrt{21}$, $sqrt{21}$ vb.)
b) $2sqrt{11}$
Adım 1: Kökün içine bakalım: $sqrt{11}$. 11 asal sayıdır, dışarı çıkamaz.
Adım 2: Bize içinde $sqrt{11}$ olan çarpanlar lazım.
- 1. Çarpan:$sqrt{11}$
- 2. Çarpan:$3sqrt{11}$ (İstediğiniz katsayıyı verebilirsiniz.)
c) $4sqrt{12}$
Adım 1: Dikkat! $sqrt{12}$ sadeleşebilir. Önce bunu halledelim.
$sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}$
Sayımız aslında: $4 times 2sqrt{3} = 8sqrt{3}$
Adım 2: Şimdi kökün en sade hali $sqrt{3}$ oldu. Bize $sqrt{3}$’lü sayılar lazım.
- 1. Çarpan:$sqrt{3}$
- 2. Çarpan:$sqrt{12}$ (Çünkü $sqrt{12}$ zaten $2sqrt{3}$ demektir, işimizi görür.)
ç) $sqrt{24}$
Adım 1: Önce sayıyı düzenleyelim.
$sqrt{24} = sqrt{4 times 6} = 2sqrt{6}$
Adım 2: Kökün içinde 6 kaldı. Demek ki bize $sqrt{6}$’lı sayılar lazım.
- 1. Çarpan:$sqrt{6}$
- 2. Çarpan:$sqrt{24}$ (Sayının kendisiyle çarpmak her zaman doğal sayı yapar.) veya $5sqrt{6}$
Unutmayın çocuklar, kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yaparken hedefimiz kökten kurtulmaktır. Bunun anahtarı da “eşini bulmaktır”. $sqrt{3}$’ün eşi $sqrt{3}$’tür, $sqrt{5}$’in eşi $sqrt{5}$’tir.