Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün birlikte bu matematik sorularını çözeceğiz. Her birini adım adım inceleyerek, konuyu en iyi şekilde anlamanızı sağlayacağım. Hazırsanız başlayalım!
1. Bir diğerinin 2 katı olan iki çift sayının toplamı 42’den küçük ise bu sayılardan küçüğü kaçtır?
Bu soruda iki tane çift sayıdan bahsediyor. Bu sayılardan birinin diğerinin 2 katı olduğunu biliyoruz. Küçük sayıyı bulmamız isteniyor.
Adım 1: Sayıları temsil edelim.
Küçük çift sayıya $x$ diyelim. O zaman diğer çift sayı $2x$ olur.
Adım 2: Eşitsizliği kuralım.
Bu iki sayının toplamı 42’den küçükmüş. Yani:
$x + 2x < 42$
Adım 3: Eşitsizliği çözelim.
$3x < 42$ Her iki tarafı 3'e bölelim: $x < frac{42}{3}$ $x < 14$
Adım 4: Çift sayıyı bulalım.
$x$ sayısı 14’ten küçük bir çift sayı olmalı. Soruda “küçüğü kaçtır?” diye sorduğu için, $x$ sayısının alabileceği en büyük değeri bulmalıyız ki, bu sayıdan küçük olan çift sayıyı bulabilelim. Ancak soruda “bu sayılardan küçüğü kaçtır?” diye soruyor ve $x < 14$ bulduk. Bu durumda $x$ sayısı 14'ten küçük tüm çift sayılar olabilir. Sorunun metninde bir eksiklik olabilir. Eğer "bu sayılardan en büyüğü kaçtır?" diye sorsaydı, cevap 14 olurdu. Ama "küçüğü kaçtır?" diye sorduğu için, $x$ sayısı 14'ten küçük bir çift sayı olmalıdır. Eğer soruda "bu sayılardan küçüğü en fazla kaç olabilir?" şeklinde bir ifade olsaydı, cevap 12 olurdu. Çünkü $x < 14$ ve $x$ çift sayı. Soruda bir netlik olmaması nedeniyle, eğer soruda "bu sayılardan küçüğü en fazla kaç olabilir?" diye sorulmuş olsaydı, cevap 12 olurdu. Ancak sorunun orijinal haliyle, $x < 14$ sonucu çıkar.
2. $2x – 5 < -3$ eşitsizliğini sağlayan gerçek sayılar aşağıdakilerden hangisinde doğru gösterilmiştir?
Bu soruda bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda göstermemizi istiyor.
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$2x – 5 < -3$ Her iki tarafa 5 ekleyelim: $2x < -3 + 5$ $2x < 2$ Her iki tarafı 2'ye bölelim: $x < 1$
Adım 2: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x < 1$ demek, $x$'in 1'den küçük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda 1 noktasını açık bırakırız (çünkü 1 dahil değil) ve 1'in sol tarafını tararız. Şimdi seçeneklere bakalım: A) 1 noktasından sol tarafı taramış ve 1 noktası açık. Bu doğru. B) 1 noktasından sağ tarafı taramış ve 1 noktası kapalı. Bu yanlış. C) 1 noktasından sol tarafı taramış ve 1 noktası kapalı. Bu yanlış. D) 1 noktasından sağ tarafı taramış ve 1 noktası açık. Bu yanlış.
Sonuç: A
3. Aşağıdaki soruların yanıtlarını boş bırakılan yerlere yazınız.
a) $4x + 15 > 2$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane negatif tam sayı vardır?
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$4x + 15 > 2$
Her iki taraftan 15 çıkaralım:
$4x > 2 – 15$
$4x > -13$
Her iki tarafı 4’e bölelim:
$x > -frac{13}{4}$
Adım 2: Sayısal değeri bulalım.
$-frac{13}{4}$’ü ondalık sayıya çevirelim: $-3.25$
Yani eşitsizlik $x > -3.25$ oldu.
Adım 3: Negatif tam sayıları bulalım.
$-3.25$’ten büyük olan negatif tam sayılar şunlardır: $-3, -2, -1$.
Bu tam sayılardan 3 tanedir.
Sonuç: 3
b) $frac{x-6}{3} le -1$ eşitsizliğini sağlayan en büyük doğal sayı kaçtır?
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$frac{x-6}{3} le -1$
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
$x – 6 le -1 times 3$
$x – 6 le -3$
Her iki tarafa 6 ekleyelim:
$x le -3 + 6$
$x le 3$
Adım 2: En büyük doğal sayıyı bulalım.
$x$’in 3’e eşit veya küçük olduğu söyleniyor. Doğal sayılar 0, 1, 2, 3, … şeklinde devam eder. Bu eşitsizliği sağlayan doğal sayılar 0, 1, 2 ve 3’tür. Bunların en büyüğü 3’tür.
Sonuç: 3
c) $14 – 5x le 46$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane negatif tam sayı vardır?
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$14 – 5x le 46$
Her iki taraftan 14 çıkaralım:
$-5x le 46 – 14$
$-5x le 32$
Her iki tarafı -5’e bölelim. Eşitsizlik yön değiştirir:
$x ge frac{32}{-5}$
$x ge -6.4$
Adım 2: Negatif tam sayıları bulalım.
$-6.4$’ten büyük veya eşit olan negatif tam sayılar şunlardır: $-6, -5, -4, -3, -2, -1$.
Bu tam sayılardan 6 tanedir.
Sonuç: 6
d) $3x – 12 le 10$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane pozitif tam sayı vardır?
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$3x – 12 le 10$
Her iki tarafa 12 ekleyelim:
$3x le 10 + 12$
$3x le 22$
Her iki tarafı 3’e bölelim:
$x le frac{22}{3}$
Adım 2: Sayısal değeri bulalım.
$frac{22}{3}$ yaklaşık olarak $7.33$’tür.
Yani eşitsizlik $x le 7.33$ oldu.
Adım 3: Pozitif tam sayıları bulalım.
$7.33$’ten küçük veya eşit olan pozitif tam sayılar şunlardır: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
Bu tam sayılardan 7 tanedir.
Sonuç: 7
4. Aşağıdakilerden hangisi $4x – 2 > 12$ eşitsizliğini sağlamaz?
Bu soruda bize verilen eşitsizliği sağlamayan sayıyı bulmamız isteniyor. Yani eşitsizliğin çözüm kümesinde olmayan sayıyı bulacağız.
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$4x – 2 > 12$
Her iki tarafa 2 ekleyelim:
$4x > 12 + 2$
$4x > 14$
Her iki tarafı 4’e bölelim:
$x > frac{14}{4}$
$x > frac{7}{2}$
$x > 3.5$
Bu eşitsizliği sağlayan sayılar 3.5’ten büyük olan sayılardır.
Şimdi seçeneklere bakalım ve hangisinin 3.5’ten büyük olmadığını bulalım:
a) 3: 3 sayısı 3.5’ten büyük değildir. Bu yüzden eşitsizliği sağlamaz.
b) 4: 4 sayısı 3.5’ten büyüktür. Eşitsizliği sağlar.
c) 5: 5 sayısı 3.5’ten büyüktür. Eşitsizliği sağlar.
d) 6: 6 sayısı 3.5’ten büyüktür. Eşitsizliği sağlar.
Sonuç: A) 3
5. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulup sayı doğrusunda gösteriniz.
a) $2x – 7 ge -13$
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$2x – 7 ge -13$
Her iki tarafa 7 ekleyelim:
$2x ge -13 + 7$
$2x ge -6$
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
$x ge -3$
Adım 2: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x ge -3$ demek, $x$’in -3’e eşit veya -3’ten büyük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda -3 noktasını kapalı yaparız (çünkü -3 dahil) ve -3’ün sağ tarafını tararız.
b) $3(x – 3) < 5$
Adım 1: Parantezi dağıtalım.
$3x – 9 < 5$
Adım 2: Eşitsizliği çözelim.
Her iki tarafa 9 ekleyelim:
$3x < 5 + 9$
$3x < 14$
Her iki tarafı 3'e bölelim:
$x < frac{14}{3}$
Adım 3: Sayısal değeri bulalım.
$frac{14}{3}$ yaklaşık olarak $4.67$’dir.
Yani eşitsizlik $x < 4.67$ oldu.
Adım 4: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x < 4.67$ demek, $x$'in 4.67'den küçük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda 4.67 noktasını açık bırakırız (çünkü 4.67 dahil değil) ve 4.67'nin sol tarafını tararız.
c) $4x – 6 > 2x – 8$
Adım 1: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
$4x – 2x > -8 + 6$
$2x > -2$
Adım 2: Eşitsizliği çözelim.
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
$x > -1$
Adım 3: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x > -1$ demek, $x$’in -1’den büyük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda -1 noktasını açık bırakırız (çünkü -1 dahil değil) ve -1’in sağ tarafını tararız.
ç) $2x – 7 le 3x – 5$
Adım 1: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
$2x – 3x le -5 + 7$
$-x le 2$
Adım 2: Eşitsizliği çözelim.
Her iki tarafı -1’e bölelim. Eşitsizlik yön değiştirir:
$x ge -2$
Adım 3: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x ge -2$ demek, $x$’in -2’ye eşit veya -2’den büyük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda -2 noktasını kapalı yaparız (çünkü -2 dahil) ve -2’nin sağ tarafını tararız.
d) $frac{x-2}{5} > -3$
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$frac{x-2}{5} > -3$
Her iki tarafı 5 ile çarpalım:
$x – 2 > -3 times 5$
$x – 2 > -15$
Her iki tarafa 2 ekleyelim:
$x > -15 + 2$
$x > -13$
Adım 2: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x > -13$ demek, $x$’in -13’ten büyük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda -13 noktasını açık bırakırız (çünkü -13 dahil değil) ve -13’ün sağ tarafını tararız.
e) $frac{2x-1}{4} ge frac{x-2}{3}$
Adım 1: Paydaları eşitlemek için her iki tarafı 12 ile çarpalım (4 ve 3’ün en küçük ortak katı 12’dir).
$12 times frac{2x-1}{4} ge 12 times frac{x-2}{3}$
$3 times (2x-1) ge 4 times (x-2)$
Adım 2: Parantezleri dağıtalım.
$6x – 3 ge 4x – 8$
Adım 3: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
$6x – 4x ge -8 + 3$
$2x ge -5$
Adım 4: Eşitsizliği çözelim.
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
$x ge -frac{5}{2}$
Adım 5: Sayısal değeri bulalım.
$-frac{5}{2}$ sayısı $-2.5$’tir.
Yani eşitsizlik $x ge -2.5$ oldu.
Adım 6: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x ge -2.5$ demek, $x$’in -2.5’e eşit veya -2.5’ten büyük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda -2.5 noktasını kapalı yaparız (çünkü -2.5 dahil) ve -2.5’in sağ tarafını tararız.
f) $x – 8 le 4$
Adım 1: Eşitsizliği çözelim.
$x – 8 le 4$
Her iki tarafa 8 ekleyelim:
$x le 4 + 8$
$x le 12$
Adım 2: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x le 12$ demek, $x$’in 12’ye eşit veya 12’den küçük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda 12 noktasını kapalı yaparız (çünkü 12 dahil) ve 12’nin sol tarafını tararız.
g) $6 – 2x > -8$
Adım 1: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
$-2x > -8 – 6$
$-2x > -14$
Adım 2: Eşitsizliği çözelim.
Her iki tarafı -2’ye bölelim. Eşitsizlik yön değiştirir:
$x < frac{-14}{-2}$
$x < 7$
Adım 3: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x < 7$ demek, $x$'in 7'den küçük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda 7 noktasını açık bırakırız (çünkü 7 dahil değil) ve 7'nin sol tarafını tararız.
ğ) $14 le 16 – x$
Adım 1: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
$x le 16 – 14$
$x le 2$
Adım 2: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x le 2$ demek, $x$’in 2’ye eşit veya 2’den küçük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda 2 noktasını kapalı yaparız (çünkü 2 dahil) ve 2’nin sol tarafını tararız.
h) $1 ge 5 – 2x$
Adım 1: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
$2x ge 5 – 1$
$2x ge 4$
Adım 2: Eşitsizliği çözelim.
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
$x ge frac{4}{2}$
$x ge 2$
Adım 3: Sayı doğrusunda gösterelim.
$x ge 2$ demek, $x$’in 2’ye eşit veya 2’den büyük tüm gerçek sayılar olması demektir. Sayı doğrusunda 2 noktasını kapalı yaparız (çünkü 2 dahil) ve 2’nin sağ tarafını tararız.
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Başka sorularınız olursa çekinmeden sorun! Hepinize iyi çalışmalar dilerim.