Merhaba sevgili öğrencilerim! Hazırsanız, bu matematik sorularını birlikte çözelim. Her bir soruyu adım adım inceleyecek ve anlayacağınız dilde açıklayacağım.
1. Aşağıdaki dik üçgenlerde verilmeyen uzunlukları hesaplayınız.
a)
Bu soruda bir dik üçgenimiz var. Pisagor teoremini kullanarak verilmeyen kenarı bulacağız. Pisagor teoremi der ki: Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani a² + b² = c²
Burada dik kenarlarımız 10 br ve 12 br. Hipotenüs ise c kenarı.
O halde:
10² + 12² = c²
100 + 144 = c²
244 = c²
c = √244 br
√244’ü sadeleştirebiliriz: √244 = √(4 * 61) = 2√61 br
Sonuç: 2√61 br
b)
Bu soruda da bir dik üçgenimiz var ve Pisagor teoremini kullanacağız. Dik kenarlarımız 5 br ve ‘e’ kenarı. Hipotenüsümüz ise 13 br.
5² + e² = 13²
25 + e² = 169
e² = 169 – 25
e² = 144
e = √144
e = 12 br
Sonuç: 12 br
c)
Bu soruda dik kenarlarımız 10 br ve 4 br. Hipotenüsümüz ise M kenarı.
10² + 4² = M²
100 + 16 = M²
116 = M²
M = √116 br
√116’yı sadeleştirebiliriz: √116 = √(4 * 29) = 2√29 br
Sonuç: 2√29 br
2. Şekilde verilenlere göre x kaç cm’dir?
Bu şekle baktığımızda, iç içe geçmiş dik üçgenler görüyoruz. Her bir küçük dik üçgende Pisagor teoremini uygulayarak ilerleyeceğiz.
En alttaki küçük dik üçgenden başlayalım. Dik kenarlar 1 cm ve 1 cm. Hipotenüsünü bulalım:
1² + 1² = a²
1 + 1 = a²
a² = 2
a = √2 cm
Şimdi bir üstteki dik üçgene bakalım. Dik kenarlarından biri 1 cm, diğeri ise az önce bulduğumuz √2 cm. Bu üçgenin hipotenüsünü bulalım:
1² + (√2)² = b²
1 + 2 = b²
b² = 3
b = √3 cm
Bir üstteki dik üçgene geçelim. Dik kenarlarımız 1 cm ve √3 cm. Hipotenüsünü bulalım:
1² + (√3)² = c²
1 + 3 = c²
c² = 4
c = √4
c = 2 cm
Şimdi en üstteki dik üçgene geldik. Dik kenarlarımız 1 cm ve 2 cm. Hipotenüs ise ‘x’ kenarı.
1² + 2² = x²
1 + 4 = x²
x² = 5
x = √5 cm
Sonuç: √5 cm
3. Aşağıdaki dik üçgenlerde verilmeyen uzunlukları bulunuz.
a)
Burada bir dik üçgenimiz var. Dik kenarlar 4 br ve 4 br. Hipotenüsümüz ise AC kenarı.
Pisagor teoremini uygulayalım:
4² + 4² = AC²
16 + 16 = AC²
32 = AC²
AC = √32 br
√32’yi sadeleştirebiliriz: √32 = √(16 * 2) = 4√2 br
Sonuç: 4√2 br
b)
Bu dik üçgende dik kenarlarımız 6√2 br ve 6 br. Hipotenüsümüz ise DF kenarı.
Pisagor teoremini kullanalım:
(6√2)² + 6² = DF²
(36 * 2) + 36 = DF²
72 + 36 = DF²
108 = DF²
DF = √108 br
√108’i sadeleştirebiliriz: √108 = √(36 * 3) = 6√3 br
Sonuç: 6√3 br
c)
Bu dik üçgende dik kenarlarımız 8 br ve 8 br. Hipotenüsümüz ise KM kenarı.
Pisagor teoremini uygulayalım:
8² + 8² = KM²
64 + 64 = KM²
128 = KM²
KM = √128 br
√128’i sadeleştirebiliriz: √128 = √(64 * 2) = 8√2 br
Sonuç: 8√2 br
4. Yandaki karenin alanı 81 cm² ise |AC| = x kaç cm’dir?
Bir karenin alanı kenarının karesine eşittir. Alanı 81 cm² ise, kenar uzunluğunu bulmak için 81’in karekökünü alırız.
Kenar = √81 = 9 cm
Yani karenin her bir kenarı 9 cm’dir.
AC, karenin köşegenidir. Bir karede köşegen, dik kenarları 9 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
Pisagor teoremini kullanalım:
9² + 9² = x²
81 + 81 = x²
162 = x²
x = √162 cm
√162’yi sadeleştirebiliriz: √162 = √(81 * 2) = 9√2 cm
Sonuç: 9√2 cm
7. Kenar uzunlukları 7 ve 12 cm olan dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
Bir dikdörtgende köşegen, dik kenarları dikdörtgenin kenar uzunlukları olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
Burada dik kenarlarımız 7 cm ve 12 cm. Köşegen uzunluğunu (hipotenüsü) bulmak için Pisagor teoremini kullanacağız.
7² + 12² = Köşegen²
49 + 144 = Köşegen²
193 = Köşegen²
Köşegen = √193 cm
√193 sayısı daha fazla sadeleşmez.
Sonuç: √193 cm
8. Yandaki ABC dik üçgeninde;
|AB| = 15 cm,
|AD| = 17 cm,
|DC| = 28 cm ise |AC| = x kaç cm’dir?
Bu soruda iki tane dik üçgenimiz var gibi görünüyor. Önce ADC üçgenini inceleyelim. Bu bir dik üçgen ve dik kenarları AD (17 cm) ve DC (28 cm). AC kenarı ise bu üçgenin hipotenüsüdür.
Pisagor teoremini uygulayalım:
AD² + DC² = AC²
17² + 28² = x²
289 + 784 = x²
1073 = x²
x = √1073 cm
√1073 sayısı daha fazla sadeleşmez.
Sonuç: √1073 cm
9. Hipotenüsü 8√2 cm olan ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının toplamı kaç cm’dir?
İkizkenar dik üçgen demek, dik kenarlarının birbirine eşit olması demektir. Dik kenarların her birine ‘a’ diyelim.
Pisagor teoremini uygulayalım:
a² + a² = (8√2)²
2a² = (64 * 2)
2a² = 128
a² = 128 / 2
a² = 64
a = √64
a = 8 cm
Dik kenarların uzunlukları 8 cm’dir. Bize dik kenarlarının uzunluklarının toplamı soruluyor.
Toplam = a + a = 8 cm + 8 cm = 16 cm
Sonuç: 16 cm
10. Köşegen uzunluğu 10 cm olan karenin çevre uzunluğu kaç cm’dir?
Bir karede köşegen uzunluğu ‘a√2’ formülüyle bulunur, burada ‘a’ karenin bir kenar uzunluğudur.
Bize köşegen uzunluğu 10 cm olarak verilmiş. O halde:
a√2 = 10 cm
a = 10 / √2 cm
Bu ifadeyi rasyonel yapmak için pay ve paydayı √2 ile çarparız:
a = (10 * √2) / (√2 * √2)
a = 10√2 / 2
a = 5√2 cm
Karenin bir kenar uzunluğu 5√2 cm’dir.
Karenin çevresi ise 4 x kenar uzunluğudur.
Çevre = 4 * 5√2 cm
Çevre = 20√2 cm
Sonuç: 20√2 cm
11. ABCD dikdörtgen, BEFC karedir. Şekilde verilen uzunluklara göre AEFD dikdörtgeninin köşegen uzunluğunu bulunuz.
Soruda ABCD bir dikdörtgen, BEFC ise bir kare olarak verilmiş. Şekle baktığımızda:
- BEFC bir kare olduğu için, kenar uzunlukları eşittir. Yani |BE| = |EF| = |FC| = |CB|.
- ABCD bir dikdörtgen olduğu için, |AB| = |DC| ve |AD| = |BC|.
- AEFD da bir dikdörtgenmiş. Yani |AE| = |DF| ve |AD| = |EF|.
Şekilde verilen uzunluklara göre:
- |AB| = 12 cm
- |BE| = 5 cm
BEFC kare olduğu için |BC| = |BE| = 5 cm’dir.
ABCD dikdörtgen olduğu için |AD| = |BC| = 5 cm’dir.
AEFD bir dikdörtgen ise, köşegen uzunluğu |AF| veya |DE| olacaktır. Bizden |DE| köşegen uzunluğu isteniyor.
Şimdi |AE| uzunluğunu bulalım. A, B, E noktaları aynı doğru üzerindedir. |AE| = |AB| + |BE|’dir.
|AE| = 12 cm + 5 cm = 17 cm
AEFD dikdörtgeninin kenar uzunlukları |AE| = 17 cm ve |AD| = 5 cm’dir.
AEFD dikdörtgeninin köşegeni |DE|’dir. Dikdörtgenin köşegeni, kenar uzunlukları 17 cm ve 5 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
Pisagor teoremini kullanalım:
|AE|² + |AD|² = |DE|²
17² + 5² = |DE|²
289 + 25 = |DE|²
314 = |DE|²
|DE| = √314 cm
√314 sayısı daha fazla sadeleşmez.
Sonuç: √314 cm
Umarım bu çözümler ve açıklamalar sizin için faydalı olmuştur. Anlamadığınız yer olursa çekinmeden sorun lütfen! Başarılar dilerim!