Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün, EBOB ve EKOK konusundaki bilgilerimizi pekiştirecek harika sorular çözeceğiz. Hazırsanız, ilk sorudan başlayalım!
1. Aşağıda verilen sayı çiftlerinin EBOB’larını ve EKOK’larını bulunuz.
a) 36 ve 48
b) 15 ve 25
c) 12 ve 25
Bu soruda, verilen sayı çiftlerinin En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) ve En Küçük Ortak Katını (EKOK) bulmamız isteniyor. Hadi bu işlemleri adım adım yapalım.
a) 36 ve 48
Önce 36 ve 48’in asal çarpanlarına ayrılmış halini bulalım:
- 36 = 2² * 3²
- 48 = 2⁴ * 3
EBOB(36, 48): Ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız. Ortak olanlar 2 ve 3’tür. En küçük üslüleri ise 2² ve 3¹’tür. Yani EBOB(36, 48) = 2² * 3 = 4 * 3 = 12 olur.
EKOK(36, 48): Tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını alırız. Bunlar 2⁴ ve 3²’dir. Yani EKOK(36, 48) = 2⁴ * 3² = 16 * 9 = 144 olur.
b) 15 ve 25
Şimdi de 15 ve 25’in asal çarpanlarına ayrılmış halini bulalım:
- 15 = 3 * 5
- 25 = 5²
EBOB(15, 25): Ortak olan asal çarpan 5’tir. En küçük üssü 5¹’dir. Yani EBOB(15, 25) = 5 olur.
EKOK(15, 25): Tüm asal çarpanların en büyük üslü olanları 3¹ ve 5²’dir. Yani EKOK(15, 25) = 3 * 5² = 3 * 25 = 75 olur.
c) 12 ve 25
12 ve 25’in asal çarpanlarına ayrılmış halleri:
- 12 = 2² * 3
- 25 = 5²
EBOB(12, 25): Bu iki sayının ortak asal çarpanı yoktur. Ortak bölenleri sadece 1’dir. Yani EBOB(12, 25) = 1 olur.
EKOK(12, 25): Tüm asal çarpanların en büyük üslü olanları 2², 3¹ ve 5²’dir. Yani EKOK(12, 25) = 2² * 3 * 5² = 4 * 3 * 25 = 12 * 25 = 300 olur.
2. Aşağıda çarpanlarına ayrılmış şekilde verilen sayıların EBOB’larını ve EKOK’larını yazınız.
a) A = 2³ ⋅ 3 ⋅ 5
B = 2² ⋅ 7
b) C = 2 ⋅ 3²
D = 2² ⋅ 3
c) E = 2 ⋅ 5³
F = 2² ⋅ 5 ⋅ 11
Bu soruda, sayılar zaten asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilmiş. Bu da EBOB ve EKOK bulmayı çok daha kolaylaştırıyor!
a) A = 2³ ⋅ 3 ⋅ 5 ve B = 2² ⋅ 7
EBOB(A, B): Ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alacağız. Ortak olan tek asal çarpan 2’dir ve en küçük üssü 2²’dir. Yani EBOB(A, B) = 2² = 4 olur.
EKOK(A, B): Tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını alacağız. Bunlar 2³, 3, 5 ve 7’dir. Yani EKOK(A, B) = 2³ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 8 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 24 ⋅ 35 = 840 olur.
b) C = 2 ⋅ 3² ve D = 2² ⋅ 3
EBOB(C, D): Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür. En küçük üslüleri 2¹ ve 3¹’dir. Yani EBOB(C, D) = 2 ⋅ 3 = 6 olur.
EKOK(C, D): Tüm asal çarpanların en büyük üslüleri 2² ve 3²’dir. Yani EKOK(C, D) = 2² ⋅ 3² = 4 ⋅ 9 = 36 olur.
c) E = 2 ⋅ 5³ ve F = 2² ⋅ 5 ⋅ 11
EBOB(E, F): Ortak asal çarpanlar 2 ve 5’tir. En küçük üslüleri 2¹ ve 5¹’dir. Yani EBOB(E, F) = 2 ⋅ 5 = 10 olur.
EKOK(E, F): Tüm asal çarpanların en büyük üslüleri 2², 5³ ve 11’dir. Yani EKOK(E, F) = 2² ⋅ 5³ ⋅ 11 = 4 ⋅ 125 ⋅ 11 = 500 ⋅ 11 = 5500 olur.
3. Aşağıda asal çarpanlar algoritması ile çarpanlarına ayrılan ifadelerde boş bırakılan yerleri tamamlayınız. Sayı çiftlerinin EBOB’larını ve EKOK’larını bulunuz.
a) 30 ve 45
b) 75 ve 25
c) 60 ve 140
Bu soruda, asal çarpanlar algoritmasını kullanarak EBOB ve EKOK bulacağız. Algoritmada, ortak olan bölenler EBOB’u, tüm bölenler ise EKOK’u verir.
a) 30 ve 45
Algoritmayı tamamlayalım:
30 45 | 3 (Ortak bölen)
10 15 | 5 (Ortak bölen)
2 3 | 2 (Ortak değil)
1 3 | 3 (Ortak değil)
1
EBOB(30, 45): Ortak bölenler 3 ve 5’tir. EBOB = 3 * 5 = 15 olur.
EKOK(30, 45): Tüm bölenler 3, 5, 2 ve 3’tür. EKOK = 3 * 5 * 2 * 3 = 90 olur.
b) 75 ve 25
Algoritmayı tamamlayalım:
75 25 | 25 (Ortak bölen)
3 1 | 3 (Ortak değil)
1
EBOB(75, 25): Ortak bölen sadece 25’tir. EBOB = 25 olur.
EKOK(75, 25): Tüm bölenler 25 ve 3’tür. EKOK = 25 * 3 = 75 olur.
c) 60 ve 140
Algoritmayı tamamlayalım:
60 140 | 2 (Ortak bölen)
30 70 | 2 (Ortak bölen)
15 35 | 5 (Ortak bölen)
3 7 | 3 (Ortak değil)
1 7 | 7 (Ortak değil)
1
EBOB(60, 140): Ortak bölenler 2, 2 ve 5’tir. EBOB = 2 * 2 * 5 = 20 olur.
EKOK(60, 140): Tüm bölenler 2, 2, 5, 3 ve 7’dir. EKOK = 2 * 2 * 5 * 3 * 7 = 420 olur.
4. EBOB(25, 40) + EKOK(14, 16) işleminin sonucunu bulunuz.
Bu soruda iki ayrı işlem yapacağız: önce EBOB(25, 40)’ı, sonra EKOK(14, 16)’yı bulup bu iki sonucu toplayacağız.
Adım 1: EBOB(25, 40) bulalım.
- 25 = 5²
- 40 = 2³ ⋅ 5
Ortak asal çarpan 5’tir ve en küçük üssü 5¹’dir. Yani, EBOB(25, 40) = 5.
Adım 2: EKOK(14, 16) bulalım.
- 14 = 2 ⋅ 7
- 16 = 2⁴
Tüm asal çarpanların en büyük üslüleri 2⁴ ve 7¹’dir. Yani, EKOK(14, 16) = 2⁴ ⋅ 7 = 16 ⋅ 7 = 112 olur.
Adım 3: Sonucu bulalım.
İşlemimiz EBOB(25, 40) + EKOK(14, 16) idi. Bulduğumuz sonuçları toplayalım:
5 + 112 = 117
Sonuç: 117
5. İki sayının EBOB’u 9, EKOK’u 270’tir. Sayılardan biri 27 ise diğer sayıyı bulunuz.
Bu tür sorularda kullanabileceğimiz çok önemli bir formülümüz var: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına eşittir. Yani:
Sayı1 ⋅ Sayı2 = EBOB(Sayı1, Sayı2) ⋅ EKOK(Sayı1, Sayı2)
Şimdi verilenleri yerine koyalım:
- Sayı1 = 27
- EBOB = 9
- EKOK = 270
- Sayı2 = ?
27 ⋅ Sayı2 = 9 ⋅ 270
Sayı2’yi bulmak için denklemi çözelim:
Sayı2 = (9 ⋅ 270) / 27
İşlemi kolaylaştırmak için 270’i 27’ye bölebiliriz, bu da 10 eder. Ya da 9 ile 27’yi sadeleştirebiliriz.
Sayı2 = 9 ⋅ (270 / 27)
Sayı2 = 9 ⋅ 10
Sayı2 = 90
Diğer sayı 90’dır.
6. Toplamları 33 olan iki sayının en küçük ortak katı 90’dır. Buna göre bu sayıları bulunuz.
Bu soruyu çözmek için biraz deneme yanılma ve mantık yürütme kullanacağız. İki sayının toplamı 33 ve EKOK’u 90 olacak. Bu sayılar EBOB ve EKOK ile ilgili özelliklere sahip olmalı.
Öncelikle, EKOK’u 90 olan sayı çiftlerini düşünelim. 90’ın çarpanlarına bakalım:
- 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Şimdi bu çarpanlardan ikisinin toplamının 33 olup olmadığını kontrol edelim:
- 1 + 30 = 31 (Olmadı)
- 2 + ? (Diğer sayı çok büyük olur)
- 3 + ? (Diğer sayı çok büyük olur)
- 5 + ? (Diğer sayı çok büyük olur)
- 6 + ? (Diğer sayı çok büyük olur)
- 9 + ? (Diğer sayı çok büyük olur)
- 10 + ? (Diğer sayı çok büyük olur)
- 15 + 18 = 33 (İşte bulduk! Bu sayılar 15 ve 18 olabilir.)
Şimdi bu sayıların EBOB ve EKOK’larını kontrol edelim:
- 15 = 3 ⋅ 5
- 18 = 2 ⋅ 3²
EBOB(15, 18) = 3
EKOK(15, 18) = 2 ⋅ 3² ⋅ 5 = 2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 90
Hem toplamları 33 hem de EKOK’ları 90 olan sayılar 15 ve 18’dir.
7. 9 ve 15 sayıları ile bölündüğünde her iki bölümde de 3 kalanı veren en küçük pozitif sayının rakamlarının toplamını bulunuz.
Bu soruda, “her iki bölümde de 3 kalanı veren en küçük pozitif sayı” dediği için, öncelikle 9 ve 15’in EKOK’unu bulacağız. Sonra bulduğumuz EKOK’a kalanı ekleyerek istediğimiz sayıyı elde edeceğiz.
Adım 1: 9 ve 15’in EKOK’unu bulalım.
- 9 = 3²
- 15 = 3 ⋅ 5
EKOK(9, 15) = 3² ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 45 olur.
Adım 2: Kalanı ekleyerek sayıyı bulalım.
Kalan 3 olduğuna göre, aradığımız en küçük pozitif sayı 45 + 3 = 48’dir.
Adım 3: Sayının rakamlarının toplamını bulalım.
Bulduğumuz sayı 48’dir. Rakamları 4 ve 8’dir. Bu rakamları toplarsak:
4 + 8 = 12
Cevap: 12
8. 124 ve 180’in EKOK’u, EBOB’undan kaç fazladır?
Bu soruda da önce 124 ve 180’in EBOB’unu ve EKOK’unu bulacağız, sonra aralarındaki farkı hesaplayacağız.
Adım 1: 124 ve 180’in asal çarpanlarını bulalım.
- 124 = 2 ⋅ 62 = 2 ⋅ 2 ⋅ 31 = 2² ⋅ 31
- 180 = 18 ⋅ 10 = (2 ⋅ 3²) ⋅ (2 ⋅ 5) = 2² ⋅ 3² ⋅ 5
Adım 2: EBOB’u bulalım.
Ortak olan asal çarpan 2’dir ve en küçük üssü 2²’dir. Yani, EBOB(124, 180) = 2² = 4.
Adım 3: EKOK’u bulalım.
Tüm asal çarpanların en büyük üslüleri 2², 3², 5 ve 31’dir. Yani, EKOK(124, 180) = 2² ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 31 = 4 ⋅ 9 ⋅ 5 ⋅ 31 = 36 ⋅ 5 ⋅ 31 = 180 ⋅ 31 = 5580 olur.
Adım 4: Aradaki farkı bulalım.
EKOK – EBOB = 5580 – 4 = 5576
Cevap: 5576
9. Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisinin EBOB’u 1, EKOK’u 120’dir?
a) 4 ve 12
b) 8 ve 42
c) 15 ve 8
d) 18 ve 16
Bu soruda şıkları tek tek kontrol etmemiz gerekiyor. Her şık için EBOB ve EKOK’u hesaplayıp, istenen şartları (EBOB=1, EKOK=120) sağlayıp sağlamadığını göreceğiz.
a) 4 ve 12
- 4 = 2²
- 12 = 2² ⋅ 3
EBOB(4, 12) = 2² = 4 (1 değil, o yüzden bu şık değil)
b) 8 ve 42
- 8 = 2³
- 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7
EBOB(8, 42) = 2 (1 değil, o yüzden bu şık değil)
c) 15 ve 8
- 15 = 3 ⋅ 5
- 8 = 2³
EBOB(15, 8) = 1 (Ortak bölenleri yok)
EKOK(15, 8) = 2³ ⋅ 3 ⋅ 5 = 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 (İstenen şartları sağlıyor!)
Bu şık doğru cevap gibi görünüyor.
d) 18 ve 16
- 18 = 2 ⋅ 3²
- 16 = 2⁴
EBOB(18, 16) = 2 (1 değil, o yüzden bu şık değil)
Cevap: c) 15 ve 8
10. EBOB(45, 98) + EKOK(45, 98) toplamının sonucu kaçtır?
Bu soruda da önce EBOB ve EKOK’u bulacağız, sonra toplayacağız. Ancak burada bir ipucu var: EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b formülünü kullanabiliriz.
Adım 1: 45 ve 98’in asal çarpanlarını bulalım.
- 45 = 5 ⋅ 9 = 3² ⋅ 5
- 98 = 2 ⋅ 49 = 2 ⋅ 7²
Adım 2: EBOB’u bulalım.
Bu iki sayının ortak asal çarpanı yoktur. Bu yüzden EBOB’ları 1’dir.
EBOB(45, 98) = 1
Adım 3: EKOK’u bulalım.
Formülü kullanarak EKOK’u bulmak daha kolay olacaktır:
EBOB(45, 98) ⋅ EKOK(45, 98) = 45 ⋅ 98
1 ⋅ EKOK(45, 98) = 45 ⋅ 98
EKOK(45, 98) = 45 ⋅ 98
Şimdi 45 ile 98’i çarpalım:
45
x 98
----
360 (45 * 8)
4050 (45 * 90)
----
4410
EKOK(45, 98) = 4410
Adım 4: Toplamın sonucunu bulalım.
EBOB(45, 98) + EKOK(45, 98) = 1 + 4410 = 4411
Sonuç: 4411
Harika bir çalışma oldu sevgili öğrencilerim! Bu sorularla EBOB ve EKOK konusundaki becerilerimizi iyice geliştirdik. Anlamadığınız yer olursa çekinmeden sorun lütfen!