Merhaba sevgili öğrencim, matematiğin bu keyifli konusunu birlikte inceleyelim. Seninle paylaştığın görseldeki problemleri adım adım, sanki sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi ele alacağız. Hazırsan başlayalım!
7. Soru: Çarpımları 15, karelerinin toplamı 34 olan iki doğal sayıdan, büyük olan küçük olandan kaç fazladır?
Bu soruyu çözmek için iki farklı yol kullanabiliriz. Biri mantık yürüterek sayıları bulmak, diğeri ise cebirsel ifadelerle (özdeşliklerle) çözmek. Gel seninle her iki yolu da inceleyelim.
1. Yol: Değer Vererek Bulma (Pratik Yol)
- Adım 1: Soruda bize bu sayıların “doğal sayı” olduğu söylenmiş. Çarpımları 15 olan doğal sayı çiftlerini düşünelim.
1 ile 15 (1 x 15 = 15)
3 ile 5 (3 x 5 = 15) - Adım 2: Şimdi bu çiftlerin karelerinin toplamının 34 olup olmadığını kontrol edelim.
1 ve 15 için: 1’in karesi (1) + 15’in karesi (225) = 226. (Bu değil, çünkü 34 olmalı.)
3 ve 5 için: 3’ün karesi (9) + 5’in karesi (25).
9 + 25 işlemini yapalım:
25
+ 9
—-
34 (Evet! Aradığımız sayılar bunlarmış.) - Adım 3: Sayılarımız 3 ve 5. Soruda “büyük olan küçük olandan kaç fazladır?” diye sorulmuş.
5 – 3 = 2
2. Yol: Özdeşlik Kullanarak Çözme (Matematiksel Yol)
Bu yöntem, sayılar tahmin edemeyeceğimiz kadar zor olduğunda hayat kurtarır.
- Adım 1: Sayılarımıza x ve y diyelim.
Bize verilenler: x . y = 15 ve x² + y² = 34.
Bizden istenen farkları: x – y. - Adım 2: İki terimin farkının karesi özdeşliğini hatırlayalım:
(x – y)² = x² – 2xy + y² - Adım 3: Bildiğimiz sayıları yerine koyalım. x² + y² yerine 34 yazacağız, x.y yerine 15 yazacağız.
(x – y)² = 34 – 2 . (15)
(x – y)² = 34 – 30
(x – y)² = 4 - Adım 4: Hangi sayının karesi 4 eder? Tabii ki 2’nin.
O halde x – y = 2‘dir.
Sonuç: Her iki yöntemle de cevabımız D) 2 seçeneğidir.
Etkinlik Bölümü: Cebir Karoları ile Çarpanlara Ayırma
Görselin en altındaki “Etkinlik” kutusundaki soruları sırasıyla, şekli analiz ederek cevaplayalım. Burada bir dikdörtgen oluşturulmuş ve bizden bunun alanını iki farklı şekilde ifade etmemiz isteniyor.
Soru 1: Şeklin alanını cebir karolarının toplamı olarak yazınız.
Çözüm:
- Adım 1: Şeklin içindeki parçaları sayalım.
Sol tarafta 2 adet büyük mavi kare var. Her birinin alanı x² olduğuna göre, 2 tanesi 2x² yapar. - Adım 2: Sağ tarafta 6 adet pembe dikdörtgen var. Dikkat edersen üzerlerinde “-x-x-x” yazıyor. Yani her biri -x alanına sahip. 6 tanesi -6x yapar.
- Adım 3: Hepsini toplarsak alan: 2x² – 6x olur.
Soru 2: Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarının çarpımı olarak yazınız.
Çözüm:
- Adım 1: Dikdörtgenin yüksekliğine bakalım. Üst üste iki tane x kenarı var. Yandaki okta da gösterildiği gibi yükseklik 2x‘tir.
- Adım 2: Dikdörtgenin genişliğine (tabanına) bakalım. Alttaki okta x – 3 yazıyor. Bu, bir tane x uzunluğu ve yanında 3 tane negatif birimlik (-1) uzunluk olduğunu gösterir.
- Adım 3: Alan, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Alan = 2x . (x – 3)
Soru 3: Cebir karolarının toplamı olarak yazdığınız ifade ile kenar uzunluklarının çarpımı olarak yazdığınız ifade arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak yazınız.
Çözüm:
- Bu iki ifade aslında aynı alanın iki farklı gösterimidir. Biri parçaların toplamı, diğeri kenarların çarpımıdır. Dolayısıyla birbirine eşittirler.
2x² – 6x = 2x . (x – 3)
Soru 4: Oluşturduğunuz eşitliğin hangi tarafı, iki cebirsel ifadenin çarpımı şeklindedir?
Çözüm:
- Eşitliğin sağ tarafı, yani parantezli olan kısım çarpım halindedir.
2x . (x – 3) tarafı çarpım şeklindedir.
Soru 5: Bu çarpanlar hangi cebirsel ifadelerdir?
Çözüm:
- Çarpma işlemindeki her bir bileşene çarpan deriz. Burada çarpanlarımız:
Birinci çarpan: 2x
İkinci çarpan: (x – 3)
Umarım bu çözümler konuyu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Cebir karoları, soyut olan bu ifadeleri gözünde canlandırman için harika bir araçtır. Başarılar dilerim!