Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün birlikte matematik dersindeki doğrusal denklemler konusunu pekiştirecek harika sorular çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
4. Örnek
Yandaki tabloya göre x ve y arasındaki artış miktarını bulalım ve buna uygun doğrusal ilişkiyi yazalım.
Çözüm
Öncelikle tablodaki değerlere bir göz atalım. x değerleri 1’den başlayıp 1’er 1’er artıyor: 1, 2, 3, 4, 5. y değerleri ise 3’ten başlayıp 2’şer 2’şer artıyor: 3, 4, 5, 6, 7.
Bu durumda şunu görüyoruz: x değeri 1 arttığında, y değeri de 2 artıyor. Bu, aralarındaki ilişkinin sabit bir oranda olduğunu gösteriyor.
Şimdi bu ilişkiyi denklem haline getirelim. x’in 2 katının sabit bir sayı eklenmesiyle y’yi elde ettiğimizi düşünebiliriz. Deneyelim:
- x=1 iken 2 * 1 = 2. y=3 olmalı. Demek ki 1 eklememiz gerekiyor. 2 * 1 + 1 = 3.
- x=2 iken 2 * 2 = 4. y=4 olmalı. Demek ki 0 eklememiz gerekiyor. Bu tutmadı.
Peki, şöyle düşünelim: x’in kendisiyle bir işimiz var ve buna bir sabit ekliyoruz. Y değerleri x değerlerinden ne kadar fazla? Bakalım:
- x=1, y=3. Aradaki fark 2. (3 – 1 = 2)
- x=2, y=4. Aradaki fark 2. (4 – 2 = 2)
- x=3, y=5. Aradaki fark 2. (5 – 3 = 2)
- x=4, y=6. Aradaki fark 2. (6 – 4 = 2)
- x=5, y=7. Aradaki fark 2. (7 – 5 = 2)
Harika! Gördüğünüz gibi, her zaman y değeri, x değerinden 2 fazlaymış. İşte bu bize denklemimizi veriyor!
y = x + 2
Bu denklem, x ve y arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteriyor.
Öğrendiklerimizi Uygulayalım
1. Ayşe, arabayla ailesini ziyarete gitmeye karar verir. Arabasında 60 L benzin vardır. Her 100 kilometre de 6 L benzin azalmaktadır. Kilometre arttıkça arabanın benzin deposunda kalan benzin miktarı arasındaki doğrusal ilişki denklemini yazınız.
Bu soruda da bir doğrusal ilişki var. Başlangıçta 60 litre benzinimiz var. Her 100 km gidildiğinde 6 litre benzin harcanıyor. Bizden istenen, gidilen kilometre (x diyelim) ile depoda kalan benzin miktarı (y diyelim) arasındaki ilişki.
Önce harcanan benzini kilometreye oranlayalım. 100 km’de 6 litre harcanıyorsa, 1 km’de ne kadar harcanır? Bunu bulmak için 6’yı 100’e böleriz:
6 L / 100 km = 0.06 L/km
Yani her kilometre için 0.06 litre benzin harcanıyor. Bu, bizim x’imiz arttıkça y’mizin azalacağı anlamına geliyor. Bu azalma miktarı 0.06 çarpı gidilen kilometre olacaktır.
Başlangıçta 60 litremiz vardı. Gidilen kilometre (x) kadar benzin harcandığında depoda kalan benzin (y) şöyle olur:
Depoda Kalan Benzin = Başlangıç Benzini – Harcanan Benzin
Harcanan benzin, 1 km’de harcanan miktar çarpı gidilen kilometre kadardır.
Harcanan Benzin = 0.06 * x
Şimdi bunu denklemimize yerleştirelim:
y = 60 – 0.06 * x
Yani Ayşe’nin arabasındaki benzin miktarı ile gidilen kilometre arasındaki doğrusal ilişki denklemi:
y = 60 – 0.06x
2. Doğduğunda 52 cm olan Tuna, ilk yıl her ay 2 cm uzamıştır. Tuna’nın boy uzunluğu ile geçen süre arasındaki doğrusal ilişki denklemini yazınız. Tuna 1 yaşında olduğunda boyu kaç cm olur?
Bu soruda da başlangıç durumu ve bir değişim hızı var. Tuna doğduğunda 52 cm’ymiş. Bu bizim başlangıç noktamız. İlk yıl boyunca her ay 2 cm uzamış. Ay sayısını ‘x’ ile gösterelim, Tuna’nın boyunu ise ‘y’ ile gösterelim.
Her ay 2 cm uzadığına göre, ‘x’ ayda Tuna ne kadar uzar? Bunu bulmak için ay sayısını (x) uzama miktarıyla (2 cm) çarparız:
Uzadığı Boy = 2 * x
Tuna’nın toplam boyu ise başlangıç boyu ile uzadığı boyun toplamı olacaktır:
Toplam Boy = Başlangıç Boyu + Uzadığı Boy
Şimdi bunu denklemimize yerleştirelim:
y = 52 + 2 * x
Yani Tuna’nın boyu ile geçen ay sayısı arasındaki doğrusal ilişki denklemi:
y = 52 + 2x
Şimdi de Tuna’nın 1 yaşında olduğunda boyunu bulalım. 1 yıl = 12 ay demektir. Yani x = 12 olacak.
Denklemimizde x yerine 12 yazalım:
y = 52 + 2 * 12
Önce çarpma işlemini yapalım:
2 * 12 = 24
Şimdi toplama işlemini yapalım:
52 + 24 = 76
Demek ki Tuna 1 yaşında olduğunda boyu 76 cm olur.
3. Bir fidan dikildiğinde 50 cm uzunluğundadır. Her gün 2 mm uzamaktadır. Geçen gün sayısı ile fidanın boyu arasındaki doğrusal ilişki nedir?
Bu soruda da yine bir başlangıç değeri ve bir değişim hızı var. Fidan dikildiğinde 50 cm’ymiş. Bu başlangıç boyu. Her gün 2 mm uzuyor. Burada birimlere dikkat edelim, başlangıç boyu santimetre, uzama miktarı milimetre. İkisini de aynı birime çevirelim.
Genellikle milimetreyi santimetreye çevirmek daha kolaydır. 1 cm = 10 mm. O zaman 1 mm = 0.1 cm olur.
Her gün 2 mm uzuyorsa, bu santimetre cinsinden ne kadar eder? 2 mm * 0.1 cm/mm = 0.2 cm.
Yani fidan her gün 0.2 cm uzuyor.
Gün sayısını ‘x’ ile, fidanın boyunu ise ‘y’ ile gösterelim.
Her gün 0.2 cm uzadığına göre, ‘x’ günde ne kadar uzar? Bunu bulmak için gün sayısını (x) uzama miktarıyla (0.2 cm) çarparız:
Uzadığı Boy = 0.2 * x
Fidanın toplam boyu ise başlangıç boyu ile uzadığı boyun toplamı olacaktır:
Toplam Boy = Başlangıç Boyu + Uzadığı Boy
Şimdi bunu denklemimize yerleştirelim:
y = 50 + 0.2 * x
Yani geçen gün sayısı ile fidanın boyu arasındaki doğrusal ilişki denklemi:
y = 50 + 0.2x
4. Tabloya göre x ile y arasındaki doğrusal ilişki nedir?
Bu tabloda verilen değerlere bakalım:
| x | y |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 4 | 11 |
x değerlerine baktığımızda 1’den başlayıp 1’er 1’er arttığını görüyoruz: 1, 2, 3, 4.
y değerlerine baktığımızda ise 5’ten başlayıp 2’şer 2’şer arttığını görüyoruz: 5, 7, 9, 11.
Bu şu anlama geliyor: x değeri 1 arttığında, y değeri 2 artıyor. Bu sabit bir artış oranıdır.
Şimdi bu ilişkiyi bir denklemle ifade etmeye çalışalım. x’in 2 katının sabit bir sayı eklenmesiyle y’yi elde ettiğimizi düşünebiliriz.
Deneyelim:
- x=1 iken, 2 * 1 = 2. y=5 olmalı. Demek ki 3 eklememiz gerekiyor. 2 * 1 + 3 = 5.
- x=2 iken, 2 * 2 = 4. y=7 olmalı. Demek ki 3 eklememiz gerekiyor. 2 * 2 + 3 = 7.
- x=3 iken, 2 * 3 = 6. y=9 olmalı. Demek ki 3 eklememiz gerekiyor. 2 * 3 + 3 = 9.
- x=4 iken, 2 * 4 = 8. y=11 olmalı. Demek ki 3 eklememiz gerekiyor. 2 * 4 + 3 = 11.
Her zaman tuttu! Bu demektir ki, y değeri, x’in 2 katının 3 fazlasına eşittir.
Yani denklemimiz:
y = 2x + 3
Umarım bu çözümler ve açıklamalar sizin için faydalı olmuştur. Anlamadığınız yerleri tekrar sormaktan çekinmeyin! Başarılar dilerim!