Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle 8. sınıfın önemli konularından biri olan “Dönüşüm Geometrisi” yani öteleme ve yansıma üzerine konuşacağız. Önündeki görselde yer alan soruyu ve örnek çözümü birlikte inceleyip, mantığını adım adım kavrayacağız. Hazırsan başlayalım!
3. Soru
Yandaki koordinat sisteminde verilen şeklin, 2 br sola, 4 birim aşağı ötelenmesi sonucu oluşan şekli çiziniz.
Çözüm:
Bu soruda bizden “M” harfine benzeyen şekli koordinat düzleminde hareket ettirmemiz (ötelememiz) isteniyor. Öteleme işleminde şeklin boyutu veya yönü değişmez, sadece konumu değişir. Bunu bir satranç taşını kareler üzerinde kaydırmak gibi düşünebilirsin.
Şekli doğru çizebilmek için şeklin köşe noktalarını (kırılma noktalarını) belirleyip, her birini tek tek verilen kurala göre taşıyacağız. Sonra da bu yeni noktaları birleştireceğiz.
Adım 1: Mevcut Köşe Koordinatlarını Belirleyelim
Şeklin üzerindeki önemli noktaların koordinatlarına bakalım:
- Sol alt köşe: (2, 2)
- Sol üst uç: (2, 5)
- Ortadaki “V” kısmının ucu: (3, 3)
- Sağ üst uç: (4, 5)
- Sağ alt köşe: (4, 2)
Adım 2: Öteleme Kuralını Uygulayalım
Kuralımız ne diyor? “2 birim sola, 4 birim aşağı”.
- Sola gitmek: x eksenindeki değerden çıkarma yapmak demektir. (x – 2)
- Aşağı gitmek: y eksenindeki değerden çıkarma yapmak demektir. (y – 4)
Hadi şimdi her noktayı bu kurala göre hesaplayalım:
Sol alt köşe (2, 2) için:
- x değeri: 2 – 2 = 0
- y değeri: 2 – 4 = -2
- Yeni Nokta: (0, -2)
Sol üst uç (2, 5) için:
- x değeri: 2 – 2 = 0
- y değeri: 5 – 4 = 1
- Yeni Nokta: (0, 1)
Ortadaki uç (3, 3) için:
- x değeri: 3 – 2 = 1
- y değeri: 3 – 4 = -1
- Yeni Nokta: (1, -1)
Sağ üst uç (4, 5) için:
- x değeri: 4 – 2 = 2
- y değeri: 5 – 4 = 1
- Yeni Nokta: (2, 1)
Sağ alt köşe (4, 2) için:
- x değeri: 4 – 2 = 2
- y değeri: 2 – 4 = -2
- Yeni Nokta: (2, -2)
Sonuç:
Bulduğumuz bu yeni noktaları koordinat düzleminde işaretleyip birleştirdiğinde, “M” harfinin aynısını, sadece yeri değişmiş olarak göreceksin. Yeni şeklin sol alt köşesi y ekseni üzerinde -2 noktasında başlayacaktır.
1. Örnek (Çözümlü Soru Analizi)
Koordinatları A(2, 2), B(4, 2), C(4, 4), D(2, 4) olan kareyi 3 birim sağa öteleyerek y eksenine göre yansıtalım. Oluşan şeklin görüntüsünü çizelim.
Çözümün Açıklaması:
Burada iki aşamalı bir işlem var. Önce öteleme yapacağız, hemen ardından oluşan yeni şekli yansıtacağız. Kitabındaki çözümün mantığını gel beraber inceleyelim.
Adım 1: 3 Birim Sağa Öteleme
Bir şekli sağa ötelemek demek, x (apsis) değerlerini artırmak demektir. y (ordinat) değerleri değişmez.
Kural: (x, y) $rightarrow$ (x + 3, y)
- A(2, 2) $rightarrow$ 2 + 3 = 5 $rightarrow$ A'(5, 2)
- B(4, 2) $rightarrow$ 4 + 3 = 7 $rightarrow$ B'(7, 2)
- C(4, 4) $rightarrow$ 4 + 3 = 7 $rightarrow$ C'(7, 4)
- D(2, 4) $rightarrow$ 2 + 3 = 5 $rightarrow$ D'(5, 4)
Şu an karemiz sağ tarafa kaydı. Şimdi elimizde A’, B’, C’, D’ karesi var.
Adım 2: y Eksenine Göre Yansıma
Burası çok önemli! Bir noktanın y eksenine göre yansımasını aldığımızda, sanki y ekseni bir ayna gibi davranır. Nokta aynanın diğer tarafına geçer. Bu durumda:
- x işaret değiştirir. (Artıysa eksi, eksiyse artı olur).
- y aynen kalır.
Kural: (x, y) $rightarrow$ (-x, y)
Şimdi az önce bulduğumuz üslü noktalara (A’, B’, C’, D’) bu kuralı uygulayalım:
- A'(5, 2) $rightarrow$ x’in işareti değişir $rightarrow$ A”(-5, 2)
- B'(7, 2) $rightarrow$ x’in işareti değişir $rightarrow$ B”(-7, 2)
- C'(7, 4) $rightarrow$ x’in işareti değişir $rightarrow$ C”(-7, 4)
- D'(5, 4) $rightarrow$ x’in işareti değişir $rightarrow$ D”(-5, 4)
Sonuç:
Görseldeki grafiğe dikkatlice bakarsan; ilk kare (mavi olan) sağa kayıp kırmızı kesikli çizgili kareye dönüşmüş, sonra da y ekseninin diğer tarafına (sol tarafa) geçerek en soldaki kare halini almıştır. İşlemleri sırasıyla ve dikkatli yaptığında koordinatları bulmak bulmaca çözmek kadar zevklidir!