Merhaba sevgili öğrencim, bugün seninle görseldeki “Öğrendiklerimizi Uygulayalım” kısmındaki problemi çözeceğiz. Bu soru, yukarıdaki örnekte olduğu gibi üçgenlerde benzerlik konusunun günlük hayattaki çok güzel bir uygulamasıdır.
Soru 1: Güneşli bir günde 10 m uzunluğundaki bayrak direğinin gölgesinin uzunluğu 18 m’dir. Aynı gün ve saatte, 135 cm uzunluğundaki bir kişinin gölgesinin uzunluğu kaç cm olur?
Çözüm:
Adım 1: Öncelikle sorunun mantığını kavrayalım. Aynı gün ve saatte güneş ışınları yeryüzüne aynı açıyla düşer. Bu durum, nesneler ve gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşturur. Yani; bir cismin boyunun gölgesine oranı neyse, yanındaki başka bir cismin boyunun gölgesine oranı da aynı olmalıdır.
Adım 2: Matematikte işlem yaparken en önemli kural birimlerin aynı olmasıdır. Soruda direk için “metre”, kişi için “santimetre” kullanılmış. Sonuç bizden cm olarak istendiği için, metreleri santimetreye çevirerek işe başlayalım.
1 metre = 100 santimetredir.
Direğin Boyu: 10 m = 1000 cm
Direğin Gölgesi: 18 m = 1800 cm
Adım 3: Şimdi benzerlik oranımızı (orantımızı) kuralım. Formülümüz şöyle olacak:
$frac{text{Direğin Boyu}}{text{Direğin Gölgesi}} = frac{text{Kişinin Boyu}}{text{Kişinin Gölgesi}}$
Adım 4: Bildiğimiz sayıları yerlerine yerleştirelim. Kişinin gölgesini bilmediğimiz için ona x diyelim.
$frac{1000}{1800} = frac{135}{x}$
Adım 5: Büyük sayılarla uğraşmamak için önce sadeleştirme yapalım. $frac{1000}{1800}$ kesrindeki sıfırları silebiliriz. Geriye $frac{10}{18}$ kalır. Bunu da 2 ile sadeleştirirsek $frac{5}{9}$ oranını elde ederiz. Şimdi denklemimiz çok daha basit:
$frac{5}{9} = frac{135}{x}$
Adım 6: İçler dışlar çarpımı yaparak sonucu bulalım. 5 ile x’in çarpımı, 9 ile 135’in çarpımına eşittir.
$5 cdot x = 9 cdot 135$
Burada hemen çarpmaya çalışma, önce sadeleştirme yaparsan işin kolaylaşır. Her iki tarafı 5’e bölelim. 135 sayısını 5’e böldüğümüzde 27 çıkar.
$x = 9 cdot 27$
Adım 7: Son olarak çarpma işlemini yapıp cevabı bulalım.
$27 cdot 9 = 243$
Sonuç:
Aynı saatte 135 cm boyundaki kişinin gölgesinin uzunluğu 243 cm olur.