Merhaba canım öğrencim! Matematik dersinde bu hafta yine harika sorular çözeceğiz. Gelin birlikte bu soruları tek tek inceleyelim ve anlayalım. Hazırsan başlayalım!
13. Yağ ve su, ölçekli bir kaba konuyor. Kabın $frac{6}{11}$ ‘si yağdır.
Kaptaki suyun hacmi $360$ cm³ olduğuna göre yağın hacmi kaç cm³’tür?
A) 448 B) 440 C) 432 D) 430
Bu soruda bir kap içindeki yağ ve suyun oranını vermiş ve suyun hacmini biliyoruz. Yağın hacmini bulmamız isteniyor. İlk önce kabın tamamının hacmini bulalım.
Adım 1: Kabın tamamında suyun kapladığı oranı bulalım.
- Toplam kap 11/11’dir.
- Yağ 6/11’ini kaplıyorsa, suyun kapladığı oran 11/11 – 6/11 = 5/11 olur.
Adım 2: Suyun hacmini kullanarak kabın tamamının hacmini hesaplayalım.
- Suyun oranı 5/11 ve hacmi 360 cm³ ise, kabın tamamının hacmini bulmak için 360’ı 5’e bölüp 11 ile çarparız.
- Bir parçanın hacmi: $360 div 5 = 72$ cm³
- Kabın tamamının hacmi: $72 times 11 = 792$ cm³
Adım 3: Yağın hacmini hesaplayalım.
- Yağın oranı 6/11 idi.
- Yağın hacmi: $72 times 6 = 432$ cm³
Sonuç: Yağın hacmi 432 cm³’tür.
Doğru cevap C seçeneğidir.
14. Aşağıda koordinat sisteminde verilen [AB]’nin, 3 birim sağa, 2 birim yukarı ötelenmesiyle oluşan görüntüsünün koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) A'(-3, 1) B’ (6, 1)
B) A'(-3, 1) B’ (7, -1)
C) A'(1, 0) B'(7, 1)
D) A'(0, 0) B'(7, 1)
Bu soruda bize bir doğru parçası verilmiş ve bu doğru parçasının koordinat sisteminde ötelendiği söyleniyor. Öteleme, bir şekli veya noktayı kaydırmak demektir. Burada doğru parçasını hem sağa hem de yukarı kaydıracağız. Koordinat sisteminde sağa gitmek x ekseninde artış, sola gitmek x ekseninde azalış; yukarı gitmek y ekseninde artış, aşağı gitmek y ekseninde azalış anlamına gelir.
Adım 1: A noktasının ilk koordinatlarını belirleyelim.
- A noktası koordinat sisteminde x ekseninde -6’da, y ekseninde ise -2’dedir. Yani A(-6, -2).
Adım 2: B noktasının ilk koordinatlarını belirleyelim.
- B noktası koordinat sisteminde x ekseninde 3’te, y ekseninde ise -1’dedir. Yani B(3, -1).
Adım 3: A noktasını 3 birim sağa ve 2 birim yukarı öteleyelim.
- 3 birim sağa gitmek demek x koordinatına +3 eklemek demektir: $-6 + 3 = -3$
- 2 birim yukarı gitmek demek y koordinatına +2 eklemek demektir: $-2 + 2 = 0$
- Bu durumda A’ noktasının koordinatları A'(-3, 0) olur.
Adım 4: B noktasını 3 birim sağa ve 2 birim yukarı öteleyelim.
- 3 birim sağa gitmek demek x koordinatına +3 eklemek demektir: $3 + 3 = 6$
- 2 birim yukarı gitmek demek y koordinatına +2 eklemek demektir: $-1 + 2 = 1$
- Bu durumda B’ noktasının koordinatları B'(6, 1) olur.
Sonuç: Öteleme sonucunda oluşan A’ ve B’ noktalarının koordinatları sırasıyla A'(-3, 0) ve B'(6, 1) olmalıdır.
Seçeneklere baktığımızda, tam olarak bu koordinatları içeren bir şık göremiyorum. Soruda veya seçeneklerde bir hata olabilir. Ancak benim yaptığım hesaplamaya göre A'(-3, 0) ve B'(6, 1) doğru olmalı.
Şimdi seçenekleri tekrar kontrol edelim. A seçeneğinde A'(-3, 1) ve B'(6, 1) var. Eğer A noktasının ilk koordinatı A(-6, 1) olsaydı A'(-3, 3) olurdu. Ya da B noktasının ilk koordinatı B(3, -1) iken, 2 birim yukarı öteleme -1+2=1 yapar. A'(-3, 1) olması için A(-6, -1) olmalıydı. Eğer A noktasının y’si -1 olsaydı, 2 birim yukarı gidince y’si 1 olurdu. Bu durumda A'(-3, 1) olabilirdi. Ve B'(6, 1) olması için B(3,-1) ise 3 sağa 2 yukarı B'(6,1) olurdu. Bu durumda A'(-3,1) ve B'(6,1) seçenek 1’de verilmiş. Ancak çizime baktığımızda A noktası y ekseninde -2’de, B noktası ise y ekseninde -1’de. Buna göre benim ilk hesaplamam doğru. Ancak seçeneklerde A'(-3, 0) ve B'(6, 1) yok. En yakın seçenek A'(-3, 1) ve B'(6, 1) gibi görünüyor. Eğer A’nın y koordinatı -1 olsaydı, 2 birim yukarı gidince 1 olurdu. Bu durumda A'(-3,1) ve B'(6,1) olabilirdi. Sorunun çizimine göre A(-6, -2) ve B(3, -1) olduğundan, öteleme sonrası A'(-3, 0) ve B'(6, 1) olmalıdır. Seçeneklerdeki A'(-3,1) ve B'(6,1) olma ihtimali için A noktasının ilk y koordinatının -1 olması gerekir, ki çizimde -2 görünüyor. Soruda bir tutarsızlık var gibi duruyor.
Eğer sorunun orijinalinde A noktasının y koordinatı -1 olsaydı, o zaman A'(-3, 1) ve B'(6, 1) doğru olurdu. Bu durumda A seçeneği doğru olurdu.
Şimdilik sorunun çizimine sadık kalarak çözüme devam edelim ve eğer seçeneklerde bir hata varsa onu da belirtelim.
Benim hesaplamama göre en doğru sonuç A'(-3, 0) ve B'(6, 1) olmalıdır. Seçeneklerde bu yok.
Eğer soruda verilen seçeneklerden birini işaretlemem gerekirse, A noktasının y koordinatı -1 olsaydı A'(-3,1) olurdu. B noktasının koordinatları B(3,-1) ve 3 sağa, 2 yukarı öteleme ile B'(6,1) olur. Bu durumda A seçeneği doğru olurdu. Ancak çizimdeki A noktası y ekseninde -2’de görünüyor.
Bu soruda bir problem olduğunu düşünüyorum. Ancak varsayımsal olarak A noktasının y koordinatını -1 alırsak, o zaman A seçeneği doğru olur.
Varsayımsal Sonuç (A noktasının y’si -1 kabul edilirse): A'(-3, 1) ve B'(6, 1)
Doğru cevap (Varsayımsal): A
15. Yukarıdaki koordinat sisteminde verilen ABC üçgeni ötelenerek A’B’C’ üçgeni elde edilmiştir. Buna göre yapılan öteleme hareketi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 birim aşağı
2 birim sola
B) 2 birim aşağı
4 birim sola
C) 4 birim aşağı
1 birim sola
D) 4 birim aşağı
2 birim sola
Bu soruda da bir üçgenin ötelenmesi söz konusu. ABC üçgenini A’B’C’ üçgenine dönüştüren öteleme hareketini bulacağız. Öteleme hareketini bulmak için, üçgenin bir köşesini (mesela A köşesini) alıp, ötelendikten sonraki halini (A’ köşesini) bulmaya çalışacağız. Hangi yönde ve ne kadar kaydığını bularak öteleme hareketini anlayacağız.
Adım 1: A noktasının ilk koordinatlarını belirleyelim.
- A noktası koordinat sisteminde x ekseninde 2’de, y ekseninde ise 4’tedir. Yani A(2, 4).
Adım 2: A’ noktasının ilk koordinatlarını belirleyelim.
- A’ noktası koordinat sisteminde x ekseninde 0’da, y ekseninde ise 2’dedir. Yani A'(0, 2).
Adım 3: A noktasından A’ noktasına ulaşmak için yapılan hareketi bulalım.
- x ekseninde hareket: A’nın x’i 2 iken A’nın x’i 0 olmuş. Bu, 2 birim sola gitmek demektir (2 – 0 = 2 birim sola).
- y ekseninde hareket: A’nın y’si 4 iken A’nın y’si 2 olmuş. Bu, 2 birim aşağı gitmek demektir (4 – 2 = 2 birim aşağı).
Adım 4: Diğer noktalara bakarak bu ötelemenin doğruluğunu kontrol edelim.
- B noktası (3, 1) idi. 2 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenirse B’ (3-2, 1-2) = B'(1, -1) olur. Koordinat sisteminde B’ noktası (1, -1) yani -1’de görünüyor. Bu doğru.
- C noktası (0, 3) idi. 2 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenirse C’ (0-2, 3-2) = C'(-2, 1) olur. Koordinat sisteminde C’ noktası x ekseninde -2’de ve y ekseninde 1’de görünüyor. Bu da doğru.
Sonuç: Üçgenin öteleme hareketi 2 birim aşağı ve 2 birim sola yapılmıştır.
Doğru cevap A seçeneğidir.
16. Aşağıda verilen dik prizmaların açınımlarını çiziniz.
a)
Bu soruda bizden bir dik prizmanın açılımını çizmemiz isteniyor. Dik prizma, tabanları birbirine eş ve paralel olan, yan yüzleri dikdörtgenlerden oluşan bir katı cisimdir. Açınımı ise bu katı cismi oluşturan tüm yüzeylerin düzlem üzerine serilmiş halidir.
Adım 1: Prizmanın tabanını ve üst yüzeyini belirleyelim.
- Bu prizmanın tabanı bir dikdörtgendir. Dikdörtgenin kenar uzunlukları ‘a’ ve ‘b’ olarak verilmiş.
- Açınımda, bu dikdörtgenlerden biri (taban) ve diğeri (üst yüzey) birbirine paralel olarak duracaktır.
Adım 2: Prizmanın yan yüzeylerini belirleyelim.
- Bu prizmanın yan yüzeyleri de dikdörtgendir.
- Yan yüzeylerin bir kenarı tabanın bir kenarına (mesela ‘a’ kenarına) eşittir. Diğer kenarı ise prizmanın yüksekliği olan ‘h’ye eşittir.
- Prizmanın tabanı bir dikdörtgen olduğu için, karşılıklı kenarları eşittir. Yani, ‘a’ kenarı iki tane, ‘b’ kenarı da iki tane vardır.
- Bu durumda, 4 tane yan yüzey dikdörtgeni olacaktır: iki tanesi ‘a’ x ‘h’ boyutunda, iki tanesi de ‘b’ x ‘h’ boyutunda.
Adım 3: Açınımı oluşturalım.
- Genellikle açınımlarda, taban ortada durur ve yan yüzeyler etrafına dizilir.
- Taban dikdörtgenini (a x b) çizelim.
- Bu tabanın etrafına, kenarlarından birer tane olmak üzere 4 tane yan yüzey dikdörtgeni çizeceğiz.
- Örneğin, tabanın ‘a’ kenarlarına ‘a’ x ‘h’ boyutunda iki dikdörtgen, ‘b’ kenarlarına ise ‘b’ x ‘h’ boyutunda iki dikdörtgen ekleyebiliriz.
- Son olarak, tabanın karşısına, aynı boyutlarda bir üst yüzey dikdörtgeni (a x b) çizeceğiz.
Açınım Çizimi (Metinsel Anlatım):
Ortada bir tane a x b boyutunda dikdörtgen (taban) düşünün.
Bu dikdörtgenin a kenarlarına, a x h boyutunda iki tane dikdörtgen ekleyin (bunlar yan yüzeylerden ikisi).
Aynı şekilde, tabanın b kenarlarına da, b x h boyutunda iki tane dikdörtgen ekleyin (bunlar da diğer iki yan yüzey).
Şimdi, tabanın karşısına gelecek şekilde, yine a x b boyutunda bir dikdörtgen daha çizin (bu da üst yüzey).
Bu şekilde, tüm yüzeyler düz bir zemine serilmiş olur.
b)
Bu prizmanın tabanı bir üçgendir ve bu üçgen dik üçgen gibi görünüyor. Yan yüzeyler ise dikdörtgendir.
Adım 1: Prizmanın tabanını ve üst yüzeyini belirleyelim.
- Taban, kenar uzunlukları ‘a’ olan eşkenar üçgen gibi görünüyor. Üçgenin bir kenarı ‘a’ ve yüksekliği de ‘h’ olarak verilmiş.
- Açınımda, bu taban üçgeni ve üst yüzey üçgeni birbirine paralel olacaktır.
Adım 2: Prizmanın yan yüzeylerini belirleyelim.
- Bu prizmanın yan yüzeyleri dikdörtgendir.
- Yan yüzeylerin bir kenarı taban üçgeninin bir kenarına (‘a’) eşittir. Diğer kenarı ise prizmanın yüksekliği olan ‘h’ye eşittir.
- Taban eşkenar üçgen olduğu için 3 tane kenarı vardır ve bu kenarların hepsi ‘a’ uzunluğundadır.
- Bu durumda, 3 tane yan yüzey dikdörtgeni olacaktır: her biri ‘a’ x ‘h’ boyutunda.
Adım 3: Açınımı oluşturalım.
- Genellikle açınımlarda, taban üçgeni ortada durur ve yan yüzeyler etrafına dizilir.
- Taban üçgenini (kenarları ‘a’ olan eşkenar üçgen) çizelim.
- Bu üçgenin her bir kenarına, ‘a’ x ‘h’ boyutunda birer tane dikdörtgen ekleyelim.
- Son olarak, tabanın karşısına, aynı şekil ve boyutta bir üst yüzey üçgeni (kenarları ‘a’ olan eşkenar üçgen) çizeceğiz.
Açınım Çizimi (Metinsel Anlatım):
Ortada kenarları a olan bir eşkenar üçgen (taban) düşünün.
Bu üçgenin her bir kenarına, a x h boyutunda birer tane dikdörtgen ekleyin. Bu üç dikdörtgen yan yüzeyleri oluşturacaktır.
Şimdi, bu üçgenin karşısına gelecek şekilde, yine kenarları a olan eşkenar bir üçgen daha çizin (bu da üst yüzey).
Bu şekilde, dik üçgen prizmanın açılımını elde etmiş oluruz.
c)
Bu prizmanın tabanı beşgen bir şekildir ve yan yüzeyleri dikdörtgendir. Bu bir beşgen prizmadır.
Adım 1: Prizmanın tabanını ve üst yüzeyini belirleyelim.
- Taban, kenar uzunlukları ‘a’ olan bir düzgün beşgendir.
- Açınımda, bu beşgen taban ve üst yüzey birbirine paralel olacaktır.
Adım 2: Prizmanın yan yüzeylerini belirleyelim.
- Bu prizmanın yan yüzeyleri dikdörtgendir.
- Yan yüzeylerin bir kenarı taban beşgeninin bir kenarına (‘a’) eşittir. Diğer kenarı ise prizmanın yüksekliği olan ‘h’ye eşittir.
- Taban düzgün beşgen olduğu için 5 tane kenarı vardır ve bu kenarların hepsi ‘a’ uzunluğundadır.
- Bu durumda, 5 tane yan yüzey dikdörtgeni olacaktır: her biri ‘a’ x ‘h’ boyutunda.
Adım 3: Açınımı oluşturalım.
- Genellikle açınımlarda, taban beşgeni ortada durur ve yan yüzeyler etrafına dizilir.
- Taban beşgenini (kenarları ‘a’ olan düzgün beşgen) çizelim.
- Bu beşgenin her bir kenarına, ‘a’ x ‘h’ boyutunda birer tane dikdörtgen ekleyelim.
- Son olarak, tabanın karşısına, aynı şekil ve boyutta bir üst yüzey beşgeni (kenarları ‘a’ olan düzgün beşgen) çizeceğiz.
Açınım Çizimi (Metinsel Anlatım):
Ortada kenarları a olan bir düzgün beşgen (taban) düşünün.
Bu beşgenin her bir kenarına, a x h boyutunda birer tane dikdörtgen ekleyin. Bu beş dikdörtgen yan yüzeyleri oluşturacaktır.
Şimdi, bu beşgenin karşısına gelecek şekilde, yine kenarları a olan düzgün bir beşgen daha çizin (bu da üst yüzey).
Bu şekilde, dik beşgen prizmanın açılımını elde etmiş oluruz.