Merhaba sevgili öğrencim, matematik dersimize hoş geldin! Bugün seninle paylaştığın bu güzel çalışma kağıdındaki soruları tek tek, sanki yanındaymışım gibi inceleyeceğiz. Cebirsel ifadeler ve olasılık konularını şöyle güzelce bir tekrar etmiş olacağız. Hazırsan başlayalım!
25. Soru: 4x² + 4 · axy + 9y² ifadesi bir tam kare ifade ise a’nın değeri kaçtır?
Bu soruda bize verilen ifadenin bir “tam kare” olduğu söylenmiş. Tam kare ifadeleri hatırlayalım; birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi şeklinde açılırdı.
Adım 1: İlk ve son terimlerin neyin karesi olduğunu bulalım.
- 4x² ifadesi, (2x)‘in karesidir.
- 9y² ifadesi ise (3y)‘nin karesidir.
Adım 2: Ortadaki terim, bu bulduğumuz terimlerin çarpımının 2 katı olmalıdır.
- Birinci terim: 2x
- İkinci terim: 3y
- Çarpımları: 2x · 3y = 6xy
- İki katı: 2 · 6xy = 12xy
Adım 3: Soruda ortadaki terim 4 · axy olarak verilmiş. Biz ise 12xy bulduk. Bunları birbirine eşitleyelim.
- 4 · a = 12
- Buradan a’yı bulmak için 12’yi 4’e böleriz.
- a = 3
Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.
26. Soru: Aşağıda, cebirsel ifadelerin çarpımı ile ilgili modeller verilmiştir. Modellere ait cebirsel ifadeleri boş bırakılan yerlere yazınız.
Bu soruda alan hesabı yapacağız. Dikdörtgenin alanı = Kısa kenar x Uzun kenar mantığını kullanacağız.
a)
Adım 1: Sol taraftaki dikey kenara bakalım. 3 tane “1” birimlik kutu var. Yani kenar uzunluğu 3.
Adım 2: Üstteki yatay kenara bakalım. Bir tane “x” ve 5 tane “-1” var. Yani kenar uzunluğu (x – 5).
Çözüm: Bu iki kenarı çarpıyoruz.
3 · (x – 5) = 3x – 15
b)
Adım 1: Sol taraftaki dikey kenarda 2 tane “-1” var. Yani kenar uzunluğu -2.
Adım 2: Üstteki yatay kenarda bir “x” ve 2 tane “-1” var. Yani kenar uzunluğu (x – 2).
Çözüm: Çarpma işlemini yapalım.
-2 · (x – 2) = -2x + 4
c)
Adım 1: Sol taraftaki dikey kenar “x” uzunluğunda.
Adım 2: Üstteki yatay kenarda bir “x” ve 7 tane “1” var. Yani kenar uzunluğu (x + 7).
Çözüm: Alanı bulmak için çarpalım.
x · (x + 7) = x² + 7x
27. Soru: Aşağıdaki ifadelerin özdeşlerini yazınız.
Burada tam kare özdeşliklerini kullanacağız. Kuralımız neydi? “Birincinin karesi, birinciyle ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi.”
(a – 2b)² =
- a² – 2·(a)·(2b) + (2b)²
- Sonuç: a² – 4ab + 4b²
(4 + 5y)² =
- 4² + 2·(4)·(5y) + (5y)²
- Sonuç: 16 + 40y + 25y²
(x – y)² =
- Bu en temel özdeşliğimizdir.
- Sonuç: x² – 2xy + y²
(2x + 3y)² =
- (2x)² + 2·(2x)·(3y) + (3y)²
- 4x² + 12xy + 9y²
- Sonuç: 4x² + 12xy + 9y²
28. Soru: 87² – 85² işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Sakın 87 ile 87’yi çarpmaya kalkma! Burada çok pratik bir yöntemimiz var: İki Kare Farkı. Kuralımız: a² – b² = (a – b) · (a + b)
Adım 1: Sayıları bir çıkarıp bir toplayacağız ve sonra çarpacağız.
- (87 – 85) · (87 + 85)
Adım 2: Parantez içlerini yapalım.
- 87 – 85 = 2
- 87 + 85 = 172
Adım 3: Şimdi bu iki sonucu çarpalım.
- 2 · 172 = 344
Sonuç: Doğru cevap D seçeneğidir.
29. Soru: 6x³ – 18x² ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Burada ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanacağız. Hem sayılara hem de harflere bakacağız.
Adım 1: Katsayılara bakalım: 6 ve 18. Her ikisi de 6’ya bölünür. Yani ortak çarpanımızda 6 olacak.
Adım 2: Değişkenlere bakalım: x³ ve x². Her ikisinde de en az x² var. Yani ortak çarpanımızda x² de olacak.
Adım 3: Ortak çarpanımız 6x² oldu. Şimdi parantezi açalım.
- 6x³’ten 6x²’yi alırsak geriye x kalır.
- -18x²’den 6x²’yi alırsak (bölersek) geriye -3 kalır.
Birleştirme: 6x²(x – 3)
Sonuç: Doğru cevap A seçeneğidir.
30. Soru: 8xy³ – 18x³y ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soru biraz daha dikkat gerektiriyor. Önce ortak parantez, sonra iki kare farkı uygulayacağız.
Adım 1: Ortak çarpanları bulalım.
- Sayılar: 8 ve 18. İkisi de 2’ye bölünür. (Ortak: 2)
- Harfler: Her iki terimde de x ve y var. (Ortak: xy)
- Ortak Çarpan: 2xy
Adım 2: İfadeyi 2xy parantezine alalım.
- 2xy · (4y² – 9x²)
Adım 3: Parantez içine dikkat et! 4y² – 9x² bir iki kare farkıdır.
- 4y² = (2y)²
- 9x² = (3x)²
- Yani: (2y – 3x) · (2y + 3x) şeklinde açılır.
Adım 4: Hepsini birleştirelim.
- 2xy(2y – 3x)(2y + 3x)
Şıklara baktığımızda A seçeneğinde 2xy(2y – 3x)(2y + 3x) ifadesini görüyoruz.
Sonuç: Doğru cevap A seçeneğidir.
31. Soru: Bir zar atılarak üste gelen sayı gözlemleniyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Standart bir zarda 1’den 6’ya kadar rakamlar vardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Şıkları tek tek inceleyelim.
A) Olası tüm çıktıların sayısı 6’dır.
- Doğru. Zarın 6 yüzü vardır ve 6 farklı sonuç gelebilir.
B) Her bir yüzün üste gelme şansı eşittir.
- Doğru. Hilesiz bir zarda her sayının gelme olasılığı 1/6’dır.
C) Üste gelen yüzdeki noktaların sayısının çift ya da tek olma şansları eşittir.
- Tek sayılar: 1, 3, 5 (3 tane)
- Çift sayılar: 2, 4, 6 (3 tane)
- Sayıları eşit olduğu için şansları da eşittir. Bu da doğru.
D) Üste gelen noktaların sayısının 7’den küçük olma olasılığı 0’dır.
- Zarın üzerindeki sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Bu sayıların hepsi 7’den küçüktür.
- Yani bu bir “Kesin Olay”dır ve olasılığı 1’dir (yani %100).
- Olasılığı 0 demek “imkansız olay” demektir. Ama 7’den küçük gelmesi imkansız değil, kesindir. Bu yüzden bu ifade YANLIŞTIR.
Sonuç: Doğru cevap D seçeneğidir.