Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu haftaki matematik sorularını birlikte çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru 9
Aralarında asal iki sayının EKOK’u 450, toplamları 43 olduğuna göre bu iki sayının farkının mutlak değeri kaçtır?
Bu soruyu çözmek için öncelikle aralarında asal iki sayının özelliklerini hatırlayalım. Aralarında asal iki sayının en küçük ortak katı (EKOK’u) ile en büyük ortak böleni (EBOB’u) çarpıldığında bu iki sayının çarpımına eşittir. Aralarında asal sayıların EBOB’u her zaman 1’dir.
Soruda bize EKOK’un 450 olduğu söyleniyor. Aralarında asal oldukları için EBOB’ları 1’dir. O halde bu iki sayının çarpımı:
Sayı1 * Sayı2 = EKOK * EBOB
Sayı1 * Sayı2 = 450 * 1 = 450
Ayrıca bu iki sayının toplamının 43 olduğu da verilmiş:
Sayı1 + Sayı2 = 43
Şimdi öyle iki sayı bulmalıyız ki çarpımları 450, toplamları 43 olsun. Bu sayılarla ilgili seçeneklere bakabiliriz veya 450’nin çarpanlarını inceleyebiliriz. 450’nin çarpanlarına baktığımızda 18 ve 25 sayılarını görüyoruz.
Şimdi bu sayıları kontrol edelim:
- Çarpımları: 18 * 25 = 450 (Bu doğru)
- Toplamları: 18 + 25 = 43 (Bu da doğru)
- Aralarında asal mı? 18’in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18. 25’in çarpanları: 1, 5, 25. Ortak bölenleri sadece 1 olduğu için aralarında asaldırlar. (Bu da doğru)
Sayılarımız 18 ve 25’tir. Soruda bu iki sayının farkının mutlak değeri soruluyor:
|25 – 18| = 7
Cevap: B) 7
Soru 10
Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerleri tamamlayınız.
a) Sıfırdan farklı her gerçek sayının sıfırıncı kuvveti ……………’dır.
b) Bir üslü ifadede, paydadan paya veya paydadan paydaya alındığında …………… işareti değişir.
c) Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken …………… toplanır, …………… ayrılırken üsler çıkarılır.
ç) a, 1 veya 1’den büyük, 10’dan küçük bir gerçek sayı ve n bir tam sayı olmak üzere a * 10n gösterimine …………… denir.
Şimdi bu boşlukları hep birlikte dolduralım:
a) Sıfırdan farklı herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1‘dir. Örneğin 50 = 1, (-3)0 = 1 gibi.
b) Bir üslü ifadede, eğer pay kısmındaki bir sayıyı payda kısmına veya payda kısmındaki bir sayıyı pay kısmına alırsak, o sayının üssünün işareti değişir. Örneğin:
$frac{1}{2^3}$ = 2-3 veya 2-3 = $frac{1}{2^3}$
Yani, paydadan paya veya paydadan paydaya alındığında üssün işareti değişir.
c) Tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarparken, taban aynı kalır ve üsler toplanır. Bölme işlemi yaparken ise taban aynı kalır ve üsler çıkarılır.
Örnek: 23 * 24 = 23+4 = 27
Örnek: $frac{3^5}{3^2}$ = 35-2 = 33
ç) Bu gösterim, büyük veya çok küçük sayıları daha kolay yazmak ve okumak için kullandığımız bir yöntemdir. Bu gösterime bilimsel gösterim denir.
Soru 11
Aşağıdaki gösterimlerden hangisi doğrudur?
Bu soruda verilen bilimsel gösterimleri inceleyerek hangisinin doğru olduğunu bulacağız. Bilimsel gösterimde, katsayı olan ‘a’ sayısı için 1 ≤ |a| < 10 olmalı ve 'n' bir tam sayı olmalıdır.
a) 0,000402 = 4,2 * 10-6
Burada katsayı 4,2’dir. 1 ≤ 4,2 < 10 şartı sağlanıyor. Sayıyı 0,000402'den 4,2'ye getirmek için virgülü 6 basamak sağa kaydırmamız gerekir. Bu durumda üs negatif olur. Yani 10-6 doğru. Bu gösterim doğrudur.
b) 1 005 000 = 1,005 * 106
Burada katsayı 1,005’tir. 1 ≤ 1,005 < 10 şartı sağlanıyor. Sayıyı 1005000'den 1,005'e getirmek için virgülü 6 basamak sola kaydırmamız gerekir. Bu durumda üs pozitif olur. Yani 106 doğru. Bu gösterim doğrudur.
c) 1,000009 = 9 * 10-6
Burada katsayı 9 olarak verilmiş. Ancak orijinal sayı 1,000009. Eğer katsayı 9 olsaydı, bilimsel gösterim 9 * 100 şeklinde olurdu. Eğer orijinal sayı 0,000009 olsaydı, 9 * 10-6 doğru olurdu. Bu gösterim yanlıştır.
d) 206 000 000 = 2,06 * 1010
Burada katsayı 2,06’dır. 1 ≤ 2,06 < 10 şartı sağlanıyor. Sayıyı 206000000'den 2,06'ya getirmek için virgülü 8 basamak sola kaydırmamız gerekir. Bu durumda üs 108 olmalıdır, 1010 değil. Bu gösterim yanlıştır.
Yukarıdaki incelememize göre A ve B şıkları doğru görünüyor. Ancak soruda “hangisi doğrudur?” diye sorulmuş ve genellikle tek bir doğru cevap beklenir. Şıkları tekrar gözden geçirelim.
a) 0,000402 sayısını bilimsel gösterimle yazmak için virgülü 6 basamak sağa kaydırırız ve 4,02 * 10-6 elde ederiz. Soruda 4,2 * 10-6 verilmiş, bu da yanlış.
b) 1 005 000 sayısını bilimsel gösterimle yazmak için virgülü 6 basamak sola kaydırırız ve 1,005 * 106 elde ederiz. Bu şık doğrudur.
c) 1,000009 sayısını bilimsel gösterimle yazmak için virgülü 0 basamak kaydırmamız gerekir, yani 1,000009 * 100. Şıktaki 9 * 10-6 yanlıştır.
d) 206 000 000 sayısını bilimsel gösterimle yazmak için virgülü 8 basamak sola kaydırırız ve 2,06 * 108 elde ederiz. Şıktaki 2,06 * 1010 yanlıştır.
Sonuç olarak, sadece B şıkkı doğrudur.
Cevap: B) 1 005 000 = 1,005 * 106
Soru 12
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
Şimdi her bir ifadeyi tek tek inceleyip doğruluğunu kontrol edelim:
- 3-4 = $frac{1}{81}$
- (3 ⋅ 7)10 = 310 ⋅ 710
- (75)5 = 713
- $frac{2^{18}}{2^{15}}$ = 23
- 5-4 = -5-4
- 520 = 510 ⋅ 52
- (-3)4 = 34
- $frac{1}{10^5}$ = 10-5
Bir sayının negatif üssü, o sayının pozitif üssünün çarpmaya göre tersine eşittir. Yani 3-4 = $frac{1}{3^4}$’tür. 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81’dir. O halde 3-4 = $frac{1}{81}$ ifadesi doğrudur. Kutucuğa D yazılmalı.
Üslü sayılarda çarpma özelliğine göre, tabanları farklı olan sayılar çarpılıp aynı üssü aldığımızda, bu kural geçerlidir. Yani (a ⋅ b)n = an ⋅ bn‘dir. Bu ifade de doğrudur. Kutucuğa D yazılmalı.
Üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır, toplanmaz. Yani (am)n = am*n‘dir. Bu durumda (75)5 = 75*5 = 725 olmalıdır. İfade yanlıştır. Kutucuğa Y yazılmalı.
Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır. Yani $frac{a^m}{a^n}$ = am-n‘dir. Bu durumda $frac{2^{18}}{2^{15}}$ = 218-15 = 23 olur. İfade doğrudur. Kutucuğa D yazılmalı.
Bir sayının negatif üssü, sonucun işaretini değiştirmez. Sadece sayının tersini alır. 5-4 = $frac{1}{5^4}$’tür. Bu pozitif bir sayıdır. -5-4 ise negatif bir sayıdır. İfade yanlıştır. Kutucuğa Y yazılmalı.
Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır. Bu durumda 510 ⋅ 52 = 510+2 = 512 olmalıdır. İfade yanlıştır. Kutucuğa Y yazılmalı.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olur. (-3)4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81’dir. 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81’dir. İfade doğrudur. Kutucuğa D yazılmalı.
Bu, negatif üslü sayının tanımına uymaktadır. Paydadaki 105‘i paya aldığımızda üssü negatif olur. İfade doğrudur. Kutucuğa D yazılmalı.
Sonuç olarak kutucuklara sırasıyla şu harfler yazılmalıdır: D, D, Y, D, Y, Y, D, D
Soru 13
0,0000064 sayısının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
0,0000064 sayısını bilimsel gösterimle yazmak için sayının katsayısını 1 ile 10 arasında bir sayı yapmalıyız. Virgülü sağa doğru kaydırarak bu sayıyı elde edebiliriz.
Virgülü 6 basamak sağa kaydırırsak 6,4 sayısını elde ederiz. Virgülü sağa kaydırdığımız için üs negatif olacaktır.
0,0000064 = 6,4 * 10-6
Şimdi şıklara bakalım:
- A) 6,4 * 10-7
- B) 6,4 * 10-6
- C) 6,4 * 10-8
- D) 0,64 * 10-9
Bulduğumuz sonuç B şıkkı ile aynıdır.
Cevap: B) 6,4 * 10-6
Soru 14
Aşağıdakilerden hangisi 420’nin asal çarpanlarından biri değildir?
Bu soruyu çözmek için öncelikle 420 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Asal çarpanlar, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, 13 gibi).
420 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
Adım 1: 420 çift bir sayı olduğu için en küçük asal sayı olan 2’ye bölünür.
420 ÷ 2 = 210
Adım 2: 210 da çift olduğu için tekrar 2’ye bölünür.
210 ÷ 2 = 105
Adım 3: 105 sayısı tek bir sayıdır. Son rakamı 5 olduğu için 5’e bölünür.
105 ÷ 5 = 21
Adım 4: 21 sayısı 3’e bölünür.
21 ÷ 3 = 7
Adım 5: 7 bir asal sayıdır ve sadece 7’ye bölünür.
7 ÷ 7 = 1
Böylece 420’nin asal çarpanları 2, 2, 3, 5 ve 7’dir. Yani 420 = 22 * 3 * 5 * 7 olarak yazılabilir.
Şimdi şıklara bakalım ve bu asal çarpanlardan hangisinin listede olmadığını bulalım:
- A) 11
- B) 5
- C) 3
- D) 2
Asal çarpanlarımız 2, 3, 5 ve 7’dir. Şıklarda 5, 3 ve 2 var. Ancak 11, 420’nin asal çarpanlarından biri değildir.
Cevap: A) 11
Soru 15
Aşağıdakilerden hangisi 24 ile aralarında asaldır?
İki sayının aralarında asal olması için bu iki sayının 1’den başka ortak böleni olmaması gerekir. Şimdi 24’ün bölenlerini bulalım ve şıklardaki sayıların 24 ile ortak böleninin olup olmadığını kontrol edelim.
24’ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Şimdi şıklardaki sayıları inceleyelim:
- A) 18
- B) 27
- C) 35
- D) 40
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
24 ve 18’in ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6. Bu sayılar aralarında asal değildir.
27’nin bölenleri: 1, 3, 9, 27.
24 ve 27’nin ortak bölenleri: 1, 3. Bu sayılar aralarında asal değildir.
35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35.
24’ün bölenleri arasında 5 veya 7 yok. 24 ve 35’in ortak böleni sadece 1’dir. Bu sayılar aralarında asaldır.
40’ın bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
24 ve 40’ın ortak bölenleri: 1, 2, 4, 8. Bu sayılar aralarında asal değildir.
Sonuç olarak, 24 ile aralarında asal olan tek sayı 35’tir.
Cevap: C) 35