Merhaba sevgili öğrencim, bugün seninle birlikte olasılık konusunu pekiştireceğiz. Önündeki sorular, öğrendiklerimizi günlük hayatta nasıl kullanacağımızı anlamamız için harika örnekler. Hadi gel, bu soruları seninle tane tane, sanki sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi inceleyelim.
Sıra Sizde Sorusu
Soru: Bir torbada 1’den 100’e kadar numaralandırılmış eş özellikte kartlar vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir karttaki numaranın tek ya da çift sayı olma olasılığını karşılaştırınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce elimizdeki sayıları incelememiz gerekiyor. 1’den 100’e kadar olan sayıları düşünelim.
- Bu sayılar 1, 2, 3, 4, …, 99, 100 şeklindedir.
- Bu gruptaki sayıların yarısı tek sayı, diğer yarısı ise çift sayıdır.
- Tek Sayılar: 1, 3, 5, …, 99 (Toplam 50 tane)
- Çift Sayılar: 2, 4, 6, …, 100 (Toplam 50 tane)
Sonuç: Torbada 50 tane tek, 50 tane de çift sayı olduğu için; tek sayı gelme olasılığı ile çift sayı gelme olasılığı birbirine eşittir.
Öğrendiklerimizi Uygulayalım Bölümü
1. Soru: Bir torbada, eş özellikte 3 kırmızı, 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde bilyenin beyaz olması bekleniyor. Bu durumda olay ve olayın çıktıları ne olur?
Çözüm:
Burada kavramları doğru oturtmamız çok önemli. “Olay” ve “Çıktı” kavramlarına bakalım.
- Olay: Bizden istenen durumdur. Soruda bilyenin beyaz olması beklendiği için, olayımız “Çekilen bilyenin beyaz renkli olması”dır.
- Olayın Çıktıları: Bu olayı sağlayan durumlardır. Torbada 5 tane beyaz bilye olduğu için, bu 5 beyaz bilyenin her biri bu olayın bir çıktısıdır. Yani olayın çıktı sayısı 5‘tir.
2. Soru: İki zar birlikte atıldığında zarların üste gelen yüzlerindeki noktaların toplamının 15 olması isteniyor. Bu durumda olası tüm çıktıları, olayı ve bu olayın çıktılarını yazınız.
Çözüm:
Bu soru biraz dikkat sorusu, gel beraber inceleyelim.
- Olası Tüm Çıktılar: İki zar atıldığında gelebilecek tüm durumlar şöyledir: (1,1), (1,2), … (6,6). Bir zarda 6 yüz, diğerinde 6 yüz olduğu için 6 x 6 = 36 farklı durum vardır.
- Olay: Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 15 olması.
- Olayın Çıktıları: Şimdi düşünelim, bir zarın üzerinde en büyük sayı kaçtır? 6‘dır. İki zarı attığımızda gelebilecek en büyük toplam kaç olur?
- Gördüğün gibi, iki zarın toplamı en fazla 12 olabilir. Toplamın 15 olması matematiksel olarak imkansızdır.
6
+ 6
—-
12
Sonuç: Bu imkansız bir olaydır ve bu olayın çıktı sayısı 0 (sıfır)‘dır. Yani boş kümedir.
3. Soru: Aşağıdaki olaylardan hangisinin olma olasılığı daha fazladır?
A) Bir zar atıldığında zarın üste gelen yüzündeki nokta sayısının tek sayı olması
B) Bir zar atıldığında zarın üste gelen yüzündeki nokta sayısının çift sayı olması
C) Bir zar atıldığında zarın üste gelen yüzündeki nokta sayısının 6 olması
D) Bir zar atıldığında zarın üste gelen yüzündeki nokta sayısının 6’dan küçük olması
Çözüm:
Bir zarın üzerindeki sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (Toplam 6 durum). Şimdi şıkları tek tek hesaplayalım:
- A Şıkkı (Tek Sayılar): 1, 3, 5 (3 tane durum var). Olasılık 6’da 3’tür (Yarım).
- B Şıkkı (Çift Sayılar): 2, 4, 6 (3 tane durum var). Olasılık 6’da 3’tür (Yarım).
- C Şıkkı (6 Olması): Sadece 6 (1 tane durum var). Olasılık 6’da 1’dir (Çok düşük).
- D Şıkkı (6’dan Küçük): 1, 2, 3, 4, 5 (Tam 5 tane durum var). Olasılık 6’da 5’tir.
Sonuç: En fazla durum D şıkkında olduğu için, olma olasılığı en fazla olan D seçeneğidir.
4. Soru: 26’sının kız olduğu 78 kişilik bir gruptan rastgele seçilen bir kişinin kız olma olasılığı ile erkek olma olasılığını karşılaştırınız.
Çözüm:
Önce sınıftaki erkek öğrenci sayısını bulmamız gerekiyor. Toplam sayıdan kız öğrencileri çıkaralım:
78 (Toplam)
– 26 (Kız)
—-
52 (Erkek)
Şimdi elimizdeki sayıları karşılaştıralım:
- Kız öğrenci sayısı: 26
- Erkek öğrenci sayısı: 52
Sonuç: 52 sayısı 26’dan büyük olduğu için, erkek olma olasılığı kız olma olasılığından daha fazladır. Hatta tam olarak iki katıdır.
5. Soru: Aşağıdaki tabloda rastgele bir kareye dokunduğunuzda bu karenin siyah, beyaz ve kırmızı olma olasılığını karşılaştırınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için görseldeki kareleri dikkatlice saymamız gerekiyor. Şekil bir dikdörtgen ve içindeki küçük karelerden oluşuyor. Önce toplam kare sayısını bulalım.
Adım 1: Toplam Kare Sayısı
Şeklin eninde 10 kare, boyunda 8 kare var. (Resimden saydığımızda 8 satır ve 10 sütun görüyoruz).
Toplam kare sayısı = 8 x 10 = 80 kare.
Adım 2: Renkleri Sayalım
Dikkatli bakarsan siyah kareler bir satranç tahtası gibi yerleştirilmiş. Yani bir siyah, bir renkli şeklinde gidiyor. Bu durumda karelerin tam yarısı siyahtır.
- Siyah Kare Sayısı: Toplam 80 karenin yarısı yani 40 tanesi siyahtır.
Geriye kalan 40 kare ise Kırmızı ve Beyaz olarak paylaşılmış. Deseni incelersek:
- 1. Satırda renkli kısımlar: Beyaz, Kırmızı, Beyaz, Kırmızı, Beyaz (3 Beyaz, 2 Kırmızı)
- 2. Satırda renkli kısımlar: Kırmızı, Beyaz, Kırmızı, Beyaz, Kırmızı (2 Beyaz, 3 Kırmızı)
Bu düzen 8 satır boyunca tekrar ediyor. 4 satırda (1, 3, 5, 7. satırlar) Beyazlar fazla, diğer 4 satırda (2, 4, 6, 8. satırlar) Kırmızılar fazla. Bu birbirini dengeler.
- Beyaz Kare Sayısı: Geriye kalan 40 karenin yarısı, yani 20 tanesi beyazdır.
- Kırmızı Kare Sayısı: Geriye kalan 40 karenin diğer yarısı, yani 20 tanesi kırmızıdır.
Sonuç ve Karşılaştırma:
- Siyah olma olasılığı en fazladır (40 kare).
- Beyaz ve Kırmızı olma olasılıkları birbirine eşittir ve siyahtan daha azdır (20’şer kare).
- Sıralama: Siyah > Beyaz = Kırmızı
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Başarılar dilerim!