Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün sizlerle eşitsizlikler konusuna derinlemesine bir bakış atacağız. Matematik öğretmeniniz olarak, bu konuyu en anlaşılır şekilde sizlere anlatmak için buradayım. Gelin, birlikte bu soruları adım adım çözelim ve mantığını kavrayalım.
***
b) $frac{x-2}{3} < 0$
Bu eşitsizliği çözmek için öncelikle eşitsizliğin her iki tarafını da 3 ile çarpalım. Unutmayın, eşitsizliklerde her iki tarafı da pozitif bir sayıyla çarpmak veya bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 3 ile çarpalım.
$3 cdot frac{x-2}{3} < 0 cdot 3$
Bu işlem sonucunda $frac{x-2}{3}$'teki 3'ler sadeleşir ve sağ taraf da 0 olur.
Adım 2: Sadeleştirme ve çarpma sonucunda elde ettiğimiz yeni eşitsizlik:
$x-2 < 0$
Adım 3: Şimdi de $x$'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafına 2 ekleyelim. Eşitsizliklere bir sayıyı eklemek veya çıkarmak da eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
$x - 2 + 2 < 0 + 2$
Bu işlem sonucunda sol taraftaki -2 ve +2 birbirini götürür.
Adım 4: Elde ettiğimiz sonuca göre:
$x < 2$
Yani, bu eşitsizliği sağlayan sayılar 2'den küçük olan tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda bunu gösterirken, 2'nin kendisi dahil değildir ve 2'nin solundaki tüm sayılar taranır.
***
c) $4k+1 ge 5$
Bu eşitsizliği çözerek $k$’nın alabileceği değerleri bulalım.
Adım 1: $k$’lı terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkaralım.
$4k + 1 – 1 ge 5 – 1$
Bu işlem sonucunda sol taraftaki +1 ve -1 birbirini götürür, sağ tarafta ise 5’ten 1 çıkarılır.
Adım 2: Sadeleştirme ve çıkarma sonucunda elde ettiğimiz yeni eşitsizlik:
$4k ge 4$
Adım 3: Şimdi $k$’yı bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını da 4’e bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yönü değişmez.
$frac{4k}{4} ge frac{4}{4}$
Adım 4: Bölme işlemi sonucunda elde ettiğimiz sonuç:
$k ge 1$
Bu eşitsizliği sağlayan sayılar 1’e eşit veya 1’den büyük olan tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda bunu gösterirken, 1’in kendisi dahil olduğu için içi dolu bir nokta ile gösterilir ve 1’in sağındaki tüm sayılar taranır.
***
ç) $4(d+5) ge 0$
Bu eşitsizliği adım adım çözelim.
Adım 1: Önce parantez içindeki işlemi yapabiliriz veya doğrudan parantezi dağıtabiliriz. Burada parantezi dağıtarak devam edelim. Eşitsizliğin her iki tarafını da 4 ile çarpalım.
$4(d+5) ge 0$
Eşitsizliğin her iki tarafını da 4’e bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yönü değişmez.
$frac{4(d+5)}{4} ge frac{0}{4}$
Adım 2: Sadeleştirme sonucunda elde ettiğimiz yeni eşitsizlik:
$d+5 ge 0$
Adım 3: Şimdi $d$’yi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından 5 çıkaralım.
$d + 5 – 5 ge 0 – 5$
Bu işlem sonucunda sol taraftaki +5 ve -5 birbirini götürür.
Adım 4: Elde ettiğimiz sonuca göre:
$d ge -5$
Bu eşitsizliği sağlayan sayılar -5’e eşit veya -5’ten büyük olan tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda bunu gösterirken, -5’in kendisi dahil olduğu için içi dolu bir nokta ile gösterilir ve -5’in sağındaki tüm sayılar taranır.
***
d) $frac{m-8}{2} le 2$
Bu eşitsizliği çözerek $m$’nin alabileceği değerleri bulalım.
Adım 1: Öncelikle eşitsizliğin her iki tarafını da 2 ile çarpalım. Pozitif bir sayıyla çarptığımız için eşitsizliğin yönü değişmez.
$2 cdot frac{m-8}{2} le 2 cdot 2$
Bu işlem sonucunda sol taraftaki 2’ler sadeleşir.
Adım 2: Sadeleştirme ve çarpma sonucunda elde ettiğimiz yeni eşitsizlik:
$m-8 le 4$
Adım 3: Şimdi $m$’yi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafına 8 ekleyelim. Eşitsizliklere bir sayıyı eklemek eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
$m – 8 + 8 le 4 + 8$
Bu işlem sonucunda sol taraftaki -8 ve +8 birbirini götürür.
Adım 4: Elde ettiğimiz sonuca göre toplama işlemini yapalım:
$4 + 8 = 12$
Yani,
$m le 12$
Bu eşitsizliği sağlayan sayılar 12’ye eşit veya 12’den küçük olan tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda bunu gösterirken, 12’nin kendisi dahil olduğu için içi dolu bir nokta ile gösterilir ve 12’nin solundaki tüm sayılar taranır.
***
Sıra Sizde
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan sayı değerlerini bularak sayı doğrusunda gösteriniz.
a) $2x – 6 < 3$
Adım 1: $x$’li terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafına 6 ekleyelim.
$2x – 6 + 6 < 3 + 6$
Sonuç:
$2x < 9$
Adım 2: $x$'i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim.
$frac{2x}{2} < frac{9}{2}$
Sonuç:
$x < 4.5$
Sayı doğrusunda 4.5'in kendisi dahil değildir (açık yuvarlak) ve 4.5'in sol tarafı taranır.
b) $5 – 3x > 0$
Adım 1: Sabit terimi sağ tarafa atalım. Bunun için eşitsizliğin her iki tarafından 5 çıkaralım.
$5 – 3x – 5 > 0 – 5$
Sonuç:
$-3x > -5$
Adım 2: $x$’i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını -3’e bölelim. **Önemli Not:** Eşitsizliklerde her iki tarafı da negatif bir sayıyla bölersek veya çarparsak, eşitsizliğin yönü **değişir**. Bu yüzden ‘>’ işareti ‘<' olur. $frac{-3x}{-3} < frac{-5}{-3}$ Sonuç: $x < frac{5}{3}$ Sayı doğrusunda $frac{5}{3}$ (yaklaşık 1.67) sayısının kendisi dahil değildir (açık yuvarlak) ve bu sayının sol tarafı taranır. c) $5x + 12 le -10$
Adım 1: $x$’li terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından 12 çıkaralım.
$5x + 12 – 12 le -10 – 12$
Sonuç:
$5x le -22$
Adım 2: $x$’i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 5’e bölelim.
$frac{5x}{5} le frac{-22}{5}$
Sonuç:
$x le -4.4$
Sayı doğrusunda -4.4’ün kendisi dahildir (kapalı yuvarlak) ve -4.4’ün sol tarafı taranır.
ç) $9 + 3x ge -3$
Adım 1: Sabit terimi sağ tarafa atalım. Bunun için eşitsizliğin her iki tarafından 9 çıkaralım.
$9 + 3x – 9 ge -3 – 9$
Sonuç:
$3x ge -12$
Adım 2: $x$’i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölelim.
$frac{3x}{3} ge frac{-12}{3}$
Sonuç:
$x ge -4$
Sayı doğrusunda -4’ün kendisi dahildir (kapalı yuvarlak) ve -4’ün sağ tarafı taranır.
***
6. Örnek
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan $x$ değerlerini bulalım.
a) $2(4-3x) < 14$
Bu eşitsizliği adım adım çözelim.
Adım 1: Parantezi dağıtalım. Eşitsizliğin sol tarafındaki 2’yi parantezin içine dağıtıyoruz.
$2 cdot 4 – 2 cdot 3x < 14$
$8 - 6x < 14$
Adım 2: $x$'li terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından 8 çıkaralım.
$8 - 6x - 8 < 14 - 8$
Sonuç:
$-6x < 6$
Adım 3: $x$'i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını -6'ya bölelim. **Unutmayın, negatif bir sayıya böldüğümüzde eşitsizliğin yönü değişir.**
$frac{-6x}{-6} > frac{6}{-6}$
Sonuç:
$x > -1$
Bu eşitsizliği sağlayan tüm gerçek sayılar -1’den büyüktür.
b) $x+9-3x > 6$
Bu eşitsizliği çözerken önce benzer terimleri bir araya getirelim.
Adım 1: Sol taraftaki $x$ ve $-3x$ terimlerini birleştirelim.
$(x – 3x) + 9 > 6$
$-2x + 9 > 6$
Adım 2: $x$’li terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından 9 çıkaralım.
$-2x + 9 – 9 > 6 – 9$
Sonuç:
$-2x > -3$
Adım 3: $x$’i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını -2’ye bölelim. **Negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yönü değişir.**
$frac{-2x}{-2} < frac{-3}{-2}$
Sonuç:
$x < frac{3}{2}$
Bu eşitsizliği sağlayan tüm gerçek sayılar $frac{3}{2}$'den küçüktür.
c) $5-4x ge x-9$
Bu eşitsizliği çözerken $x$’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım.
Adım 1: $x$’li terimleri sol tarafa toplamak için eşitsizliğin her iki tarafına $4x$ ekleyelim.
$5 – 4x + 4x ge x – 9 + 4x$
Sonuç:
$5 ge 5x – 9$
Adım 2: Sabit terimleri sağ tarafa toplamak için eşitsizliğin her iki tarafına 9 ekleyelim.
$5 + 9 ge 5x – 9 + 9$
Sonuç:
$14 ge 5x$
Adım 3: $x$’i bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 5’e bölelim.
$frac{14}{5} ge frac{5x}{5}$
Sonuç:
$frac{14}{5} ge x$
Bu eşitsizliği sağlayan tüm gerçek sayılar $frac{14}{5}$’e eşit veya $frac{14}{5}$’ten küçüktür. $frac{14}{5}$’i ondalık olarak yazarsak 2.8 olur, yani $x le 2.8$.
Umarım bu çözümler eşitsizlikler konusunu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar dilerim!