Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün sizlerle matematik dersinde karşılaştığımız cebirsel ifadelerle ilgili bazı soruları çözeceğiz. Her bir soruyu dikkatlice inceleyip, adım adım nasıl çözdüğümüzü anlatacağım. Hazırsanız başlayalım!
“`html
16. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
- 8x² = 4x · 2x
- -25xy² = 5x(-5 · y) · y
- 14xy = (2x) · (7)
- 18xy = 9x · 2y
- -4x²y³ = (4x²) · (4y) · y
- -2x²y² = (-2x) · x · y · y
Çözüm:
Bu soruda verilen eşitliklerin doğruluğunu kontrol edeceğiz. Cebirsel ifadelerde çarpma işlemini yaparken katsayıları kendi arasında, bilinmeyenleri de kendi arasında çarparız. Üslü ifadelerde ise aynı tabana sahip bilinmeyenler çarpıldığında üsleri toplanır.
Adım 1: İlk eşitliği inceleyelim: 8x² = 4x · 2x
Sağ tarafı çarptığımızda: 4x · 2x = (4 · 2) · (x · x) = 8x²
Sol taraf da 8x² olduğuna göre bu eşitlik doğrudur. Kutucuğa “D” yazmalıyız.
Adım 2: İkinci eşitliği inceleyelim: -25xy² = 5x(-5 · y) · y
Sağ tarafı çarptığımızda: 5x · (-5y) · y = (5 · -5) · x · (y · y) = -25xy²
Sol taraf da -25xy² olduğuna göre bu eşitlik doğrudur. Kutucuğa “D” yazmalıyız.
Adım 3: Üçüncü eşitliği inceleyelim: 14xy = (2x) · (7)
Sağ tarafı çarptığımızda: (2x) · (7) = (2 · 7) · x = 14x
Sol taraf 14xy iken sağ taraf 14x oldu. Bu eşitlik yanlıştır. Kutucuğa “Y” yazmalıyız.
Adım 4: Dördüncü eşitliği inceleyelim: 18xy = 9x · 2y
Sağ tarafı çarptığımızda: 9x · 2y = (9 · 2) · (x · y) = 18xy
Sol taraf da 18xy olduğuna göre bu eşitlik doğrudur. Kutucuğa “D” yazmalıyız.
Adım 5: Beşinci eşitliği inceleyelim: -4x²y³ = (4x²) · (4y) · y
Sağ tarafı çarptığımızda: (4x²) · (4y) · y = (4 · 4) · x² · (y · y) = 16x²y²
Sol taraf -4x²y³ iken sağ taraf 16x²y² oldu. Bu eşitlik yanlıştır. Kutucuğa “Y” yazmalıyız.
Adım 6: Altıncı eşitliği inceleyelim: -2x²y² = (-2x) · x · y · y
Sağ tarafı çarptığımızda: (-2x) · x · y · y = (-2) · (x · x) · (y · y) = -2x²y²
Sol taraf da -2x²y² olduğuna göre bu eşitlik doğrudur. Kutucuğa “D” yazmalıyız.
Sonuç:
- D
- D
- Y
- D
- Y
- D
17. (4x – 6) · (3x + 2) çarpımının bir terimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) -12
- B) -18x²
- C) 4x²
- D) -18x
Çözüm:
Bu soruda iki tane cebirsel ifadenin çarpımını yapacağız. Bunu yaparken dağılma özelliğini kullanacağız. Yani, birinci parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle tek tek çarpacağız.
Adım 1: (4x – 6) · (3x + 2) işlemini açalım.
Adım 2: Birinci parantezin ilk terimi olan 4x’i, ikinci parantezin her iki terimiyle çarpalım:
4x · (3x + 2) = (4x · 3x) + (4x · 2)
4x · 3x = 12x²
4x · 2 = 8x
Yani, 4x · (3x + 2) = 12x² + 8x
Adım 3: Şimdi birinci parantezin ikinci terimi olan -6’yı, ikinci parantezin her iki terimiyle çarpalım:
-6 · (3x + 2) = (-6 · 3x) + (-6 · 2)
-6 · 3x = -18x
-6 · 2 = -12
Yani, -6 · (3x + 2) = -18x – 12
Adım 4: Elde ettiğimiz bu iki sonucu toplayalım:
(12x² + 8x) + (-18x – 12) = 12x² + 8x – 18x – 12
Adım 5: Benzer terimleri bir araya getirip toplayalım:
12x² + (8x – 18x) – 12 = 12x² – 10x – 12
Şimdi şıklara baktığımızda, bu çarpımın bir terimini soruyor. Çarpım sonucumuz 12x² – 10x – 12’dir. Şıklarda bu ifadenin bir terimi (yani 12x², -10x veya -12) olup olmadığını kontrol edelim.
A) -12: Bu bir terimdir.
B) -18x²: Bu bir terim değildir.
C) 4x²: Bu bir terim değildir.
D) -18x: Bu bir terim değildir.
Ancak soruda “bir terimi aşağıdakilerden hangisidir?” diye soruyor. Bizim bulduğumuz sonuçta -12 terimi var. Fakat şıklarda -10x veya 12x² gibi terimler de olabilir. Soruda bir hata olabilir veya biz bir şeyi gözden kaçırıyoruz. Tekrar kontrol edelim.
Soruyu tekrar incelediğimizde, şıklar çarpımın tamamını değil, çarpım sonucunda ortaya çıkabilecek bir terimi soruyor. Bizim bulduğumuz çarpım sonucunda -12 var.
Şıklarda A seçeneği -12’dir. Bu bizim bulduğumuz sonuçta bir terimdir.
Sonuç: A) -12
18. Yukarıda modellenen cebirsel ifadelerle çarpma işlemini aşağıda boş bırakılan yere yazınız.
Çözüm:
Bu soruda bir kare modellemesi verilmiş. Model, bir kenarı x birim ve diğer kenarı 1 birim olan dikdörtgenlerden oluşuyor. Bu model, iki cebirsel ifadenin çarpımını temsil ediyor.
Adım 1: Modelin yatay kenarını inceleyelim.
Soldan sağa doğru x, x, x ve 1 birimleri görüyoruz. Bu, kenarın (x + x + x + 1) = 3x + 1 olduğunu gösterir.
Adım 2: Modelin dikey kenarını inceleyelim.
Yukarıdan aşağıya doğru x, x ve 1 birimleri görüyoruz. Bu, kenarın (x + x + 1) = 2x + 1 olduğunu gösterir.
Adım 3: Modelin tamamı, bu iki kenarın çarpımı ile elde edilir.
Yani, çarpım işlemi (3x + 1) · (2x + 1) şeklinde gösterilir.
Sonuç: (3x + 1) · (2x + 1)
19. 2(2x – 1) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4x – 2
- B) -12x – 6x
- C) 4x – 1
- D) 4x + 2
Çözüm:
Bu soruda bir sayının bir parantez içindeki cebirsel ifadeyle çarpımını yapacağız. Bunu yaparken sayıyı parantez içindeki her bir terimle tek tek çarpacağız.
Adım 1: 2 sayısını (2x – 1) paranteziyle çarpalım.
2 · (2x – 1) = (2 · 2x) – (2 · 1)
Adım 2: Çarpma işlemlerini yapalım.
2 · 2x = 4x
2 · 1 = 2
Adım 3: Elde ettiğimiz sonuçları birleştirelim.
4x – 2
Sonuç: A) 4x – 2
20. 4x² – 12x + 9 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (2x – 3)
- B) (4x + 3)
- C) (4x – 3)
- D) (2x + 3)
Çözüm:
Bu ifadeye baktığımızda, bir tam kare ifade olabileceğini düşünebiliriz. Tam kare ifadelerin genel formları şöyledir: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a – b)² = a² – 2ab + b².
Adım 1: İfadenin ilk terimi 4x²’dir. Bu, (2x)² şeklinde yazılabilir. Yani, a = 2x olabilir.
Adım 2: İfadenin son terimi 9’dur. Bu, 3² şeklinde yazılabilir. Yani, b = 3 olabilir.
Adım 3: Şimdi ifadenin ortanca terimi olan -12x’i kontrol edelim. Eğer bu bir tam kare ifadeyse, ortanca terim 2ab veya -2ab olmalıdır.
2ab = 2 · (2x) · (3) = 12x
-2ab = -2 · (2x) · (3) = -12x
İfademizdeki ortanca terim -12x olduğu için, bu ifade (a – b)² formuna uymaktadır.
Adım 4: Bu durumda ifade (2x – 3)² şeklinde çarpanlarına ayrılır.
(2x – 3)² = (2x – 3) · (2x – 3)
Adım 5: Şıklara baktığımızda, (2x – 3) ifadesinin çarpanlardan biri olduğunu görüyoruz.
Sonuç: A) (2x – 3)
21. k² + A + 16m² ifadesi tam kare bir ifade ise A yerine aşağıdakilerden hangisi gelebilir?
- A) 4km
- B) 8km
- C) -4km
- D) -16km
Çözüm:
Bu ifade de bir tam kare ifade olmalı. Tam kare ifadelerin genel formunu hatırlayalım: (a + b)² = a² + 2ab + b² veya (a – b)² = a² – 2ab + b².
Verilen ifade k² + A + 16m² şeklindedir.
Adım 1: İfadenin ilk terimi k²’dir. Bu, k² şeklinde yazılabilir. Yani, a = k olabilir.
Adım 2: İfadenin son terimi 16m²’dir. Bu, (4m)² veya (-4m)² şeklinde yazılabilir.
Durum 1: Eğer son terim (4m)² ise, yani b = 4m ise:
Ortanca terim (A) 2ab veya -2ab olabilir.
2ab = 2 · k · (4m) = 8km
-2ab = -2 · k · (4m) = -8km
Bu durumda A, 8km veya -8km olabilir.
Durum 2: Eğer son terim (-4m)² ise, yani b = -4m ise:
Ortanca terim (A) 2ab veya -2ab olabilir.
2ab = 2 · k · (-4m) = -8km
-2ab = -2 · k · (-4m) = 8km
Bu durumda da A, -8km veya 8km olabilir.
Şimdi şıklara baktığımızda, 8km ve -8km seçenekleri arasında sadece 8km bulunmaktadır.
Sonuç: B) 8km
22. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 9a² – 30ab + 25b² = ___________________________________
b) k² – 4mk + 4m² = ___________________________________
Çözüm:
Bu sorularda da tam kare ifadeleri tanıyıp çarpanlarına ayıracağız.
a) 9a² – 30ab + 25b²
Adım 1: İlk terim 9a²’dir, bu (3a)² şeklinde yazılabilir. Yani, a = 3a.
Adım 2: Son terim 25b²’dir, bu (5b)² şeklinde yazılabilir. Yani, b = 5b.
Adım 3: Ortanca terim -30ab’dir. Kontrol edelim: -2ab = -2 · (3a) · (5b) = -30ab.
İfade tam kare bir ifadedir ve (a – b)² formundadır.
Sonuç (a): (3a – 5b)²
b) k² – 4mk + 4m²
Adım 1: İlk terim k²’dir, bu k² şeklinde yazılabilir. Yani, a = k.
Adım 2: Son terim 4m²’dir, bu (2m)² şeklinde yazılabilir. Yani, b = 2m.
Adım 3: Ortanca terim -4mk’dir. Kontrol edelim: -2ab = -2 · k · (2m) = -4mk.
İfade tam kare bir ifadedir ve (a – b)² formundadır.
Sonuç (b): (k – 2m)²
23. 9a² – 4b² ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3a + 2b) · 2b
- B) (3a – 2b) · (3a + 2b)
- C) (9a – 4b) · (9a + 4b)
- D) (9a – 2b) · 2b
Çözüm:
Bu ifade iki kare farkı özdeşliğine uymaktadır. İki kare farkı özdeşliğinin genel formu şöyledir: a² – b² = (a – b) · (a + b).
Adım 1: Verilen ifadeyi a² – b² formatına getirelim.
9a² = (3a)²
4b² = (2b)²
Yani, ifademiz (3a)² – (2b)² şeklindedir.
Adım 2: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım. Burada a yerine 3a ve b yerine 2b gelmektedir.
(3a)² – (2b)² = (3a – 2b) · (3a + 2b)
Sonuç: B) (3a – 2b) · (3a + 2b)
24. (a – b)² + 4ab ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) a² – b² – 2ab
- B) (a – b)²
- C) (a + b)²
- D) a² + b²
Çözüm:
Bu soruda verilen cebirsel ifadeyi sadeleştireceğiz ve şıklardan hangisine eşit olduğunu bulacağız.
Adım 1: İlk olarak (a – b)² ifadesini açalım. Bu, tam kare açılımından (a – b)² = a² – 2ab + b² şeklinde açılır.
Adım 2: Şimdi bu açılımı verilen ifadeye yerleştirelim:
(a² – 2ab + b²) + 4ab
Adım 3: Benzer terimleri bir araya getirip toplayalım. Burada -2ab ve +4ab benzer terimlerdir.
a² + (-2ab + 4ab) + b²
a² + 2ab + b²
Adım 4: Elde ettiğimiz a² + 2ab + b² ifadesi, (a + b)² tam kare açılımına eşittir.
Sonuç: C) (a + b)²
“`