Merhaba sevgili öğrencim. Seninle bugün kareköklü ifadelerde çarpma işleminin sonucunu doğal sayı yapma konusunu pekiştireceğiz. Bana gönderdiğin sayfada iki tane “Sıra Sizde” bölümü var. Hadi gel bunları tane tane, seninle derste işlediğimiz gibi çözelim.
Soru 1 (İlk Sıra Sizde Kısmı): 3√5 sayısı ile çarpıldığında sonucu doğal sayı olan çarpanlara başka örnekler bulunuz.
Çözüm:
Bak şimdi, bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapmak istiyorsak, kökün içindeki “irrasyonel” kısımdan kurtulmamız gerekir. Bunun en kolay yolu da kökün içindeki sayının aynısı ile çarpmaktır. Çünkü kök a çarpı kök a, a’ya eşittir.
Adım 1: Elimizdeki sayıyı inceleyelim.
Sayımız: 3√5
Burada bizi doğal sayı olmaktan alıkoyan kısım √5‘tir. Demek ki bizim bu sayıyı kurtarmak için içinde çarpan olarak mutlaka √5 barındıran sayılara ihtiyacımız var.
Adım 2: Örnekler verelim ve kontrol edelim.
En basitinden sadece √5 ile çarpabiliriz:
3√5 . √5
= 3 . (√5 . √5)
= 3 . 5
= 15 (Bir doğal sayıdır)
Bir başka örnek olarak katsayısı olan bir sayı seçelim, mesela 2√5:
3√5 . 2√5
= (3 . 2) . (√5 . √5)
= 6 . 5
= 30 (Bir doğal sayıdır)
Biraz daha zorlaştıralım, kök içine gizlenmiş bir sayı bulalım. Mesela √20. Neden mi? Çünkü √20 aslında 2√5 demektir. Hadi deneyelim:
3√5 . √20
= 3√(5 . 20)
= 3√100
= 3 . 10
= 30 (Bir doğal sayıdır)
Özetle: 3√5 sayısını; √5, 4√5, 7√5, √125 gibi içinde √5 çarpanı kalan her türlü sayı ile çarparsak sonuç doğal sayı olur.
Soru 2 (İkinci Sıra Sizde Kısmı): √48 sayısı aşağıdaki sayılardan hangileri ile çarpılırsa sonucun doğal sayı olacağını belirleyiniz.
-
a) √2
b) √3
c) √8
ç) 5√3
d) √12
Çözüm:
Bu tip sorularda ilk kuralımız şudur: Asla sayıyı olduğu gibi bırakma! Önce verilen sayıyı a√b şeklinde en sade haliyle yaz ki, “eşinin” kim olduğunu görebilesin.
Adım 1: √48 sayısını düzenleyelim.
√48 sayısı, tam kare olan 16 ile 3’ün çarpımıdır. 16 dışarıya 4 diye çıkar.
√48 = √(16 . 3) = 4√3
Gördüğün gibi, bu sayının doğal sayı olması için kökün içindeki √3‘ten kurtulması lazım. Yani şıklarda içinde √3 olan sayıları arayacağız.
Adım 2: Şıkları tek tek deneyelim.
a) √2 ile çarpılırsa:
4√3 . √2 = 4√6
Sonuç köklü kaldı, doğal sayı olmadı. (Olmaz)
b) √3 ile çarpılırsa:
Bak burada aradığımız √3 var.
4√3 . √3
= 4 . 3
= 12
Sonuç doğal sayı oldu. (Bu seçenek OLUR)
c) √8 ile çarpılırsa:
√8’i dışarı çıkaralım: 2√2 demektir. İçinde √2 var, bizim işimize yaramaz.
4√3 . 2√2 = 8√6
Doğal sayı olmadı. (Olmaz)
ç) 5√3 ile çarpılırsa:
Burada da √3’ü gördük. Bu işlem kesinlikle doğal sayı çıkar.
4√3 . 5√3
= (4 . 5) . (√3 . √3)
= 20 . 3
= 60
Sonuç doğal sayı oldu. (Bu seçenek OLUR)
d) √12 ile çarpılırsa:
Sazan gibi atlamayalım, √12’yi önce a√b şeklinde yazalım. √12 = √(4.3) = 2√3 demektir. Bak, meğer bunun da içinde gizli bir √3 varmış!
4√3 . 2√3
= (4 . 2) . (√3 . √3)
= 8 . 3
= 24
Sonuç doğal sayı oldu. (Bu seçenek OLUR)
Sonuç:
Doğru cevaplar: b, ç ve d seçeneklerindeki sayılardır. Bu sayılarla çarptığımızda sonuç tertemiz bir doğal sayı çıkar.