Merhaba sevgili öğrencim! Seninle 8. sınıf matematik dersindeki bu güzel soruları adım adım, sanki yan yana oturmuşuz gibi çözelim. Bu konu **Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik** konusudur ve LGS için de oldukça önemlidir. Hazırsan başlayalım!
2. Soru: Gölge Boyu Problemi
Soru Metni: Bir ışık kaynağından 45 cm uzaklıkta bulunan bir kalemin uzunluğu 25 cm’dir. Kalemin ışık kaynağından 90 cm uzaklıkta bulunan ekran üzerindeki gölgesinin boyu kaç cm’dir?
Çözüm:
Bu soru, üçgenlerde temel benzerlik teoreminin (Thales teoremi) günlük hayata uygulanmış harika bir örneğidir. Işık kaynağını bir üçgenin tepe noktası olarak hayal edelim.
- Adım 1: Elimizdeki verileri yerleştirelim. Işık kaynağından cisme (kaleme) olan uzaklık 45 cm. Kalemin boyu ise 25 cm.
- Adım 2: Işık kaynağından gölgenin düştüğü ekrana olan toplam uzaklık ise 90 cm verilmiş.
- Adım 3: Burada bir orantı kuracağız. “Küçük üçgenin yüksekliğinin büyük üçgenin yüksekliğine oranı, tabanların oranına eşittir.” kuralını hatırla.
Yani: (Kaynağın Kaleme Uzaklığı) / (Kaynağın Ekrana Uzaklığı) = (Kalemin Boyu) / (Gölgenin Boyu) - Adım 4: Sayıları yerine koyalım:
45 / 90 = 25 / x (Gölge boyuna x diyelim) - Adım 5: Dikkat edersen 90 sayısı 45’in tam 2 katıdır. Bu durumda gölge boyu da kalemin boyunun 2 katı olmalıdır.
x = 25 x 2
x = 50 cm
Sonuç: Doğru cevap B) 50 cm seçeneğidir.
3. Soru: Eş ve Benzer Şekil Çizme
Soru Metni: Aşağıdaki noktalı bölgede verilen şekle eş olan bir şekil çiziniz. Bu şekil ile benzerlik oranı 3 olan bir şekil daha çiziniz.
Çözüm:
Burada senden çizim yapman isteniyor. Ben sana nasıl çizmen gerektiğini tarif edeceğim, sen de kağıdına uygulayacaksın.
- Şeklin Analizi: Önce verilen şeklin kenar uzunluklarını birim kareleri (noktaları) sayarak bulalım.
– Sol dikey kenar: 4 birim
– Üst yatay kenar: 4 birim
– Alt yatay kenar: 3 birim
– Sağ taraf ise çapraz bir çizgi ile birleşiyor. - Adım 1 (Eş Şekil Çizimi): “Eş şekil” demek, tıpatıp aynısı demektir. Kağıdındaki boş bir yere;
– 4 birim aşağıya,
– 4 birim sağa (üstten),
– 3 birim sağa (alttan) çizip uçları birleştireceksin. Boyutlar birebir aynı olmalı. - Adım 2 (Benzerlik Oranı 3 Olan Şekil): “Benzerlik oranı 3” demek, kenar uzunluklarının hepsini 3 ile çarpmak (büyütmek) demektir.
– Yeni Sol Kenar: 4 x 3 = 12 birim uzunluğunda olmalı.
– Yeni Üst Kenar: 4 x 3 = 12 birim uzunluğunda olmalı.
– Yeni Alt Kenar: 3 x 3 = 9 birim uzunluğunda olmalı.
Bu boyutlarda dev bir şekil çizdiğinde, ödevini tamamlamış olacaksın.
4. Soru: Düzgün Altıgenlerde Benzerlik
Soru Metni: ABCDEF ve KLMNPR düzgün altıgendir. |AB| = 8 cm, |MN| = 20 cm olduğuna göre bu altıgenler arasındaki benzerlik oranı kaçtır?
Çözüm:
Düzgün çokgenlerin (bütün kenarları ve açıları eşit olan) hepsi birbirine benzerdir. Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenar uzunluklarını birbirine bölmemiz yeterlidir.
- Adım 1: Küçük altıgenin bir kenarı (|AB|) = 8 cm.
- Adım 2: Büyük altıgenin bir kenarı (|MN|) = 20 cm.
- Adım 3: Benzerlik oranı = (Birinci Şeklin Kenarı) / (İkinci Şeklin Kenarı)
Oran = 8 / 20 - Adım 4: Bu kesri sadeleştirelim. Her iki sayıyı da 4’e bölebiliriz.
8 ÷ 4 = 2
20 ÷ 4 = 5
Sonuç: 2/5 (veya şıklara göre büyükten küçüğe sorulsaydı 5/2 olurdu, genelde en sade hali istenir).
Sonuç: Benzerlik oranı 2/5‘tir.
5. Soru: Üçgenlerde Benzerlik Oranı
Soru Metni: Yandaki şekilde CAB ~ CDE’dir. |EC| = 10 cm ve |BE| = 4 cm ise benzerlik oranı nedir?
Çözüm:
Burada bize iki üçgenin benzer olduğu matematiksel bir dille (CAB ~ CDE) verilmiş. Bu sıralama çok önemlidir çünkü hangi kenarın hangi kenarla orantılı olduğunu söyler.
- Adım 1: Verilen benzerlik: CAB ~ CDE.
Bu demektir ki; ilk üçgenin son iki harfi olan CB kenarı, ikinci üçgenin son iki harfi olan CE kenarı ile orantılıdır. - Adım 2: Bize verilen uzunluklara bakalım:
|EC| = 10 cm (Küçük üçgenin kenarı)
|BE| = 4 cm (Aradaki parça) - Adım 3: Büyük üçgenin kenarı olan |CB| uzunluğunu bulmamız lazım.
|CB| = |CE| + |EB|
|CB| = 10 + 4 = 14 cm - Adım 4: Şimdi benzerlik oranını yazalım. Soru kökünde önce CAB üçgeni yazıldığı için pay kısmına onun kenarını yazıyoruz.
Benzerlik Oranı = |CB| / |CE|
Benzerlik Oranı = 14 / 10 - Adım 5: Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 2’ye bölelim).
14 ÷ 2 = 7
10 ÷ 2 = 5
Sonuç: Benzerlik oranı 7/5 (veya ondalık olarak 1,4)’tür.