Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle birlikte çarpanlar ve katlar konusundaki bu güzel etkinlik sayfasını adım adım inceleyeceğiz. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, kuralları bildiğinde çözmesi çok keyiflidir. Hadi gel, soruları tek tek ele alalım.
1. Aşağıdaki çarpan ağaçlarında boş bırakılan yerleri tamamlayarak sayıların asal çarpanlarını yazınız.
Bu soruda “Çarpan Ağacı” yöntemini kullanıyoruz. Sayıyı iki dala ayırıp çarpımları o sayıyı veren sayıları buluyoruz, ta ki en altta sadece asal sayılar kalana kadar.
a) 105 Sayısı
- 105 sayısını 3’e bölersek 35 buluruz. (İlk kutucuklar: 3 ve 35)
- 35 sayısı asal değildir, onu da 5 ve 7’nin çarpımı olarak yazarız. (İkinci dal: 5 ve 7)
- Sonuç olarak en alttaki asal sayıları yan yana yazarız: 105 = 3 . 5 . 7
b) 108 Sayısı
- 108’i 2’ye böldük, diğer dal 54 olur.
- 54’ü 2’ye böldük, diğer dal 27 olur.
- 27’yi 3’e böldük, diğer dal 9 olur.
- 9’u 3’e böldük, diğer dal 3 olur.
- Şimdi en uçtaki asalları toplayalım: İki tane 2, üç tane 3 var.
- 108 = 2² . 3³
c) 140 Sayısı
- 140’ı 2’ye böldük, diğer dal 70 olur.
- 70’i 2’ye böldük, diğer dal 35 olur.
- 35’i çarpanlarına ayırırsak 5 ve 7 olur.
- Sonuç: İki tane 2, bir tane 5, bir tane 7 var.
- 140 = 2² . 5 . 7
2. 320 sayısının asal ve asal olmayan çarpanlarını bulunuz.
Önce 320 sayısının tüm çarpanlarını (bölenlerini) bulalım, sonra bunları gruplandıralım.
Adım 1: 320’nin tüm çarpanlarını yazalım:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320.
Adım 2: Asal olanları seçelim:
Bu listede sadece 2 ve 5 asaldır.
Adım 3: Asal olmayanları ayıralım:
Asal olanları çıkardığımızda geriye kalanlar: 1, 4, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320.
3. Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlar algoritmasından yararlanarak çarpanlarına ayırınız.
Burada “Bölen Listesi” (çizgi çekme) yöntemini kullanacağız.
a) 200
- 200 | 2
- 100 | 2
- 50 | 2
- 25 | 5
- 5 | 5
- 1
- Sonuç: 200 = 2³ . 5²
b) 294
- 294 | 2
- 147 | 3 (Rakamları toplamı 1+4+7=12 olduğu için 3’e bölünür)
- 49 | 7
- 7 | 7
- 1
- Sonuç: 294 = 2 . 3 . 7²
c) 189
- 189 | 3 (189 ikiye bölünmez, 3’e bölünür)
- 63 | 3
- 21 | 3
- 7 | 7
- 1
- Sonuç: 189 = 3³ . 7
4. Aşağıda verilen sayıları çarpanlarına ayırıp üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
a) 150
- 150 = 2 . 75
- 75 = 3 . 25
- 25 = 5 . 5
- Sonuç: 150 = 2 . 3 . 5²
b) 99
- 99 = 3 . 33
- 33 = 3 . 11
- Sonuç: 99 = 3² . 11
c) 196
- 196 = 2 . 98
- 98 = 2 . 49
- 49 = 7 . 7
- Sonuç: 196 = 2² . 7²
5. Üslü ifadelerin çarpımı şeklinde verilen sayıları bulunuz.
Burada verilen üslü sayıların değerini bulup birbiriyle çarpacağız.
a) 2³ . 3 . 5 = ……
- 2³ = 8 eder.
- İşlem: 8 . 3 . 5
- 8 . 3 = 24
- 24 . 5 = 120
b) 3² . 7 = ……
- 3² = 9 eder.
- İşlem: 9 . 7 = 63
c) 5 . 7² = ……
- 7² = 49 eder.
- İşlem: 5 . 49
- Zihinden yapalım: 5 kere 50 olsa 250 olurdu, bir tane 5 çıkarırsak 245 olur.
ç) 2⁵ . 3³ . 5 = ……
- 2⁵ = 32
- 3³ = 27
- İşlem: 32 . 27 . 5
- Kolaylık olsun diye önce 32 ile 5’i çarpalım: 32 . 5 = 160
- Şimdi 160 ile 27’yi çarpalım.
- 16 . 27 = 432 eder, sonuna 0 ekleyelim: 4320
6. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarını bulunuz.
Bu sayıyı kalansız bölen tüm sayıları yazacağız.
a) 32
1, 2, 4, 8, 16, 32
b) 28
1, 2, 4, 7, 14, 28
c) 15
1, 3, 5, 15
ç) 11
1, 11 (11 asal bir sayıdır, sadece 1’e ve kendisine bölünür.)
7. 60 sayısının asal olmayan kaç tane çarpanı vardır?
Adım 1: 60’ın tüm çarpanlarını yazalım.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Toplamda 12 tane çarpanı var.
Adım 2: Asal olanları bulalım.
Bu listedeki asallar: 2, 3 ve 5’tir (Toplam 3 tane).
Adım 3: Asal olmayanları bulmak için çıkarma yapalım.
Toplam çarpan sayısı – Asal çarpan sayısı = Asal olmayan çarpan sayısı
12 – 3 = 9 tane asal olmayan çarpan vardır.
8. Aşağıdaki ifadelerde noktalı yerleri tamamlayınız.
Burada sayıları asal çarpanlarına ayırıp eksik olan üsleri (kuvvetleri) bulacağız.
a) 80 = 2… . 5
- 80’i 5’e bölersek 16 kalır.
- 16 sayısı 2’nin kaçıncı kuvvetidir? 2 . 2 . 2 . 2 = 16 yani 2⁴’tür.
- Noktalı yere 4 gelmelidir. (80 = 2⁴ . 5)
b) 270 = 2 . 3… . 5
- 270’i önce 2 ve 5’e (yani 10’a) bölelim. 270 / 10 = 27 kalır.
- Geriye kalan 27 sayısı 3’ün kaçıncı kuvvetidir? 3 . 3 . 3 = 27 yani 3³’tür.
- Noktalı yere 3 gelmelidir. (270 = 2 . 3³ . 5)
c) 400 = 2… . 5…
- 400 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- 400 = 4 . 100
- 400 = 2² . 10²
- 400 = 2² . (2 . 5)²
- 400 = 2² . 2² . 5²
- Tabanları aynı olan 2’lerin üslerini toplayalım: 2⁴ . 5²
- Birinci noktalı yere 4, ikinci noktalı yere 2 gelmelidir.
Başarılar dilerim, harika gidiyorsun!