Merhaba sevgili öğrenciler! Matematik dersinde bu hafta cebirsel ifadelerle ilgili harika sorular çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
3. Aşağıdaki cebirsel ifadeleri, tam kare özdeşliklerden yararlanarak çarpanlarına ayırınız.
Bu soruda tam kare özdeşlikleri kullanacağız. Hatırlayalım: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ve $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$. Şimdi şıklara tek tek bakalım:
a) $x^2 – 2x + 1$
Burada $a^2 = x^2$ yani $a=x$ ve $b^2 = 1$ yani $b=1$. Ortadaki terim $2ab = 2 cdot x cdot 1 = 2x$. İşaret eksi olduğu için $(x-1)^2$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $(x-1)^2$
b) $9a^2 + 6a + 1$
Burada $a^2 = 9a^2$ yani $a=3a$ ve $b^2 = 1$ yani $b=1$. Ortadaki terim $2ab = 2 cdot 3a cdot 1 = 6a$. İşaret artı olduğu için $(3a+1)^2$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $(3a+1)^2$
c) $36 – 12x + x^2$
Bu ifadeyi genellikle bilinen formata getirelim: $x^2 – 12x + 36$. Burada $a^2 = x^2$ yani $a=x$ ve $b^2 = 36$ yani $b=6$. Ortadaki terim $2ab = 2 cdot x cdot 6 = 12x$. İşaret eksi olduğu için $(x-6)^2$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $(x-6)^2$
ç) $9x^2 + 24xy + 16y^2$
Burada $a^2 = 9x^2$ yani $a=3x$ ve $b^2 = 16y^2$ yani $b=4y$. Ortadaki terim $2ab = 2 cdot 3x cdot 4y = 24xy$. İşaret artı olduğu için $(3x+4y)^2$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $(3x+4y)^2$
d) $64 – 48a + 9a^2$
Bu ifadeyi de düzenleyelim: $9a^2 – 48a + 64$. Burada $a^2 = 9a^2$ yani $a=3a$ ve $b^2 = 64$ yani $b=8$. Ortadaki terim $2ab = 2 cdot 3a cdot 8 = 48a$. İşaret eksi olduğu için $(3a-8)^2$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $(3a-8)^2$
e) $100 + 20x + x^2$
Bu ifadeyi de düzenleyelim: $x^2 + 20x + 100$. Burada $a^2 = x^2$ yani $a=x$ ve $b^2 = 100$ yani $b=10$. Ortadaki terim $2ab = 2 cdot x cdot 10 = 20x$. İşaret artı olduğu için $(x+10)^2$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $(x+10)^2$
4. $16x^2 + Mx + 25$ ifadesinin iki terim toplamının karesi olması için M ne olmalıdır?
Bu da tam kare özdeşliğine uyacak. İki terim toplamının karesi $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ şeklindedir.
Burada $a^2 = 16x^2$ ise $a = 4x$ ve $b^2 = 25$ ise $b = 5$ olur.
Ortadaki terim $M$ ise $2ab$ olmalı.
$M = 2 cdot (4x) cdot 5$
$M = 40x$
Sonuç: $40x$
5. $x + y = 9$, $x^2 + y^2 = 25$ ise $xy$ kaçtır?
Bu soruda da özdeşliklerden faydalanacağız. $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ özdeşliğini biliyoruz.
Soruda verilenleri yerine koyalım:
$(9)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy$
$81 = 25 + 2xy$
Şimdi $2xy$’yi yalnız bırakalım:
$2xy = 81 – 25$
$2xy = 56$
Şimdi de $xy$’yi bulalım:
$xy = 56 / 2$
$xy = 28$
Sonuç: 28
6. Aşağıdaki ifadelerin eşitini olan ifadeleri yazınız.
Bu soruda da iki kare farkı ve tam kare özdeşliklerini kullanacağız.
a) $(a-7) cdot (a+7)$
Bu, iki kare farkı özdeşliğidir: $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$.
Burada $a=a$ ve $b=7$.
Sonuç: $a^2 – 49$
b) $(2a-1) cdot (2a-1)$
Bu, tam kare özdeşliğidir: $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$.
Burada $a=2a$ ve $b=1$.
$(2a-1)^2 = (2a)^2 – 2 cdot (2a) cdot 1 + 1^2$
$= 4a^2 – 4a + 1$
Sonuç: $4a^2 – 4a + 1$
c) $(5-4x) cdot (5+4x)$
Bu da iki kare farkı özdeşliğidir.
Burada $a=5$ ve $b=4x$.
Sonuç: $5^2 – (4x)^2 = 25 – 16x^2$
d) $(3+7a) cdot (3+7a)$
Bu tam kare özdeşliğidir: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Burada $a=3$ ve $b=7a$.
$(3+7a)^2 = 3^2 + 2 cdot 3 cdot (7a) + (7a)^2$
$= 9 + 42a + 49a^2$
Sonuç: $49a^2 + 42a + 9$
e) $(1-9x) cdot (1+9x)$
İki kare farkı özdeşliği.
Burada $a=1$ ve $b=9x$.
Sonuç: $1^2 – (9x)^2 = 1 – 81x^2$
f) $(6a-8) cdot (6a+8)$
İki kare farkı özdeşliği.
Burada $a=6a$ ve $b=8$.
Sonuç: $(6a)^2 – 8^2 = 36a^2 – 64$
g) $(x+1) cdot (x+1)$
Tam kare özdeşliği: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Burada $a=x$ ve $b=1$.
$(x+1)^2 = x^2 + 2 cdot x cdot 1 + 1^2$
$= x^2 + 2x + 1$
Sonuç: $x^2 + 2x + 1$
h) $5x cdot (3x-7)$
Bu bir dağılma özelliğidir.
$5x cdot 3x – 5x cdot 7$
$15x^2 – 35x$
Sonuç: $15x^2 – 35x$
i) $-3a cdot (5a-9)$
Bu da bir dağılma özelliğidir.
$(-3a) cdot 5a – (-3a) cdot 9$
$-15a^2 + 27a$
Sonuç: $-15a^2 + 27a$
7. $108x^2$ teriminin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
Bu soruda $108x^2$’nin çarpanlarını düşüneceğiz. $108$ sayısının çarpanları ve $x^2$’nin çarpanları olabilir. 108’in çarpanları arasında 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 gibi sayılar vardır. $x^2$’nin çarpanları ise $x$ ve $x^2$’dir.
Şıkları inceleyelim:
A) $x$: $108x^2 = 108x cdot x$ şeklinde yazılabilir. Yani $x$ bir çarpandır.
B) 2: $108x^2 = 2 cdot 54x^2$ şeklinde yazılabilir. Yani 2 bir çarpandır.
C) $54x^2$: $108x^2 = 2 cdot 54x^2$ şeklinde yazılabilir. Yani $54x^2$ bir çarpandır.
D) $5x$: $108x^2 = 5x cdot (frac{108}{5}x)$ şeklinde yazılır. $108$ sayısı 5’e tam bölünmez. Bu nedenle $5x$ $108x^2$’nin bir çarpanı değildir.
Sonuç: D) $5x$
8. Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) $4x – 6$
Bu ifadede ortak çarpanı bulmalıyız. Her iki terimde de 2 ortak çarpandır.
$4x – 6 = 2 cdot (2x – 3)$
Sonuç: $2(2x-3)$
b) $7x^2 + 3x$
Her iki terimde de $x$ ortak çarpandır.
$7x^2 + 3x = x cdot (7x + 3)$
Sonuç: $x(7x+3)$
c) $15a^2 – 5a + 5$
Her terimde 5 ortak çarpandır.
$15a^2 – 5a + 5 = 5 cdot (3a^2 – a + 1)$
Sonuç: $5(3a^2 – a + 1)$
ç) $8x^3 + 4x^2 + 2x$
Her terimde $2x$ ortak çarpandır.
$8x^3 + 4x^2 + 2x = 2x cdot (4x^2 + 2x + 1)$
Sonuç: $2x(4x^2 + 2x + 1)$
d) $5xy^2 + 8xy$
Her iki terimde de $xy$ ortak çarpandır.
$5xy^2 + 8xy = xy cdot (5y + 8)$
Sonuç: $xy(5y+8)$
e) $12x^2a + 6xa$
Her iki terimde de $6xa$ ortak çarpandır.
$12x^2a + 6xa = 6xa cdot (2x + 1)$
Sonuç: $6xa(2x+1)$
9. Aşağıdaki eşitliklerde boş bırakılan yerleri tamamlayınız.
a) $x^2 – 9 = (x – _____) cdot (x + 3)$
Bu bir iki kare farkı özdeşliğidir. $x^2 – 9 = x^2 – 3^2$.
Yani $(x-3)(x+3)$ olmalı. Boşluğa 3 gelmeli.
Sonuç: $x^2 – 9 = (x – 3) cdot (x + 3)$
b) $36x^2 – _____ = (6x + 5) cdot (6x – 5)$
Bu da iki kare farkı özdeşliğidir. $(6x+5)(6x-5) = (6x)^2 – 5^2 = 36x^2 – 25$.
Yani boşluğa 25 gelmeli.
Sonuç: $36x^2 – 25 = (6x + 5) cdot (6x – 5)$
c) $_____ – _____ = (2x + 3y) cdot (2x – 3y)$
Bu da iki kare farkı özdeşliğidir. $(2x+3y)(2x-3y) = (2x)^2 – (3y)^2 = 4x^2 – 9y^2$.
Yani boşluklara $4x^2$ ve $9y^2$ gelmeli.
Sonuç: $4x^2 – 9y^2 = (2x + 3y) cdot (2x – 3y)$
ç) $16a^2 – 9b^2 = (_____ + _____) cdot (_____ – _____)$
Yine iki kare farkı. $16a^2 = (4a)^2$ ve $9b^2 = (3b)^2$.
Yani $(4a+3b)(4a-3b)$ olmalı. Boşluklara $4a, 3b, 4a, 3b$ gelmeli.
Sonuç: $16a^2 – 9b^2 = (4a + 3b) cdot (4a – 3b)$
10. $36x^2y^2 – 12xyz + z^2$ cebirsel ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Bu ifade tam kareye benziyor. $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ özdeşliğini kontrol edelim.
$a^2 = 36x^2y^2$ ise $a = 6xy$.
$b^2 = z^2$ ise $b = z$.
Ortadaki terim $2ab = 2 cdot (6xy) cdot z = 12xyz$. İşaret eksi olduğu için bu ifade $(6xy – z)^2$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Şimdi şıklara bakalım:
A) $12xz + 2y$: Bu bizim bulduğumuz çarpanlardan biri değil.
B) $6xy – z$: Evet, bu bizim bulduğumuz $(6xy – z)^2$’nin bir çarpanıdır.
C) $12xy – 3z$: Bu da değil.
D) $6xyz$: Bu da değil.
Sonuç: B) $6xy – z$
11. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) $x^2 – 8xy + 16y^2$
Bu da tam kare özdeşliğine benziyor. $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$.
$a^2 = x^2$ ise $a = x$.
$b^2 = 16y^2$ ise $b = 4y$.
Ortadaki terim $2ab = 2 cdot x cdot 4y = 8xy$. İşaret eksi olduğu için $(x-4y)^2$ şeklinde yazılır.
Sonuç: $(x-4y)^2$
b) $a^2 + 2ab + b^2$
Bu zaten tam kare özdeşliğinin açılmış halidir: $(a+b)^2$.
Sonuç: $(a+b)^2$
c) $4m^2 – 20mn + 25n^2$
Bu da tam kare özdeşliğine benziyor. $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$.
$a^2 = 4m^2$ ise $a = 2m$.
$b^2 = 25n^2$ ise $b = 5n$.
Ortadaki terim $2ab = 2 cdot (2m) cdot (5n) = 20mn$. İşaret eksi olduğu için $(2m-5n)^2$ şeklinde yazılır.
Sonuç: $(2m-5n)^2$
Umarım bu çözümlerimiz ve açıklamalarımız anlaşılır olmuştur. Hepinize başarılar dilerim!