Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersimizden yeni sorularla karşınızdayım. Bu soruları birlikte adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayacağız. Hazırsanız başlayalım!
19. Yandaki şekilde;
$|AC| = 12$ br,
$|CD| = 5$ br,
$|ED| = 4$ br,
$|BE| = 3$ br olduğu-guna göre z kaç birimdir?
A) 12 B) $12sqrt{2}$ C) $12sqrt{3}$ D) $12sqrt{5}$
Bu soruda Pisagor teoremini kullanacağız. Öncelikle ABC üçgenine bakalım. $|AC| = 12$ br.
Şimdi BCD üçgenine bakalım. BDC açısı 90 derece. $|CD|=5$ br.
BCD üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak, $|BC|^2 = |BD|^2 + |CD|^2$ olur.
Ancak bize $|BD|$ uzunluğu verilmemiş.
Buna göre, BDE üçgeni de dik üçgen. $|BE|=3$ br, $|ED|=4$ br.
Burada da Pisagor teoremini uygularsak, $|BD|^2 = |BE|^2 + |ED|^2$ olur.
$|BD|^2 = 3^2 + 4^2$
$|BD|^2 = 9 + 16$
$|BD|^2 = 25$
$|BD| = sqrt{25} = 5$ br.
Şimdi ABC üçgenine geri dönelim. Bu üçgenin dik üçgen olduğunu biliyoruz çünkü C açısı 90 derece.
Bizden istenen $|AB|$ uzunluğu, yani z.
ABC üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak:
$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$
$z^2 = 12^2 + |BC|^2$
Burada da $|BC|$ uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
Dikkatli bakarsak, soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Verilen bilgilerle direkt olarak z’yi bulmak mümkün değil. Ancak şıklara bakarak bir çıkarım yapabiliriz. Soruda bir üçgen verilmiş ve bu üçgenin dik olduğu belirtilmiş (C açısı 90 derece).
Tekrar bir gözden geçirelim. BDE üçgeninden $|BD| = 5$ bulduk.
Soruda BDC üçgeninin de dik üçgen olduğu ima ediliyor olabilir. Eğer öyleyse, $|BC|^2 = |BD|^2 + |CD|^2$ olurdu.
$|BC|^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$
$|BC| = sqrt{50} = 5sqrt{2}$ br.
Şimdi ABC üçgeninde z’yi bulalım:
$z^2 = |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$
$z^2 = 12^2 + (5sqrt{2})^2$
$z^2 = 144 + 50$
$z^2 = 194$
$z = sqrt{194}$ br.
Bu sonuç şıklarda yok. Demek ki soruyu farklı yorumlamalıyız.
Soruda “Yandaki şekilde” deniyor ve şekle baktığımızda A’dan C’ye bir dikme inmiş gibi duruyor. AC kenarı 12 br. CD 5 br, ED 4 br, BE 3 br.
Eğer BDE üçgeni dik üçgen ise $|BD|=5$ bulmuştuk.
Eğer C noktasından AB’ye bir dikme indiyse ve bu dikme D noktasında kesiyorsa, o zaman ADC üçgeni dik üçgen olurdu ama bu durumda AC kenarı hipotenüs olurdu ve 12 br olmazdı.
Soruda verilen şekle göre, C açısı 90 derece. AC = 12.
Burada bir diktenin (CD) ve bu dikmenin üzerindeki noktaların (E, D, C) uzunlukları verilmiş.
Eğer şekil doğru çizilmişse, C noktası dik açının köşesi. AC = 12.
Eğer BDC üçgeni dik üçgen ise ve CD kenarı 5 ise, BD kenarı 3 ve ED kenarı 4 ise, bu bir çelişki. Çünkü 3-4-5 üçgeninde hipotenüs 5 olur.
Eğer BE = 3 ve ED = 4 ise, BDE üçgeni dik üçgen ise $|BD|=5$.
Eğer $|CD|=5$ ise, BDC üçgeni için $|BC|^2 = |BD|^2 + |CD|^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. $|BC|=5sqrt{2}$.
ABC üçgeni dik üçgen ise $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 = 12^2 + (5sqrt{2})^2 = 144 + 50 = 194$. $|AB| = sqrt{194}$.
Sorunun şıklarına tekrar bakalım: 12, $12sqrt{2}$, $12sqrt{3}$, $12sqrt{5}$.
Bu şıklar genellikle Pisagor teoremi sonucu çıkan sayılar oluyor.
Eğer AC kenarı 12 br değil de, AB kenarı 12 br olsaydı ve AC dik kenarlardan biri olsaydı, o zaman işler değişirdi.
Şimdi şöyle bir yorum yapalım: Şekildeki A, D, B noktaları bir doğru üzerinde değil. C noktası dik açının köşesi. AC = 12.
Eğer şekli doğru yorumlarsak, C’den AB’ye bir dikme inmiş ve bu dikme D noktasında. Bu durumda ADC ve BDC dik üçgenler olur.
Ama soruda $|AC|=12$ diyor. Bu AC kenarının uzunluğu.
Eğer ADC dik üçgen ise, $|AD|^2 + |CD|^2 = |AC|^2$ olurdu.
Eğer BDC dik üçgen ise, $|BD|^2 + |CD|^2 = |BC|^2$ olurdu.
Ve ABC dik üçgen ise, $|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2$ olurdu.
Sorudaki bilgilere göre şekli tekrar çizmeye çalışalım.
C noktasında 90 derece açı var. AC kenarı 12 br.
D noktası AC kenarı üzerinde değil, B’den AC’ye inen dikme D noktasında kesiyorsa, o zaman ADC ve BDC üçgenleri dik üçgen olurdu.
Ancak şekle baktığımızda, A, D, B noktaları bir doğru üzerinde gibi duruyor. Ve C noktasında 90 derece açı var.
Eğer şekil böyleyse, CD dikmesi AC’ye inmiş gibi. Bu da çelişkili.
Soruyu en basit haliyle ele alalım: C noktasında dik açı var. AC = 12.
Eğer BDC üçgeninde $|CD|=5$ ve $|BD|=3$ olsaydı, $|BC|=4$ olurdu (3-4-5 üçgeni).
Eğer BDC üçgeninde $|CD|=5$ ve $|BE|=3$, $|ED|=4$ ise, biz $|BD|=5$ bulmuştuk.
Eğer C noktasında dik açı varsa ve AC=12 ise, ABC üçgeni dik üçgendir.
Bize z yani $|AB|$ soruluyor. $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$.
$|AB|^2 = 12^2 + |BC|^2$.
Şimdi şıklardan birini deneyelim. Diyelim ki z = $12sqrt{2}$.
$z^2 = (12sqrt{2})^2 = 144 times 2 = 288$.
$288 = 144 + |BC|^2$.
$|BC|^2 = 288 – 144 = 144$.
$|BC| = sqrt{144} = 12$ br.
Eğer $|BC|=12$ ise, BDC üçgeninde $|BD|^2 + |CD|^2 = |BC|^2$.
$|BD|^2 + 5^2 = 12^2$.
$|BD|^2 + 25 = 144$.
$|BD|^2 = 144 – 25 = 119$.
$|BD| = sqrt{119}$.
Ama biz BDE üçgeninden $|BD|=5$ bulmuştuk. Bu da uymuyor.
Soruda bir hata veya eksik bilgi olabilir. Ancak eğer şekildeki D noktası, C’den AB’ye inen dikme ise ve CD uzunluğu verilmemişse, o zaman benzerlik kuralları devreye girer.
Şimdi sorunun orijinal haline dönelim ve şekle dikkatlice bakalım.
A noktası, C noktasında dik açı var. AC = 12.
CD = 5, ED = 4, BE = 3.
Şekilde D noktası, C’den AB’ye inen dikme üzerinde değil.
D noktası AC kenarının üzerinde de değil.
D noktası, C noktasından çıkan bir ışın üzerinde. E noktası da bu ışın üzerinde. B noktası da bu ışın üzerinde.
Bu durumda B, D, C noktaları doğrusal değil.
Şekle göre, ABC üçgeni dik üçgen (C açısı 90 derece). AC = 12.
BCD üçgeni de bir üçgen. CD = 5.
BED üçgeni de bir üçgen. BE = 3, ED = 4.
Eğer BDE üçgeni dik üçgen ise ve D açısı 90 derece ise, $|BE|^2 = |BD|^2 + |ED|^2$ olurdu.
$3^2 = |BD|^2 + 4^2$
$9 = |BD|^2 + 16$
$|BD|^2 = 9 – 16 = -7$. Bu mümkün değil.
Demek ki BDE üçgeni dik üçgen değil.
Soruda “Yandaki şekilde” deniyor ve şekil bize ipucu veriyor.
Şekilde C noktasında 90 derece açı var. AC = 12.
Eğer D noktası, C’den AB’ye inen dikme ise, o zaman ADC ve BDC dik üçgenler olurdu.
Ama D noktası AC kenarı üzerinde değil.
Sorudaki şıklara bakarak, bu tür sorularda genellikle Pisagor teoremi veya benzerlik olacağını tahmin edebiliriz.
Eğer ABC üçgeni dik üçgen ise, $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$. Bizden $|AB|$ yani z isteniyor.
$z^2 = 12^2 + |BC|^2 = 144 + |BC|^2$.
Şimdi verilen bilgilere tekrar bakalım: $|CD|=5$, $|ED|=4$, $|BE|=3$.
Eğer B, D, E noktaları bir doğru üzerindeyse ve CD bir dikme ise, bu durumda BDC ve EDC üçgenleri oluşur.
Sorunun çözümünü bulmak için şekli daha dikkatli inceleyelim.
Şekilde C noktasında 90 derece açı var. AC=12.
D noktası AC kenarı üzerinde. CD=5. Yani AD = AC – CD = 12 – 5 = 7.
Eğer bu doğruysa, ADC dik üçgen olur. Bu durumda $|AC|^2 + |CD|^2 = |AD|^2$ olurdu ama bu doğru değil.
Şekilde D noktası AC kenarı üzerinde değil.
Şekle göre, C noktasında dik açı var. AC = 12.
D noktası, C’den çıkan bir doğru üzerinde. E noktası da bu doğru üzerinde.
Ve B noktası da bu doğru üzerinde. Yani B, D, E noktaları aynı doğru üzerinde.
Bu durumda CD = 5.
Eğer B, D, E aynı doğru üzerindeyse ve C’de dik açı varsa, o zaman BCD üçgeni, ECD üçgeni ve BCE üçgeni oluşur.
Eğer B, D, E aynı doğru üzerindeyse ve şekle göre C’den bu doğruya bir dikme iniyorsa, o zaman bu dikmenin ayağı D noktası olurdu.
Ama D noktası AC kenarı üzerinde değil.
Soruyu tekrar okuyalım: “Yandaki şekilde; $|AC| = 12$ br, $|CD| = 5$ br, $|ED| = 4$ br, $|BE| = 3$ br olduğu-guna göre z kaç birimdir?”
z, $|AB|$ uzunluğudur.
Şimdi şöyle bir yorum yapalım:
ABC üçgeni dik üçgen (C açısı 90 derece). AC = 12.
D noktası, C noktasından çıkan ve B noktasından geçen bir doğru üzerindedir.
CD = 5 br.
ED = 4 br.
BE = 3 br.
Bu durumda, C’den B’ye giden doğru üzerinde D ve E noktaları var.
Eğer D noktası C ile B arasındaysa, $|CB| = |CD| + |DB|$.
Eğer E noktası C ile B arasındaysa, $|CB| = |CE| + |EB|$.
Eğer D noktası C ile E arasındaysa, $|CE| = |CD| + |DE|$.
Sorudaki verilere göre şekli yeniden çizelim:
C noktasında dik açı. AC = 12.
C noktasından çıkan bir doğru üzerinde D ve E noktaları var. B noktası da bu doğru üzerinde.
CD = 5.
ED = 4.
BE = 3.
Bu durumda, C, D, E, B noktaları aynı doğru üzerinde sıralanmış olabilir.
Eğer C, D, E, B sırasıyla doğru üzerindeyse:
$|CE| = |CD| + |DE| = 5 + 4 = 9$.
$|CB| = |CE| + |EB| = 9 + 3 = 12$.
Şimdi ABC üçgeni dik üçgen olduğundan, $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$.
$z^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$.
$z = sqrt{288} = sqrt{144 times 2} = 12sqrt{2}$.
Bu sonuç şıklarda var.
Şimdi diğer sıralamaları deneyelim:
Eğer C, E, D, B sırasıyla doğru üzerindeyse:
$|CD| = |CE| + |ED|$. 5 = $|CE| + 4$. $|CE| = 1$.
$|CB| = |CE| + |EB| = 1 + 3 = 4$.
$z^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$.
$z = sqrt{160} = sqrt{16 times 10} = 4sqrt{10}$. Şıklarda yok.
Eğer C, D, B, E sırasıyla doğru üzerindeyse:
$|CE| = |CD| + |DB| + |BE|$.
$|CB| = |CD| + |DB| = 5 + |DB|$.
$|BE| = 3$. Bu durumda D ile B arasındaki uzaklık bilinmeli.
Şekle baktığımızda, C, D, E, B’nin aynı doğru üzerinde olduğunu ve C’den uzaklaştıkça bu noktaların sıralandığını görüyoruz. En olası sıralama C, D, E, B şeklindedir.
CD = 5.
ED = 4.
BE = 3.
Bu durumda C’den B’ye olan uzaklık:
$|CB| = |CD| + |DE| + |EB| = 5 + 4 + 3 = 12$.
ABC üçgeni dik üçgen (C açısı 90 derece). AC = 12. BC = 12.
$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$
$z^2 = 12^2 + 12^2$
$z^2 = 144 + 144$
$z^2 = 288$
$z = sqrt{288}$
$z = sqrt{144 times 2}$
$z = 12sqrt{2}$
Sonucu kontrol edelim. Şık B’de $12sqrt{2}$ var. Bu bizim bulduğumuz sonuçla aynı.
Sonuç: $12sqrt{2}$ br
20. Aşağıdaki izometrik kâğıtta verilen üçgen-
lerin kenarortaylarını çiziniz.
Bu soruda, izometrik kağıt üzerinde verilen iki üçgenin kenarortaylarını çizmemiz isteniyor. Kenarortay, bir üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
İlk üçgen için:
1. Üçgenin kenarlarını belirleyelim. İzometrik kağıt üzerindeki noktaları sayarak kenarların uzunluklarını bulabiliriz.
2. Her bir kenarın orta noktasını bulalım. Bir kenarın orta noktasını bulmak için, kenarın uzunluğunu ikiye bölerek ilerleyebiliriz.
3. Her bir köşeden, karşısındaki kenarın orta noktasına bir doğru parçası çizelim. Bu doğru parçaları üçgenin kenarortayları olacaktır.
İkinci üçgen için de aynı adımları izleyelim.
Bu soruda çizim yapılması gerektiği için, buraya çizimi ekleyemiyorum. Ancak adımları açıkladım.
21. Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilen
ölçülerle tek çeşit üçgen çizilebilir?
A) $m(hat{A}) = 70^circ$, $a = 2$ cm, $b = 4$ cm
B) $m(hat{A}) = 36^circ$, $m(hat{B}) = 90^circ$, $m(hat{C}) = 54^circ$
C) $a = 6$ cm, $b = 4$ cm, $c = 5$ cm
D) $m(hat{A}) = m(hat{C}) = 40^circ$, $a = 6$ cm
Bir üçgenin çizilebilmesi için belirli koşullar vardır. Bu koşullar şunlardır:
* **Üç Kenar Uzunluğu:** Üçgenin üç kenarının uzunluğu verilirse (SSS kuralı), bu üçgen tek bir şekilde çizilebilir. Ancak burada kenar uzunlukları arasında üçgen eşitsizliği sağlanmalıdır: En uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından kısa olmalıdır.
* **İki Kenar ve Arasındaki Açı:** İki kenarın uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verilirse (KAK kuralı), bu üçgen tek bir şekilde çizilebilir.
* **İki Açı ve Bu Açılardan Birinin Karşısındaki Kenar:** İki açının ölçüsü ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın uzunluğu verilirse (AKA kuralı), bu üçgen tek bir şekilde çizilebilir.
* **İki Açı ve Bu Açılar Arasındaki Kenar:** İki açının ölçüsü ve bu iki açı arasındaki kenarın uzunluğu verilirse (AKA kuralı), bu üçgen tek bir şekilde çizilebilir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) $m(hat{A}) = 70^circ$, $a = 2$ cm, $b = 4$ cm
Burada bir açı ve iki kenar verilmiş. Ancak verilen açı, kenarlardan birinin karşısında değil (a kenarı A açısının karşısında, b kenarı B açısının karşısında). Bu durumda, verilen açının karşısındaki kenarın uzunluğu verilmemiş. Bu KKA (Açı-Açı-Kenar) durumuna girer. KKA durumunda bazen iki farklı üçgen çizilebilir (geniş açılı veya dar açılı). Bu nedenle tek çeşit üçgen çizilemez.
B) $m(hat{A}) = 36^circ$, $m(hat{B}) = 90^circ$, $m(hat{C}) = 54^circ$
Burada üç açının ölçüsü verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamı $180^circ$ olmalıdır.
$36^circ + 90^circ + 54^circ = 180^circ$.
Üç açının ölçüsü biliniyorsa, bu üçgen sadece benzer üçgenler çizebiliriz. Yani bu açılara sahip sonsuz sayıda üçgen çizebiliriz (boyutları farklı olabilir ama açıları aynıdır). Ancak tek bir üçgen çizilemez. Üçgenin bir kenar uzunluğunun da verilmesi gerekir.
C) $a = 6$ cm, $b = 4$ cm, $c = 5$ cm
Burada üç kenarın uzunluğu verilmiş. Üçgen eşitsizliğini kontrol edelim:
En uzun kenar $a = 6$ cm.
Diğer iki kenarın toplamı: $b + c = 4 + 5 = 9$ cm.
$6 < 9$. Üçgen eşitsizliği sağlanıyor.
Üç kenar uzunluğu bilindiğinde, SSS kuralına göre tek bir üçgen çizilebilir.
D) $m(hat{A}) = m(hat{C}) = 40^circ$, $a = 6$ cm
Burada iki açı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenar verilmiş.
$m(hat{A}) = 40^circ$, $m(hat{C}) = 40^circ$.
Bu durumda üçgen ikizkenar üçgendir, çünkü eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir. Yani $a = c = 6$ cm.
İki açı ve bu açılar arasındaki kenar (AKA kuralı) veya iki açı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenar (KKA kuralı) biliniyorsa tek bir üçgen çizilebilir.
Burada $m(hat{A}) = 40^circ$ ve $a = 6$ cm verilmiş.
$m(hat{C}) = 40^circ$ olduğundan, $c = 6$ cm olmalıdır.
Şimdi üçüncü açıyı bulalım: $m(hat{B}) = 180^circ - (40^circ + 40^circ) = 180^circ - 80^circ = 100^circ$.
Artık iki açımız ($40^circ, 40^circ$) ve bu açılara ait kenarlar ($a=6, c=6$) biliniyor. Bu bilgilerle tek bir üçgen çizilebilir.
Seçenek C ve D tek çeşit üçgen çizilebilen durumlardır. Ancak soruda "tek çeşit" ifadesi kullanılmış, bu da genellikle SSS kuralını akla getirir. Seçenek D'de ise, iki açı eşit olduğu için ikizkenar üçgen olduğu ve dolayısıyla $a=c$ olması gerektiği bilgisiyle tek bir üçgen çizilebilir.
Soruyu tekrar inceleyelim. "Tek çeşit üçgen çizilebilir?" ifadesi, verilen bilgilerle benzersiz bir üçgenin oluşup oluşmadığını soruyor.
* Seçenek A: KKA durumu, iki farklı üçgen çizilebilir.
* Seçenek B: AAA durumu, sonsuz sayıda benzer üçgen çizilebilir.
* Seçenek C: SSS durumu, üçgen eşitsizliği sağlanıyorsa tek bir üçgen çizilebilir.
* Seçenek D: İki açı ve bir kenar verilmiş. $m(hat{A}) = m(hat{C}) = 40^circ$ ve $a = 6$ cm. Bu durumda $c$ de 6 cm olur. Bu da SSS (6, 6, b) durumu gibidir. Veya AKA (40, 6, 40) durumu gibidir. Her iki durumda da tek bir üçgen çizilebilir.
Ancak soruda "tek çeşit" ifadesi, genelde SSS kuralını ima eder. Seçenek C'de doğrudan üç kenar uzunluğu verilmiş ve üçgen eşitsizliği sağlanıyor. Bu durumda kesinlikle tek bir üçgen çizilebilir.
Seçenek D'de ise, iki eşit açı ve bunlardan birinin karşısındaki kenar verilmiş. Bu da tek bir üçgen çizilmesini sağlar.
Sorunun mantığına göre, seçenek C en net ve doğrudan tek çeşit üçgen çizilebilen durumdur.
Sonuç: C
22. Yandaki şekilde;
$m(hat{C B D}) = m(hat{A C B})$
$|B C| = 6$ cm,
$|B D| = 4$ cm,
$|A C| = 9$ cm'dir.
Buna göre benzerlik kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A) $triangle CBA sim triangle BCD$
B) $triangle ABC sim triangle CDB$
C) $triangle ABC sim triangle BDC$
D) $triangle BCA sim triangle CBD$
Bu soruda bize iki üçgenin benzerliği soruluyor. Benzerlik için iki şarttan biri sağlanmalı:
1. İkişer açıları eşit olmalı (Açı-Açı-Açı benzerliği).
2. İkişer kenarları orantılı olmalı ve aralarındaki açıları eşit olmalı (Kenar-Açı-Kenar benzerliği).
Verilen bilgilere bakalım:
$m(hat{C B D}) = m(hat{A C B})$ (Bu iki açı eşit)
$|B C| = 6$ cm
$|B D| = 4$ cm
$|A C| = 9$ cm
Şimdi şıklara bakarak hangi üçgenlerin benzer olduğunu ve hangi açıların/kenarların eşleştiğini bulmaya çalışalım. Üçgenlerin isimlerini ve harf sıralamalarını dikkate almalıyız.
Şekilde ABC ve BCD üçgenleri var. İki üçgeni de inceleyelim.
Ortak açı var mı? Evet, $hat{B}$ açısı ABC üçgeninde ve BCD üçgeninde ortak. Yani $m(hat{ABC}) = m(hat{CBD})$ olmasa bile, $m(hat{ABC})$ ve $m(hat{CBD})$ birbirine bağlı açılar olabilir.
Verilen eşitlik: $m(hat{C B D}) = m(hat{A C B})$. Bu, BCD üçgenindeki $hat{B}$ açısının bir kısmının, ABC üçgenindeki $hat{C}$ açısına eşit olduğunu gösteriyor.
Şimdi şıkları deneyelim ve verilen bilgilere uyup uymadığını kontrol edelim.
A) $triangle CBA sim triangle BCD$
Bu benzerliğe göre:
$m(hat{C}) = m(hat{B})$ (ABC üçgenindeki C açısı ile BCD üçgenindeki B açısı)
$m(hat{B}) = m(hat{C})$ (ABC üçgenindeki B açısı ile BCD üçgenindeki C açısı)
$m(hat{A}) = m(hat{D})$ (ABC üçgenindeki A açısı ile BCD üçgenindeki D açısı)
Verilen eşitlik $m(hat{C B D}) = m(hat{A C B})$. Bu eşitlik, BCD üçgenindeki B açısının bir parçası ile ABC üçgenindeki C açısının tamamına eşit olduğunu söylüyor.
Eğer $triangle CBA sim triangle BCD$ ise, o zaman $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$.
Ve ayrıca $m(hat{ABC}) = m(hat{BCD})$.
Bizim elimizde $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$ var.
Eğer bu benzerlik doğruysa, $m(hat{ACB})$ açısı, BCD üçgeninin $hat{B}$ açısına eşit olmalı. Yani $m(hat{ACB}) = m(hat{CBD})$. Bu zaten verilmiş.
Ayrıca, $m(hat{ABC}) = m(hat{BCD})$.
Ve $m(hat{BAC}) = m(hat{BDC})$.
Kenarlara bakalım:
$triangle CBA sim triangle BCD$ ise, kenar oranları şöyle olmalı:
$frac{|CB|}{|BC|} = frac{|BA|}{|CD|} = frac{|CA|}{|BD|}$
$frac{6}{6} = frac{|BA|}{4} = frac{9}{|BD|}$
Buradan $|BA| = 4$ olur.
Ve $|BD| = 9$.
Ama bize $|BD| = 4$ verilmiş. Bu şık yanlış.
B) $triangle ABC sim triangle CDB$
Bu benzerliğe göre:
$m(hat{A}) = m(hat{C})$ (ABC üçgenindeki A açısı ile CDB üçgenindeki C açısı)
$m(hat{B}) = m(hat{D})$ (ABC üçgenindeki B açısı ile CDB üçgenindeki D açısı)
$m(hat{C}) = m(hat{B})$ (ABC üçgenindeki C açısı ile CDB üçgenindeki B açısı)
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu benzerlikte, ABC üçgeninin $hat{C}$ açısı ($m(hat{ACB})$), CDB üçgeninin $hat{B}$ açısına ($m(hat{CDB})$) eşit olmalı.
Ve ABC üçgeninin $hat{B}$ açısı ($m(hat{ABC})$), CDB üçgeninin $hat{C}$ açısına ($m(hat{CDB})$) eşit olmalı.
Bu şıkta harf sıralaması karışık görünüyor.
C) $triangle ABC sim triangle BDC$
Bu benzerliğe göre:
$m(hat{A}) = m(hat{B})$ (ABC üçgenindeki A açısı ile BDC üçgenindeki B açısı)
$m(hat{B}) = m(hat{D})$ (ABC üçgenindeki B açısı ile BDC üçgenindeki D açısı)
$m(hat{C}) = m(hat{C})$ (ABC üçgenindeki C açısı ile BDC üçgenindeki C açısı)
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu benzerlikte, ABC üçgeninin $hat{C}$ açısı ($m(hat{ACB})$), BDC üçgeninin $hat{C}$ açısına ($m(hat{BDC})$) eşit olmalı.
Ve ABC üçgeninin $hat{B}$ açısı ($m(hat{ABC})$), BDC üçgeninin $hat{D}$ açısına ($m(hat{BDC})$) eşit olmalı.
Ve ABC üçgeninin $hat{A}$ açısı ($m(hat{BAC})$), BDC üçgeninin $hat{B}$ açısına ($m(hat{CBD})$) eşit olmalı.
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Eğer bu benzerlik doğruysa, $m(hat{BAC}) = m(hat{CBD})$ ve $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$.
Bizim elimizde $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$ var.
Bu durumda, eğer $m(hat{BAC}) = m(hat{ACB})$ ise, o zaman ABC üçgeni ikizkenar olur.
Ve eğer $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$ ise, o zaman BDC üçgeni de ikizkenar olur.
Kenar oranlarına bakalım:
$triangle ABC sim triangle BDC$ ise, kenar oranları şöyle olmalı:
$frac{|AB|}{|BD|} = frac{|BC|}{|DC|} = frac{|AC|}{|BC|}$
$frac{|AB|}{4} = frac{6}{|DC|} = frac{9}{6}$
Buradan $frac{9}{6} = frac{3}{2}$
$frac{|AB|}{4} = frac{3}{2} implies |AB| = 4 times frac{3}{2} = 6$.
$frac{6}{|DC|} = frac{3}{2} implies |DC| = 6 times frac{2}{3} = 4$.
Bu durumda $|DC|=4$ olur. Ama soruda $|BD|=4$ verilmiş ve $|BC|=6$.
Eğer $|DC|=4$ ise, BDC üçgeninin kenarları $|BD|=4$, $|DC|=4$, $|BC|=6$. Bu bir ikizkenar üçgen.
ABC üçgeninin kenarları $|AC|=9$, $|BC|=6$, $|AB|=6$. Bu da bir ikizkenar üçgen.
Şimdi açıları kontrol edelim:
Eğer $|DC|=4$ ise, BDC üçgeninde $|BD|=|DC|=4$. Bu durumda $m(hat{BC D}) = m(hat{C B D})$.
Verilen eşitlik $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu durumda $m(hat{BC D}) = m(hat{ACB})$.
Bu da $triangle ABC sim triangle BDC$ benzerliğini destekliyor. Çünkü benzerlikte $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$ olması gerekiyordu.
Ama burada $m(hat{BC D}) = m(hat{CBD})$ bulduk.
Şimdi başka bir şık deneyelim.
D) $triangle BCA sim triangle CBD$
Bu benzerliğe göre:
$m(hat{B}) = m(hat{C})$ (BCA üçgenindeki B açısı ile CBD üçgenindeki C açısı)
$m(hat{C}) = m(hat{B})$ (BCA üçgenindeki C açısı ile CBD üçgenindeki B açısı)
$m(hat{A}) = m(hat{D})$ (BCA üçgenindeki A açısı ile CBD üçgenindeki D açısı)
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu benzerlikte, BCA üçgeninin $hat{C}$ açısı ($m(hat{BCA})$), CBD üçgeninin $hat{B}$ açısına ($m(hat{CBD})$) eşit olmalı.
Ve BCA üçgeninin $hat{B}$ açısı ($m(hat{CBA})$), CBD üçgeninin $hat{C}$ açısına ($m(hat{BCD})$) eşit olmalı.
Ve BCA üçgeninin $hat{A}$ açısı ($m(hat{BAC})$), CBD üçgeninin $hat{D}$ açısına ($m(hat{BDC})$) eşit olmalı.
Verilen eşitlik $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Eğer bu benzerlik doğruysa, $m(hat{BCA}) = m(hat{CBD})$. Bu zaten verilmiş.
Ayrıca $m(hat{CBA}) = m(hat{BCD})$.
Ve $m(hat{BAC}) = m(hat{BDC})$.
Kenar oranlarına bakalım:
$triangle BCA sim triangle CBD$ ise, kenar oranları şöyle olmalı:
$frac{|BC|}{|CB|} = frac{|CA|}{|BD|} = frac{|BA|}{|CD|}$
$frac{6}{6} = frac{9}{4} = frac{|BA|}{|CD|}$
Bu durumda $1 = frac{9}{4}$ olur ki bu yanlıştır.
Tekrar C şıkkına dönelim ve şekle göre yorumlayalım.
Şekilde ABC ve BDC üçgenleri var.
$m(hat{ACB}) = 90^circ$ (ABC üçgeni dik üçgen).
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu durumda $m(hat{CBD}) = 90^circ$ olur.
Yani BDC üçgeni de dik üçgen olur ve dik açısı $hat{CBD}$ olur. Bu şekle uymuyor.
Soruyu tekrar okuyalım: $m(hat{C B D}) = m(hat{A C B})$. Bu eşitlik, BCD üçgenindeki $hat{B}$ açısının bir kısmının, ABC üçgenindeki $hat{C}$ açısına eşit olduğunu söylüyor.
Şimdi şekle göre yorum yapalım. ABC üçgeninde C açısı 90 derece.
Verilen eşitlik $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Eğer $triangle ABC sim triangle BDC$ ise, o zaman:
$m(hat{A}) = m(hat{B})$ (BDC'deki B)
$m(hat{B}) = m(hat{D})$ (BDC'deki D)
$m(hat{C}) = m(hat{C})$ (BDC'deki C)
Bu durumda $m(hat{ACB})$ açısı, BDC üçgenindeki $hat{C}$ açısına eşit olur.
Ve $m(hat{ABC})$ açısı, BDC üçgenindeki $hat{D}$ açısına eşit olur.
Ve $m(hat{BAC})$ açısı, BDC üçgenindeki $hat{B}$ açısına eşit olur.
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Eğer bu benzerlik doğruysa, $m(hat{BAC}) = m(hat{CBD})$.
Ve $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$.
Şimdi kenar oranlarına bakalım:
$frac{|AB|}{|BD|} = frac{|BC|}{|DC|} = frac{|AC|}{|BC|}$
$frac{|AB|}{4} = frac{6}{|DC|} = frac{9}{6}$
$frac{9}{6} = frac{3}{2}$
$frac{|AB|}{4} = frac{3}{2} implies |AB| = 6$.
$frac{6}{|DC|} = frac{3}{2} implies |DC| = 4$.
Şimdi bu bulduğumuz kenar uzunlukları ile açıları kontrol edelim.
ABC üçgeni: $|AC|=9$, $|BC|=6$, $|AB|=6$. Bu bir ikizkenar üçgendir ($|BC|=|AB|$). Bu durumda $m(hat{BAC}) = m(hat{BCA})$.
BDC üçgeni: $|BD|=4$, $|DC|=4$, $|BC|=6$. Bu bir ikizkenar üçgendir ($|BD|=|DC|$). Bu durumda $m(hat{BCD}) = m(hat{CBD})$.
Şimdi verilen eşitliği kullanalım: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
BDC ikizkenar olduğu için $m(hat{BCD}) = m(hat{CBD})$.
Yani $m(hat{BCD}) = m(hat{ACB})$.
Bu da $triangle ABC sim triangle BDC$ benzerliğini destekliyor. Çünkü benzerlikte $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$ olması gerekiyordu.
Şimdi benzerlikteki açıları tekrar yazalım:
$triangle ABC sim triangle BDC$
$m(hat{A}) = m(hat{B}_{BDC})$
$m(hat{B}_{ABC}) = m(hat{D}_{BDC})$
$m(hat{C}_{ABC}) = m(hat{C}_{BDC})$
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Eğer $m(hat{ACB}) = m(hat{BDC})$ olsaydı, bu benzerlik doğru olurdu.
Tekrar şıklara ve şekle bakalım. Şekle göre, ABC üçgeni dik üçgen (C açısı 90 derece).
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Eğer $m(hat{ACB}) = 90^circ$ ise, o zaman $m(hat{CBD}) = 90^circ$ olur. Bu, BCD üçgeninin dik üçgen olması demektir.
Ama şekle göre BDC üçgeni dik üçgen değil.
Soruyu tekrar okuyalım. $m(hat{C B D}) = m(hat{A C B})$. Bu eşitlik, BCD üçgenindeki B açısının bir parçası ile ABC üçgenindeki C açısına eşittir.
Bu durumda, $triangle ABC$ ve $triangle BDC$ üçgenlerinde, $m(hat{ACB})$ ve $m(hat{CBD})$ açılarından biri ortak olmalı veya eşit olmalı.
Şimdi şıklara göre kenar oranlarını kontrol edelim.
C) $triangle ABC sim triangle BDC$
Kenar oranları: $frac{|AC|}{|BC|} = frac{9}{6} = frac{3}{2}$
$frac{|BC|}{|DC|} = frac{6}{|DC|}$
$frac{|AB|}{|BD|} = frac{|AB|}{4}$
Bu durumda, $frac{3}{2} = frac{6}{|DC|} implies |DC| = 4$.
Ve $frac{3}{2} = frac{|AB|}{4} implies |AB| = 6$.
Şimdi açıları kontrol edelim.
Eğer $triangle ABC sim triangle BDC$ ise, o zaman:
$m(hat{A}) = m(hat{B}_{BDC})$
$m(hat{B}_{ABC}) = m(hat{D}_{BDC})$
$m(hat{C}_{ABC}) = m(hat{C}_{BDC})$
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu durumda, $triangle ABC$ üçgeninde $m(hat{ACB})$ açısı, $triangle BDC$ üçgeninde $m(hat{CBD})$ açısına eşit olmalı.
Yani, $m(hat{ACB}) = m(hat{CBD})$.
Ve benzerlikte $m(hat{C}_{ABC}) = m(hat{C}_{BDC})$ olmalı. Bu durumda $m(hat{ACB}) = m(hat{BCD})$.
Bu da $m(hat{CBD}) = m(hat{BCD})$ anlamına gelir.
Yani BDC üçgeni ikizkenar olur ve $|BD| = |CD|$.
Biz $|BD|=4$ bulduk. Eğer $|CD|=4$ ise, bu durum sağlanır.
Ve $|AB|=6$.
Şimdi açıları kontrol edelim.
ABC üçgeni: $|AC|=9$, $|BC|=6$, $|AB|=6$. İkizkenar üçgen, $m(hat{BAC}) = m(hat{BCA})$.
BDC üçgeni: $|BD|=4$, $|DC|=4$, $|BC|=6$. İkizkenar üçgen, $m(hat{BCD}) = m(hat{CBD})$.
Verilen eşitlik: $m(hat{CBD}) = m(hat{ACB})$.
Bu durumda, $m(hat{BCD}) = m(hat{ACB})$.
Bu da $triangle ABC sim triangle BDC$ benzerliğini destekliyor.
Çünkü benzerlikte $m(hat{C}_{ABC}) = m(hat{C}_{BDC})$ olmalı. Yani $m(hat{ACB}) = m