Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle 8. sınıfın önemli konularından biri olan **Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler** konusundaki bu çalışma sayfasını inceleyeceğiz. Görseldeki sorular, cebirsel ifadelerde çarpma işlemini ve bu işlemlerin geometrik modellerle (alan hesaplamasıyla) nasıl gösterildiğini anlaman için harika örnekler içeriyor.
Hiç endişelenme, adım adım ilerleyerek hepsini birlikte çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
1. Aşağıda verilen çarpma işlemlerini modelleyiniz.
Burada bizden istenen, verilen cebirsel ifadeleri “cebir karoları” veya alan modeli mantığıyla düşünmemizdir. Ben sana bu modellerin mantığını ve işlemin sonucunu anlatacağım.
- a) 2x(x – 3)
Burada dağılma özelliğini kullanacağız. Parantez dışındaki 2x terimini, içerideki her bir terimle tek tek çarpıyoruz.
Adım 1: 2x ile x’i çarpalım: 2x . x = 2x2
Adım 2: 2x ile -3’ü çarpalım: 2x . (-3) = -6x
Sonuç: 2x2 – 6x
(Modelleme Mantığı: Alanı 2x2 olan iki büyük kare ve alanı -x olan 6 tane dikdörtgen çubuğun yan yana gelmesi demektir.) - b) (x + 1) . (3x – 5)
İki parantezli ifadeyi çarparken, birinci parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle sırasıyla çarpmalıyız.
Adım 1: x ile 3x’i çarp: 3x2
Adım 2: x ile -5’i çarp: -5x
Adım 3: +1 ile 3x’i çarp: +3x
Adım 4: +1 ile -5’i çarp: -5
Şimdi benzer terimleri toplayalım (-5x ve +3x benzerdir):
Sonuç: 3x2 – 2x – 5 - c) –x(5 + 2x)
Dışarıdaki negatif terimi içeri dağıtacağız. İşaretlere çok dikkat etmelisin!
Adım 1: -x ile 5’i çarp: -5x
Adım 2: -x ile +2x’i çarp: -2x2
Sonuç: -2x2 – 5x
2. Aşağıdaki çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
Bu soruda doğrudan işlem yeteneğimizi konuşturacağız. Dağılma özelliğini kullanarak parantezleri açalım.
- a) (6 – x) . 5x
5x’i parantezin içine dağıtalım.
Adım 1: 5x . 6 = 30x
Adım 2: 5x . (-x) = -5x2
Sonuç: 30x – 5x2 - b) 9x . (2x – 3)
9x’i içeri dağıtalım.
Adım 1: 9x . 2x = 18x2
Adım 2: 9x . (-3) = -27x
Sonuç: 18x2 – 27x - c) (5x + 1) . (1 – x)
Sırayla çarpalım:
Adım 1: 5x . 1 = 5x
Adım 2: 5x . (-x) = -5x2
Adım 3: 1 . 1 = +1
Adım 4: 1 . (-x) = -x
Benzer terimleri (5x ve -x) düzenleyelim:
Sonuç: -5x2 + 4x + 1 - ç) (3 – 2x) . (x + 6)
Dikkatli bir şekilde dağıtalım:
Adım 1: 3 . x = 3x
Adım 2: 3 . 6 = +18
Adım 3: -2x . x = -2x2
Adım 4: -2x . 6 = -12x
Benzer terimleri (3x ve -12x) toplayalım:
Sonuç: -2x2 – 9x + 18
3. Aşağıda modellenen çarpma işlemlerinin cebirsel ifadesini ve sonucunu yazınız.
Bu bölüm çok eğlenceli! Burada bir dikdörtgenin alanını buluyoruz. Dikdörtgenin alanı = Kısa Kenar x Uzun Kenar formülüdür. Kenar uzunluklarını şekillerin kenarlarındaki x, 1 ve -1 ifadelerine bakarak bulacağız.
- a) Modeli
Şeklin sol tarafındaki dikey kenara bakalım: Bir tane x uzunluğu ve altında bir tane 1 var. Yani yükseklik: (x + 1).
Şeklin üst tarafındaki yatay kenara bakalım: İki tane x uzunluğu ve sağda pembe renkli (negatif) bir -1 var. Yani genişlik: (2x – 1).Cebirsel İfade:(x + 1) . (2x – 1)
Sonuç (İşlemi yapalım):
x . 2x = 2x2
x . (-1) = -x
1 . 2x = +2x
1 . (-1) = -1
Toplam: 2x2 + x – 1 - b) Modeli
Şeklin sol tarafına bakalım: Bir tane x var ve altında tam 10 tane küçük 1 birimlik şerit var (saydığımızda 10 tane +1 görüyoruz). Yani yükseklik: (x + 10).
Şeklin üst tarafına bakalım: Sadece bir tane x genişliği var. Yani genişlik: x.Cebirsel İfade:x . (x + 10)
Sonuç: x’i içeri dağıtırsak;
x2 + 10x - c) Modeli
Dikey Kenar (Sol): İki tane x ve bir tane 1 var. Yükseklik: (2x + 1).
Yatay Kenar (Üst): İki tane x ve iki tane pembe -1 var. Genişlik: (2x – 2).Cebirsel İfade:(2x + 1) . (2x – 2)
Sonuç:
2x . 2x = 4x2
2x . (-2) = -4x
1 . 2x = +2x
1 . (-2) = -2
Benzerleri toplayalım (-4x + 2x = -2x):
Cevap: 4x2 – 2x – 2 - ç) Modeli (Sol alttaki şekil)
Not: Resimde harflendirmede bir karışıklık olabilir, ben sol en alttaki büyük şekli çözüyorum.
Dikey Kenar: İki tane x ve alt kısımda üç tane pembe -1 var. Yükseklik: (2x – 3).
Yatay Kenar: İki tane x ve sağda iki tane pembe -1 var. Genişlik: (2x – 2).Cebirsel İfade:(2x – 3) . (2x – 2)
Sonuç:
2x . 2x = 4x2
2x . (-2) = -4x
-3 . 2x = -6x
-3 . (-2) = +6 (Eksi ile eksinin çarpımı artıdır, sağ alt köşedeki küçük karelerin mavi olduğuna dikkat et.)
Toplam: 4x2 – 10x + 6 - d) Modeli (Sağ alttaki şekil)
Dikey Kenar: Bir tane x ve üç tane mavi +1 var. Yükseklik: (x + 3).
Yatay Kenar: Bir tane x ve üç tane pembe -1 var. Genişlik: (x – 3).Cebirsel İfade:(x + 3) . (x – 3)
Bu ifade sana tanıdık geldi mi? Evet, bu “İki Kare Farkı” özdeşliğidir!Sonuç:
x . x = x2
x . (-3) = -3x
3 . x = +3x
3 . (-3) = -9
Ortadaki -3x ve +3x birbirini götürür (sıfırlar).
Cevap: x2 – 9
İşte bu kadar! Cebirsel ifadelerde modelleme yaparken alanları, işlem yaparken de işaretleri ve benzer terimleri unutmazsan hata yapmazsın. Başarılar dilerim!