Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte denklem çözme konusuna daha yakından bakacağız. Görseldeki soruları adım adım inceleyerek hem konu tekrarı yapacağız hem de soruların mantığını kavrayacağız. Hazırsanız başlayalım!
—
Sıra Sizde
Aşağıda verilen denklemleri sağlayan x değerlerini bulunuz.
a) $-6 + 2(3x – 7) = 4x – 5$
b) $5(x – 1) + 3(x – 3) = -2x + 7$
Bu sorular, denklemleri çözme becerimizi ölçmek için harika birer fırsat. Şimdi bu denklemleri birlikte çözelim.
Çözüm a)
Verilen denklem: $-6 + 2(3x – 7) = 4x – 5$
Adım 1: Parantez içindeki ifadeyi dağıtalım. $2$ sayısını parantez içindeki her bir terimle çarpacağız.
$-6 + (2 cdot 3x) – (2 cdot 7) = 4x – 5$
$-6 + 6x – 14 = 4x – 5$
Adım 2: Eşitliğin sol tarafındaki sabit terimleri toplayalım. $-6$ ve $-14$ sayılarını birleştireceğiz.
$6x + (-6 – 14) = 4x – 5$
$6x – 20 = 4x – 5$
Adım 3: $x$ ‘li terimleri eşitliğin bir tarafına, sabit terimleri ise diğer tarafına toplayalım. Bunun için $4x$’i eşitliğin sol tarafına, $-20$’yi ise sağ tarafına geçireceğiz. Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işaretini değiştirmeyi unutmayalım.
$6x – 4x = -5 + 20$
Adım 4: Benzer terimleri kendi aralarında toplayıp çıkaralım.
$2x = 15$
Adım 5: $x$’i yalnız bırakmak için her iki tarafı da $x$’in katsayısı olan $2$’ye bölelim.
$frac{2x}{2} = frac{15}{2}$
$x = frac{15}{2}$
Çözüm b)
Verilen denklem: $5(x – 1) + 3(x – 3) = -2x + 7$
Adım 1: Her iki taraftaki parantezleri dağıtalım.
$(5 cdot x) – (5 cdot 1) + (3 cdot x) – (3 cdot 3) = -2x + 7$
$5x – 5 + 3x – 9 = -2x + 7$
Adım 2: Eşitliğin sol tarafındaki $x$’li terimleri ve sabit terimleri kendi aralarında toplayalım.
$(5x + 3x) + (-5 – 9) = -2x + 7$
$8x – 14 = -2x + 7$
Adım 3: $x$’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. $-2x$’i sol tarafa, $-14$’ü sağ tarafa geçireceğiz. İşaretlerini değiştirmeyi unutmayalım.
$8x + 2x = 7 + 14$
Adım 4: Benzer terimleri toplayalım.
$10x = 21$
Adım 5: $x$’i yalnız bırakmak için her iki tarafı da $x$’in katsayısı olan $10$’a bölelim.
$frac{10x}{10} = frac{21}{10}$
$x = frac{21}{10}$
—
Etkinlik
Aşağıda $frac{x}{2} + frac{3x}{4} = frac{5}{8}$ denkleminin çözümü verilmiştir. İnceleyiniz.
Bu etkinlik, denklem çözme adımlarını daha iyi anlamamız için bize bir örnek sunuyor. Adımları dikkatlice takip edelim.
Denklem: $frac{x}{2} + frac{3x}{4} = frac{5}{8}$
Çözüm Adımları:
$frac{x}{2} + frac{3x}{4} = frac{5}{8}$
Bu ilk adımdır, denklemin kendisi.
$frac{x}{2} cdot (4) + frac{3x}{4} cdot (4) = frac{5}{8} cdot (4)$
Bu adımda, paydaları eşitlemek yerine, tüm denklemin her iki tarafı $4$ ile çarpılmıştır. Bu, kesirlerden kurtulmanın bir yoludur. Dikkat ederseniz, $2$ ve $4$’ün ortak katlarından biri olan $4$ ile çarpılmış.
$frac{4x}{8} + frac{12x}{8} = frac{20}{8}$
Bu adımda, ilk adımdaki çarpma işlemleri yapılmış ve paydalar eşitlenmiş gibi görünüyor. Aslında bu, paydaları eşitlemek için yapılan bir hazırlık adımıdır.
$frac{4x + 6x}{8} = frac{5}{8}$
Bu adımda, sol taraftaki paydaları eşit olan kesirler tek bir kesir altında toplanmış. Sağ taraftaki kesir ise sadeleştirilmiş gibi görünüyor. Bu kısım biraz kafa karıştırıcı olabilir, çünkü aslında sağ taraftaki $frac{20}{8}$’in sadeleşmiş hali $frac{5}{2}$ olmalıydı. Ancak verilen çözümde $frac{5}{8}$ olarak bırakılmış. Bu bir hata olabilir veya farklı bir işlem sırası izlenmiş olabilir. Biz devam edelim.
$8 cdot frac{10x}{8} = 8 cdot frac{5}{8}$
Bu adımda, eşitliğin her iki tarafı $8$ ile çarpılmış. Bu, sol taraftaki paydadaki $8$’den kurtulmak için yapılmış olabilir. Eğer bir önceki adımda sağ taraf $frac{5}{2}$ olsaydı, bu adımda $8$ ile çarpmak mantıklı olurdu. Ancak verilen haliyle devam edelim.
$10x = 5$
Bu adımda, $8$’ler sadeleşmiş ve $10x = 5$ denklemi elde edilmiş.
$frac{10x}{10} = frac{5}{10}$
Bu adımda, $x$’i yalnız bırakmak için her iki taraf $10$’a bölünmüş.
$x = frac{1}{2}$
Bu son adımda kesir sadeleştirilerek $x$’in değeri bulunmuş.
Çözüme göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
- Denklem çözümünde cebirsel ifadelerle yapılan işlemlerden nasıl yararlanılmıştır?
Cebirsel ifadelerle yapılan işlemler, bilinmeyenleri (burada $x$) içeren denklemleri daha basit hale getirmek ve $x$’in değerini bulmak için kullanılmıştır. Örneğin, parantezleri dağıtmak, benzer terimleri toplamak veya çıkarmak gibi işlemler denklemi basitleştirmeye yardımcı olmuştur.
- İlk adımda neden payda eşitlenmiştir?
Verilen örnekte ilk adımda aslında payda eşitlenmemiştir. İlk olarak denklemin her iki tarafı $4$ ile çarpılmıştır. Bu, kesirlerden kurtulmak ve işlemi kolaylaştırmak için yapılan bir yöntemdir. Payda eşitlemek de kesirli denklemleri çözmenin bir yoludur, ancak bu örnekte farklı bir yol izlenmiş.
- Çözümün 5. adımında eşitliğin her iki tarafı neden 8 ile çarpılmıştır?
5. adımda eşitliğin her iki tarafı $8$ ile çarpılmıştır çünkü sol tarafta $frac{10x}{8}$ şeklinde bir ifade vardı. Bu $8$’den kurtulmak ve $x$’li terimi yalnız bırakmak için her iki taraf $8$ ile çarpılmıştır. Bu işlem, denklemin sol tarafındaki $8$’in sadeleşmesini sağlamıştır.
- Çözümün 7. adımında eşitliğin her iki tarafı neden 10 ile bölünmüştür?
7. adımda eşitliğin her iki tarafı $10$ ile bölünmüştür çünkü 6. adımda elde edilen denklem $10x = 5$ idi. $x$’in değerini bulabilmek için $x$’in katsayısı olan $10$’dan kurtulmak gerekiyordu. Bu nedenle, eşitliğin her iki tarafı $10$’a bölünerek $x$ yalnız bırakılmıştır.
Sorulara verdiğiniz yanıtlardan yararlanarak katsayıları rasyonel olan denklemleri çözmek için bir yol geliştiriniz.
Öğrencilerim, bu adımları ve açıklamaları dikkatlice inceleyerek, katsayıları rasyonel olan denklemleri çözerken izlenebilecek genel bir yol haritası çizebiliriz. Bu yol haritası şu şekilde olabilir:
- Parantezleri Dağıtma: Denklemde parantez varsa, önce parantez içindeki ifadeleri parantez dışındaki sayıyla çarparak dağıtın.
- Benzer Terimleri Birleştirme: Eşitliğin her iki tarafındaki $x$’li terimleri kendi arasında ve sabit terimleri kendi arasında toplayıp çıkararak denklemi sadeleştirin.
- Kesirlerden Kurtulma: Denklemde kesirler varsa, tüm denklemin her iki tarafını, paydalardaki tüm sayıların en küçük ortak katı (EKOK) ile çarparak kesirlerden kurtulabilirsiniz.
- $x$’li Terimleri Bir Tarafa Toplama: $x$’li terimleri eşitliğin bir tarafına, sabit terimleri ise diğer tarafına toplayın. Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işaretini değiştirmeyi unutmayın.
- $x$’i Yalnız Bırakma: $x$’in katsayısı ile her iki tarafı da bölerek $x$’in değerini bulun.
—
2. Örnek
Aşağıda verilen denklemleri sağlayan x değerlerini bulalım.
a) $frac{2x}{3} – frac{x}{6} = frac{5}{2}$
b) $frac{x}{5} – 3 = frac{3x}{4} + 1$
Şimdi de bu örnekleri yukarıda geliştirdiğimiz yol haritasını kullanarak çözelim.
Çözüm a)
Verilen denklem: $frac{2x}{3} – frac{x}{6} = frac{5}{2}$
Adım 1: Paydaları eşitlemek için denklemin her iki tarafındaki kesirlerin paydalarının EKOK’unu bulalım. Paydalar $3$, $6$ ve $2$. Bu sayıların EKOK’u $6$’dır.
Adım 2: Denklemin her iki tarafını da $6$ ile çarpalım.
$6 cdot left(frac{2x}{3} – frac{x}{6}right) = 6 cdot frac{5}{2}$
Adım 3: Çarpma işlemini dağıtalım.
$left(6 cdot frac{2x}{3}right) – left(6 cdot frac{x}{6}right) = left(6 cdot frac{5}{2}right)$
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım.
$(2 cdot 2x) – (1 cdot x) = (3 cdot 5)$
$4x – x = 15$
Adım 5: Benzer terimleri birleştirelim.
$3x = 15$
Adım 6: $x$’i yalnız bırakmak için her iki tarafı $3$’e bölelim.
$frac{3x}{3} = frac{15}{3}$
$x = 5$
Çözüm b)
Verilen denklem: $frac{x}{5} – 3 = frac{3x}{4} + 1$
Adım 1: $x$’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. $-3$’ü sağ tarafa, $frac{3x}{4}$’ü sol tarafa geçireceğiz.
$frac{x}{5} – frac{3x}{4} = 1 + 3$
Adım 2: Sabit terimleri toplayalım.
$frac{x}{5} – frac{3x}{4} = 4$
Adım 3: Sol taraftaki kesirleri birleştirmek için paydaları eşitleyelim. $5$ ve $4$’ün EKOK’u $20$’dir.
$frac{x cdot 4}{5 cdot 4} – frac{3x cdot 5}{4 cdot 5} = 4$
$frac{4x}{20} – frac{15x}{20} = 4$
Adım 4: Kesirleri birleştirelim.
$frac{4x – 15x}{20} = 4$
$frac{-11x}{20} = 4$
Adım 5: $x$’i yalnız bırakmak için her iki tarafı $20$ ile çarpalım.
$20 cdot left(frac{-11x}{20}right) = 20 cdot 4$
$-11x = 80$
Adım 6: $x$’i yalnız bırakmak için her iki tarafı $-11$’e bölelim.
$frac{-11x}{-11} = frac{80}{-11}$
$x = -frac{80}{11}$
Umarım bu çözümler ve açıklamalar sizler için faydalı olmuştur. Denklem çözmek pratikle gelişen bir beceridir, bu yüzden bol bol soru çözmeyi unutmayın! Başarılar dilerim!