Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün elimize geçen harika bir matematik soruları setini birlikte çözeceğiz. Hep birlikte adım adım ilerleyerek hem konuyu pekiştirecek hem de soruların mantığını anlayacağız. Hazırsanız başlayalım!
25. ABCDEF ve KLMNPR altıgendir ve ABCDEF ≅ KLMNPR’dir. Buna göre aşağıdaki eşitliklerden doğruların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
Bu soruda iki tane altıgenin birbirine eş olduğu söyleniyor. Eş altıgenler demek, hem kenar uzunluklarının hem de açı ölçülerinin birbirine eşit olması demektir. Bizden istenen, verilen eşitliklerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirlememiz. Eşlik durumunda karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşit olur.
I. $|BC| = |PR|$
Bu ifade, ABCDEF altıgeninin BC kenarının KLMNPR altıgeninin PR kenarına eşit olduğunu söylüyor. Altıgenlerin sıralamasına dikkat ettiğimizde, B’nin karşılığı L, C’nin karşılığı M, D’nin karşılığı N, E’nin karşılığı P, F’nin karşılığı R ve A’nın karşılığı K’dır. Yani, BC kenarının eşi LM olmalıydı. PR ise F ile R arasındaki kenardır. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır. (Y)
II. $m(widehat{D}) = m(widehat{N})$
Bu ifade, D açısının ölçüsünün N açısının ölçüsüne eşit olduğunu söylüyor. Altıgenlerde karşılıklı köşelerin açıları eşittir. D köşesinin karşılığı N köşesidir. Bu nedenle bu ifade doğrudur. (D)
III. $|CD| = |NM|$
Bu ifade, CD kenarının NM kenarına eşit olduğunu söylüyor. Altıgenlerin eşliğinde, C’nin karşılığı M, D’nin karşılığı N’dir. Yani, CD kenarının eşi MN olmalıdır. Soruda NM olarak verilmiş. MN ile NM aynı şeydir. Bu nedenle bu ifade doğrudur. (D)
IV. $m(widehat{A}) = m(widehat{K})$
Bu ifade, A açısının ölçüsünün K açısının ölçüsüne eşit olduğunu söylüyor. Altıgenlerde A köşesinin karşılığı K köşesidir. Bu nedenle bu ifade doğrudur. (D)
V. $|DE| = |MP|$
Bu ifade, DE kenarının MP kenarına eşit olduğunu söylüyor. Altıgenlerin sıralamasına göre, D’nin karşılığı N, E’nin karşılığı P’dir. Yani DE kenarının eşi NP olmalıydı. MP ise M ile P arasındaki kenardır. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır. (Y)
VI. $m(widehat{E}) = m(widehat{R})$
Bu ifade, E açısının ölçüsünün R açısının ölçüsüne eşit olduğunu söylüyor. Altıgenlerde E köşesinin karşılığı P köşesidir. R ise F’nin karşılığıdır. Bu nedenle bu ifade yanlıştır. (Y)
Sonuç: Y, D, D, D, Y, Y
26. Bir ağacın boyunu ölçmek için ayna ve 130 cm uzunluğundaki sopa kullanılmıştır. Sopa, ağaçtan 960 cm uzağa, 10 cm derine gömülmüştür. Ayna ise sopanın üst noktası ile ağacın üst noktasını aynı hizaya gelecek şekilde sopadan 320 cm uzağa yerleştirilmiştir. Buna göre ağacın boyu kaç m’dir?
Bu soruda benzerlikten yararlanacağız. Ayna, ağaç ve sopa arasında oluşan üçgenlerin benzerliğini kullanacağız. Aynanın yerleştirildiği nokta, ağacın tepesi ve sopanın tepesi aynı hizaya geldiği için, bu noktaları birleştiren doğru parçası, ağacın tepesinden geçen ve yere paralel bir doğru gibi düşünebiliriz.
Şimdi bu durumu bir çizelim ve benzer üçgenleri belirleyelim:
– Yere dik duran sopa ve yere dik duran ağaç, iki dik üçgen oluşturacaktır.
– Aynanın olduğu nokta, sopanın tepesi ve sopanın yere olan uzaklığı ile benzer şekilde, aynanın olduğu nokta, ağacın tepesi ve ağacın yere olan uzaklığı da benzer üçgenleri oluşturur.
Şöyle düşünelim:
Sopanın yere olan yüksekliği (gömülen kısmı hariç) = 130 cm – 10 cm = 120 cm
Aynanın sopaya olan uzaklığı = 320 cm
Aynanın ağaca olan uzaklığı = 960 cm
Burada benzer iki dik üçgenimiz var:
Birinci üçgen: Sopanın yüksekliği (120 cm) ve aynanın sopaya olan uzaklığı (320 cm).
İkinci üçgen: Ağacın boyu (bilmiyoruz, h diyelim) ve aynanın ağaca olan uzaklığı (320 cm + 960 cm = 1280 cm).
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir. Yani:
$frac{text{Sopanın Yüksekliği}}{text{Aynanın Sopaya Uzaklığı}} = frac{text{Ağacın Boyu}}{text{Aynanın Ağaca Uzaklığı}}$
Şimdi değerleri yerine koyalım:
$frac{120 text{ cm}}{320 text{ cm}} = frac{h}{1280 text{ cm}}$
Şimdi h’yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya sadeleştirme yapabiliriz. Sadeleştirelim:
$frac{120}{320} = frac{12}{32} = frac{3}{8}$
Yani,
$frac{3}{8} = frac{h}{1280 text{ cm}}$
Şimdi h’yi bulmak için 1280’i 3/8 ile çarpacağız:
$h = frac{3}{8} times 1280 text{ cm}$
Önce 1280’i 8’e bölelim:
$1280 div 8 = 160$
Şimdi 160 ile 3’ü çarpalım:
$h = 3 times 160 text{ cm} = 480 text{ cm}$
Ağacın boyu 480 cm çıktı. Soru bizden ağacın boyunu metre olarak istiyor. 1 metre 100 cm olduğuna göre, 480 cm’yi metreye çevirmek için 100’e böleriz:
$480 text{ cm} div 100 = 4,8 text{ m}$
Sonuç: 4,8 m
27. Yanda görülen şekildeki üçgenler eştir. [AB] // [DE] olduğu
olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Burada iki tane üçgenimiz var ve birbirine eş olduğu söyleniyor. Ayrıca AB kenarının DE kenarına paralel olduğu bilgisi verilmiş. Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar birbirine eşittir.
Şekle baktığımızda, üçgenlerin köşelerinin harflendirilmesi ve birbirine göre konumları dikkatimizi çekiyor. Üçgenlerin eşliği, harflerin sırasına göre belirlenir. Genellikle bu tür sorularda, eşliği veren ifadeyi (örneğin ABC ≅ DEF gibi) bilmek önemlidir. Ancak burada eşlik verilmiş, hangi üçgenin hangisine eş olduğu belirtilmemiş. Biz seçeneklere bakarak eşlik durumunu ve doğru/yanlış olanı bulmaya çalışacağız.
Verilen bilgiye göre [AB] // [DE] (AB doğru parçası DE doğru parçasına paralel). Bu bilgi, açılar hakkında bize ipucu verebilir.
Şimdi şıklara bakalım:
A) $|AB| = |DE|$
Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşittir. Eğer bu iki üçgen birbirine eş ise ve bu kenarlar karşılıklı geliyorsa, bu eşitlik doğru olabilir.
B) $m(widehat{B}) = m(widehat{D})$
Bu, B açısının ölçüsünün D açısının ölçüsüne eşit olduğunu söylüyor. Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir.
C) $widehat{ABC} cong widehat{EDC}$
Bu ifade, ABC açısının EDC açısına eş olduğunu söylüyor. Ancak bu bir açı değil, bir üçgenin diğerine eşliği ifadesi olmalıydı. Muhtemelen $triangle ABC cong triangle EDC$ demek istemişler. Eğer bu doğruysa, A’nın karşılığı E, B’nin karşılığı D, C’nin karşılığı C’dir (bu şekilde bir eşlik söz konusu olamaz, çünkü C hem iki üçgende de ortak köşe hem de kendi kendine eş olamaz). Bu gösterim biraz kafa karıştırıcı. Genellikle üçgenlerin eşliği $triangle ABC cong triangle DEF$ şeklinde olur.
D) $|AC| = |BC|$
Bu, AC kenarının BC kenarına eşit olduğunu söylüyor.
Şekle ve verilen AB // DE bilgisine tekrar bakalım. Paralellik varsa, yöndeş açılar veya iç ters açılar oluşabilir. Üçgenlerin kesişim noktası C olarak görünüyor.
Eğer $triangle ABC sim triangle EDC$ (benzer) ise ve AB // DE ise, o zaman C noktasından geçen doğru parçaları nedeniyle ters açılar (yani $widehat{ACB} = widehat{ECD}$) eşit olur. Eğer üçgenler eş ise, bu durumda eşlik $triangle ABC cong triangle EDC$ veya $triangle ABC cong triangle DEC$ gibi bir şey olmalı.
Şimdi seçenekleri ele alarak ilerleyelim. Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise (C’nin kendi kendine eşliği durumu hariç, bu gösterim hatalı olsa da), o zaman karşılıklı kenarlar ve açılar eşit olur.
Eğer ABC üçgeni ile EDC üçgeni eş ise:
– A’nın karşılığı E, B’nin karşılığı D, C’nin karşılığı C olmalı. Bu durumda $|AB| = |ED|$ ve $|AC| = |EC|$ ve $|BC| = |DC|$. Ayrıca $m(widehat{A}) = m(widehat{E})$ ve $m(widehat{B}) = m(widehat{D})$ ve $m(widehat{ACB}) = m(widehat{ECD})$.
– AB // DE olduğu için, C noktasından geçen doğrularla oluşan açılara bakarsak: İç ters açılar kuralından, eğer AC doğrusunu kesen DE doğrusu olsaydı $widehat{BAC}$ ve $widehat{CED}$ arasında bir ilişki olurdu. Ancak burada C noktası kesişim.
AB // DE ve AC kesen ise, $widehat{BAC}$ ve $widehat{CEA}$ (iç ters açılar) eşittir. Ama bu üçgenlerin köşeleriyle tam uyuşmuyor.
AB // DE ve BD kesen ise, $widehat{ABD}$ ve $widehat{BDE}$ (iç ters açılar) eşittir.
Şekle göre, $triangle ABC$ ve $triangle EDC$ üçgenlerinde,
$widehat{ACB}$ ve $widehat{ECD}$ ters açılar olduğu için eşittir. $m(widehat{ACB}) = m(widehat{ECD})$.
Eğer üçgenler eş ise ve bu C köşesi ortaksa, o zaman eşlik $triangle ABC cong triangle EDC$ veya $triangle ABC cong triangle DEC$ gibi bir şey olmalı.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, o zaman
$|AB| = |ED|$ (A şıkkı doğru olabilir)
$m(widehat{B}) = m(widehat{D})$ (B şıkkı doğru olabilir)
$|AC| = |EC|$
$|BC| = |DC|$
Şimdi C şıkkına bakalım: $widehat{ABC} cong widehat{EDC}$. Bu gösterim hatalı olsa da, eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ demek istiyorsa, o zaman A’nın karşılığı E, B’nin karşılığı D, C’nin karşılığı C’dir. Bu durumda C şıkkındaki gösterim (açıların sırası) ile eşlik doğruysa, B şıkkındaki $m(widehat{B}) = m(widehat{D})$ doğru olur.
Peki, hangisi yanlıştır?
AB // DE bilgisini kullanalım.
Eğer $triangle ABC$ ve $triangle EDC$ eş ise, genellikle bu tür sorularda C noktası iki üçgenin de tepesi olur.
AB // DE olduğundan, C’den AB’ye ve DE’ye olan uzaklıklar oranlanabilir.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, o zaman A’nın karşılığı E, B’nin karşılığı D, C’nin karşılığı C olmalıdır.
Bu durumda:
$|AB| = |ED|$ (A şıkkı doğru)
$|AC| = |EC|$
$|BC| = |DC|$
$m(widehat{A}) = m(widehat{E})$
$m(widehat{B}) = m(widehat{D})$ (B şıkkı doğru)
Şimdi C şıkkına tekrar bakalım: $widehat{ABC} cong widehat{EDC}$. Eğer bu, $triangle ABC cong triangle EDC$ demek istiyorsa, bu durumda A’nın karşılığı E, B’nin karşılığı D, C’nin karşılığı C’dir. O zaman B şıkkı doğru olur.
Görseldeki üçgenlere baktığımızda, AB ve DE kenarları birbirine paralel görünüyor. C noktası ise iki üçgenin de bir köşesi.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, o zaman $|AB| = |ED|$ ve $|AC| = |EC|$ ve $|BC| = |DC|$.
Ayrıca $m(widehat{A}) = m(widehat{E})$ ve $m(widehat{B}) = m(widehat{D})$.
Şimdi D şıkkına bakalım: $|AC| = |BC|$. Bu ifade, ABC üçgeninin ikizkenar olduğunu söyler. Soruda böyle bir bilgi verilmedi. Eğer üçgenler eş ise ve $|AC| = |EC|$ ise, bu durumda $|BC| = |DC|$ olmalı. D şıkkı $|AC| = |BC|$ diyor. Bu, sadece üçgenler ikizkenar ise doğru olabilir.
AB // DE ve $widehat{ACB} = widehat{ECD}$ (ters açılar) bilgisini birleştirelim.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, o zaman $|AB| = |ED|$ (A doğru).
$m(widehat{B}) = m(widehat{D})$ (B doğru).
C şıkkı $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, bu durumda B şıkkı doğrudur.
Şimdi D şıkkına odaklanalım: $|AC| = |BC|$. Bu, ABC üçgeninin ikizkenar olduğunu söyler. Eğer bu bilgi doğruysa, o zaman $|EC| = |DC|$ olmalı. Ama bu zorunlu bir durum değil.
Paralellikten yararlanalım. AB // DE.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, o zaman A’nın karşılığı E, B’nin karşılığı D, C’nin karşılığı C’dir.
Bu durumda:
$|AB| = |ED|$ (A doğru)
$m(widehat{B}) = m(widehat{D})$ (B doğru)
$|AC| = |EC|$
$|BC| = |DC|$
Şimdi D şıkkı $|AC| = |BC|$ diyor. Bu, sadece ABC üçgeni ikizkenar ise doğrudur. Eğer bu şık doğru olsaydı, o zaman $|EC| = |DC|$ olmalıydı.
Şekilde görülen üçgenlerin konumlarına dikkat edelim. AB kenarı DE kenarına paralel. C noktası kesişim.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, o zaman $|AC| = |EC|$ ve $|BC| = |DC|$.
Bu durumda D şıkkı $|AC| = |BC|$ yanlıştır çünkü $|AC|$’nin $|BC|$’ye eşit olması gerekmez. Sadece $|AC|$’nin $|EC|$’ye eşit olması gerekir.
Yanlış olanı arıyoruz.
Eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ ise, A şıkkı doğru, B şıkkı doğru.
C şıkkı $widehat{ABC} cong widehat{EDC}$ ifadesi, eğer $triangle ABC cong triangle EDC$ demek istiyorsa, bu durumda B şıkkı doğru olur.
D şıkkı $|AC| = |BC|$. Bu, üçgenin ikizkenar olması durumunda geçerlidir. Ancak eşlikten bu zorunlu olarak çıkmaz. Sadece $|AC| = |EC|$ ve $|BC| = |DC|$ çıkar.
Bu yüzden D şıkkının yanlış olması en olasıdır.
Sonuç: D
28. Yukarıda verilen beşgenlerin benzerlik oranı kaçtır?
Elimizde iki tane beşgen var ve biri diğerinin içinde yer alıyor. İkisinin de düzgün beşgen olduğunu varsayabiliriz çünkü kenar uzunlukları ve iç açıları eşittir.
Benzer şekillerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu orana benzerlik oranı denir.
Küçük beşgenin bir kenar uzunluğunu sayarak bulalım. Izgaralı kağıt üzerinde, küçük beşgenin bir kenarı 2 birim uzunluğundadır.
Büyük beşgenin bir kenar uzunluğunu sayalım. Büyük beşgenin bir kenarı 3 birim uzunluğundadır.
Benzerlik oranı = $frac{text{Küçük Şeklin Kenar Uzunluğu}}{text{Büyük Şeklin Kenar Uzunluğu}}$
Veya tersi de olabilir, soruda hangisinin hangisine oranı istendiği belirtilmemiş. Genellikle küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sorulur. Şıklara bakarak bunu anlayabiliriz.
Küçük kenar / Büyük kenar = 2 / 3
Büyük kenar / Küçük kenar = 3 / 2
Şıklara bakalım:
A) $frac{1}{3}$
B) $frac{1}{4}$
C) $frac{2}{3}$
D) $frac{3}{4}$
Bizim bulduğumuz oranlardan biri 2/3’tür. Bu şıklarda var. O zaman benzerlik oranı 2/3’tür.
Sonuç: C