Merhaba sevgili öğrencim. Seninle görselin en alt kısmında yer alan **”Sıra Sizde”** bölümündeki iki güzel denklemi çözeceğiz. Bu sorular rasyonel denklemler konusunu pekiştirmen için harika örnekler. Hazırsan kağıdını kalemini hazırla, adım adım ilerleyelim.
Soru a) Aşağıda verilen denklemi sağlayan x değerini bulunuz:
$frac{3x}{5} – frac{4x}{10} = frac{-7}{2}$
Bu soruyu çözerken ilk hedefimiz rasyonel sayılardan (kesirlerden) kurtulmak olmalı. Bunun için de paydaları eşitlememiz gerekiyor. Paydalara bakalım: 5, 10 ve 2 sayıları var. Bu sayıların hepsi 10 sayısında birleşir.
- Adım 1: Kesirleri genişleterek paydaları 10 yapalım.
Birinci kesrin ($frac{3x}{5}$) paydasını 10 yapmak için 2 ile genişletelim.
İkinci kesrin ($frac{4x}{10}$) paydası zaten 10, aynen kalsın (veya 1 ile çarpalım).
Eşitliğin diğer tarafındaki ($frac{-7}{2}$) kesrinin paydasını 10 yapmak için 5 ile genişletelim. - Adım 2: Genişletilmiş hallerini yazalım:
$frac{3x cdot 2}{5 cdot 2} – frac{4x cdot 1}{10 cdot 1} = frac{-7 cdot 5}{2 cdot 5}$
$frac{6x}{10} – frac{4x}{10} = frac{-35}{10}$ - Adım 3: Artık bütün paydalarımız 10 olduğuna göre, paydaları görmezden gelip sadece paylarla (üst kısımlarla) işlem yapabiliriz. Çünkü paydalar eşitse paylar da eşittir.
Denklemimiz şu hale geldi:
6x – 4x = -35 - Adım 4: Şimdi bilinenler ve bilinmeyenler zaten ayrılmış durumda, sadece çıkarma işlemini yapalım.
6 tane x’ten 4 tane x çıkarsa geriye 2x kalır.
2x = -35 - Adım 5: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı da 2’ye bölelim.
x = $frac{-35}{2}$
Sonuç: Bu denklemi sağlayan x değeri $-frac{35}{2}$‘dir (veya ondalık olarak -17,5).
Soru b) Aşağıda verilen denklemi sağlayan x değerini bulunuz:
$frac{2x}{4} + 5 = frac{-2x}{5} – 3$
Burada işler biraz karışık gibi dursa da kuralımız hep aynı: “Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa.” Önce x’li terimleri sol tarafa, sayıları sağ tarafa toplayalım.
- Adım 1: Sağdaki $frac{-2x}{5}$ terimini sola atalım (işaret değiştirip artı olur). Soldaki +5 sayısını da sağa atalım (işaret değiştirip eksi olur).
$frac{2x}{4} + frac{2x}{5} = -3 – 5$ - Adım 2: Önce sağ taraftaki tam sayıları toplayalım.
-3 ile -5’i toplarsak -8 yapar.
Denklemimiz: $frac{2x}{4} + frac{2x}{5} = -8$ - Adım 3: Şimdi sol taraftaki kesirleri toplayabilmek için payda eşitlemeliyiz. Paydalarımız 4 ve 5. Bunların en küçük ortak katı 20‘dir.
$frac{2x}{4}$ kesrini 5 ile genişletelim.
$frac{2x}{5}$ kesrini 4 ile genişletelim.
Unutma, sağ taraftaki -8 sayısının altında gizli bir 1 vardır ($frac{-8}{1}$). Onu da 20 ile genişletelim ki paydalar tamamen eşitlensin ve yok edebilelim. - Adım 4: Genişletme işlemini yapalım:
$frac{2x cdot 5}{20} + frac{2x cdot 4}{20} = frac{-8 cdot 20}{20}$
$frac{10x}{20} + frac{8x}{20} = frac{-160}{20}$ - Adım 5: Bütün paydalar 20 oldu! Artık paydaları atıp sadece üst kısımlarla çalışabiliriz.
10x + 8x = -160 - Adım 6: x’leri toplayalım.
18x = -160 - Adım 7: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 18’e bölelim.
x = $frac{-160}{18}$ - Adım 8: Matematikte sonucu en sade haliyle bırakmak her zaman daha şıktır. Hem payı hem de paydayı 2’ye bölerek sadeleştirelim.
-160’ı 2’ye bölersek: -80
18’i 2’ye bölersek: 9
x = $-frac{80}{9}$
Sonuç: İkinci denklemi sağlayan x değeri $-frac{80}{9}$‘dur.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Rasyonel denklemlerde en önemli püf nokta, paydaları eşitleyip onları denklemden silmektir. Başarılar dilerim!