Merhaba sevgili öğrencim! Ben Matematik öğretmeninim. Bugün seninle paylaştığın bu ders kitabı sayfasındaki cebirsel ifadelerle çarpma işlemi ve modelleme konusunu inceleyeceğiz. Konu aslında çok eğlenceli, çünkü sayıları ve harfleri birer yapboz parçası gibi şekillere dönüştürüyoruz.
Görselde “Sıra Sizde” bölümünde üç adet alıştırma ve altında yarım bırakılmış bir “2. Örnek” görüyorum. Şimdi gel, seninle bunları tek tek, sanki tahtada çözüyormuşuz gibi inceleyelim.
Sıra Sizde Bölümü Çözümleri
Burada bizden istenen, verilen çarpma işlemlerini modellememiz. Modelleme demek, bu işlemi bir dikdörtgenin veya karenin alanıymış gibi çizerek göstermek demektir. Unutma, dikdörtgenin alanı (Kısa Kenar) x (Uzun Kenar) formülüyle bulunur.
a) x(x – 3) İşleminin Modellenmesi
- Adım 1 (Cebirsel Çözüm): Önce işlemi matematiksel olarak yapalım ki ne bulacağımızı bilelim. Çarpma işleminin çıkarma üzerine dağılma özelliğini kullanacağız. Dışarıdaki x‘i parantezin içindeki her terimle tek tek çarpıyoruz.
x . x = x2
x . (-3) = -3x
Sonuç: x2 – 3x - Adım 2 (Modelleme Mantığı): Şimdi bunu şekle dökelim.
Bir kenar uzunluğu x olsun. Diğer kenar uzunluğu ise x – 3 olsun.
Bunu çizmek için önce kenarları x ve x olan büyük bir kare (x2) çizeriz. Ancak bizden kenarın birini 3 birim kısaltmamız isteniyor. Bu yüzden bu büyük karenin içinden, kenarı 3 birim olan dikdörtgenlik kısmı “çıkarırız” veya eksi olduğu için farklı bir renkle (genelde kırmızı) boyarız.
Yani modelimiz: 1 tane büyük x2 karesi ve yanında 3 tane negatif x dikdörtgeni şeklinde ifade edilir.
b) x(x + 2) İşleminin Modellenmesi
- Adım 1 (Cebirsel Çözüm): Yine dağılma özelliğini kullanalım.
x . x = x2
x . (+2) = +2x
Sonuç: x2 + 2x - Adım 2 (Modelleme Mantığı): Bu sefer işimiz daha kolay çünkü toplama işlemi var, yani alan ekleyeceğiz.
Dikey kenarımız x birim olsun. Yatay kenarımız ise x + 2 birim olsun.
Önce x ile x’in çarpımından oluşan bir x2 karesi (büyük mavi kare) çizeriz.
Hemen yanına, kenar uzunluğu x ve genişliği 1 birim olan dikdörtgenlerden 2 tane ekleriz. Bu dikdörtgenlerin her birinin alanı x’tir.
Sonuçta elimizde: 1 tane büyük kare (x2) ve ona bitişik 2 tane ince dikdörtgen (2x) olur.
c) x(x + 3) İşleminin Modellenmesi
- Adım 1 (Cebirsel Çözüm): İşlemi yapalım.
x . x = x2
x . (+3) = +3x
Sonuç: x2 + 3x - Adım 2 (Modelleme Mantığı): (b) şıkkındaki mantığın aynısını kullanıyoruz, sadece sayımız arttı.
Dikey kenarımız x, yatay kenarımız x + 3.
Yine bir tane büyük x2 karesi çiziyoruz.
Bu sefer yanına, alanı x olan o ince dikdörtgenlerden tam 3 tane ekliyoruz.
Görsel olarak: 1 tane büyük kare ve yanında 3 tane dikdörtgen yan yana dizilmiş olur.
2. Örnek Bölümü İncelemesi
Görselin alt kısmında (x + 2) . (2x – 3) işleminin modellemesine başlanmış. Gel bunun sonucunu da biz bulalım, böylece konuyu tam pekiştirmiş olursun.
Soru: (x + 2) . (2x – 3) işleminin sonucu nedir?
- Adım 1: Burada “her terimi diğer parantezdeki her terimle çarpma” kuralını uygulayacağız. Sırayla gidelim:
- Adım 2: İlk terim olan x’i dağıtalım:
x . 2x = 2x2
x . (-3) = -3x - Adım 3: İkinci terim olan +2’yi dağıtalım:
2 . 2x = +4x
2 . (-3) = -6 - Adım 4: Şimdi benzer terimleri toparlayalım (Elmalar elmalarla, armutlar armutlarla toplanır mantığı).
Elimizde -3x ve +4x var. Bunları toplarsak: (-3 + 4)x = +1x (yani +x) yapar. - Sonuç: Bulduğumuz tüm parçaları birleştiriyoruz:
2x2 + x – 6
Özetle sevgili öğrencim; cebirsel ifadelerde modelleme yaparken aslında bir mimar gibi alan hesabı yapıyoruz. Çarpılan sayıları kenar uzunluğu olarak düşünüp, ortaya çıkan şeklin (kare veya dikdörtgenlerin) toplam alanını buluyoruz. Anlamadığın bir yer olursa sormaktan çekinme, başarılar dilerim!