Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte silindirlerin yüzey alanları ile ilgili harika sorular çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Sıra Sizde Soruları:
Aşağıdaki dik dairesel silindirlerin yüzey alanlarını bulunuz. ($pi = frac{22}{7}$ alınız.)
a)
Bu silindirde yarıçap (r) 7 cm ve yükseklik (h) 5,7 cm olarak verilmiş. Silindirin yüzey alanını bulmak için önce taban alanlarını, sonra yanal alanı hesaplayıp bunları toplayacağız.
Adım 1: Taban Alanlarını Hesaplama
Bir dairenin alanı $pi cdot r^2$ formülüyle bulunur. İki tane tabanı olduğu için toplam taban alanı $2 cdot pi cdot r^2$ olacaktır.
Taban Alanı = $2 cdot pi cdot (7 text{ cm})^2$
Taban Alanı = $2 cdot pi cdot 49 text{ cm}^2$
Taban Alanı = $98pi text{ cm}^2$
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Silindirin yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Taban çevresi $2 cdot pi cdot r$ formülüyle bulunur.
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot r) cdot h$
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot 7 text{ cm}) cdot 5,7 text{ cm}$
Yanal Alan = $14pi text{ cm} cdot 5,7 text{ cm}$
Yanal Alan = $79,8pi text{ cm}^2$
Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplama
Toplam yüzey alanı, iki taban alanının ve yanal alanın toplamıdır.
Toplam Yüzey Alanı = Taban Alanı + Yanal Alan
Toplam Yüzey Alanı = $98pi text{ cm}^2 + 79,8pi text{ cm}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $177,8pi text{ cm}^2$
Şimdi $pi = frac{22}{7}$ değerini yerine koyalım:
Toplam Yüzey Alanı = $177,8 cdot frac{22}{7} text{ cm}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $frac{1778}{10} cdot frac{22}{7} text{ cm}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $frac{1778 cdot 22}{70} text{ cm}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $frac{39116}{70} text{ cm}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $558,8 text{ cm}^2$
Sonuç: a) şıkkının yüzey alanı 558,8 cm²’dir.
b)
Bu silindirde yarıçap (r) 1,4 m ve yükseklik (h) 6 m olarak verilmiş. Yine aynı adımları izleyeceğiz.
Adım 1: Taban Alanlarını Hesaplama
Toplam Taban Alanı = $2 cdot pi cdot r^2$
Toplam Taban Alanı = $2 cdot pi cdot (1,4 text{ m})^2$
Toplam Taban Alanı = $2 cdot pi cdot 1,96 text{ m}^2$
Toplam Taban Alanı = $3,92pi text{ m}^2$
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot r) cdot h$
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot 1,4 text{ m}) cdot 6 text{ m}$
Yanal Alan = $2,8pi text{ m} cdot 6 text{ m}$
Yanal Alan = $16,8pi text{ m}^2$
Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplama
Toplam Yüzey Alanı = Taban Alanı + Yanal Alan
Toplam Yüzey Alanı = $3,92pi text{ m}^2 + 16,8pi text{ m}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $20,72pi text{ m}^2$
Şimdi $pi = frac{22}{7}$ değerini yerine koyalım:
Toplam Yüzey Alanı = $20,72 cdot frac{22}{7} text{ m}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $frac{2072}{100} cdot frac{22}{7} text{ m}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $frac{2072 cdot 22}{700} text{ m}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $frac{45584}{700} text{ m}^2$
Toplam Yüzey Alanı = $65,12 text{ m}^2$
Sonuç: b) şıkkının yüzey alanı 65,12 m²’dir.
3. Örnek Sorusu Çözümü:
Yarıçapı 30 cm ve yüzey alanı 4800π cm² olan dik dairesel silindirin yüksekliğini bulalım.
Çözüm:
Öncelikle dik dairesel silindirin açınımını düşünelim. Silindirin açınımı, iki daire (tabanlar) ve bir dikdörtgenden (yanal yüzey) oluşur. Dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (h), diğer kenarı ise taban çevresidir.
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Silindirin tabanı bir dairedir ve alanı $pi cdot r^2$ formülüyle bulunur. Yarıçap (r) 30 cm olarak verilmiş.
Taban Alanı = $pi cdot (30 text{ cm})^2$
Taban Alanı = $pi cdot 900 text{ cm}^2$
Taban Alanı = $900pi text{ cm}^2$
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Silindirin yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Taban çevresi $2 cdot pi cdot r$ formülüyle bulunur.
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot r) cdot h$
Yarıçap (r) 30 cm idi.
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot 30 text{ cm}) cdot h$
Yanal Alan = $60pi cdot h text{ cm}^2$
Adım 3: Yüzey Alanı Formülünü Kullanarak Yüksekliği Bulma
Bir dik dairesel silindirin toplam yüzey alanı, iki taban alanının ve yanal alanın toplamıdır.
Yüzey Alanı = (2 * Taban Alanı) + Yanal Alan
Soruda yüzey alanı 4800π cm² olarak verilmiş.
4800π cm² = $(2 cdot 900pi text{ cm}^2) + (60pi cdot h text{ cm}^2)$
4800π = $1800pi + 60pi h$
Şimdi bu denklemde yüksekliği (h) bulmak için denklemi çözelim:
4800π – 1800π = $60pi h$
3000π = $60pi h$
Her iki tarafı da $60pi$’ye bölelim:
$frac{3000pi}{60pi} = frac{60pi h}{60pi}$
$frac{3000}{60} = h$
$50 = h$
Sonuç: Silindirin yüksekliği 50 cm olur.
Sıra Sizde Soruları (Devamı):
a) Yarıçapı 4 cm ve yüzey alanı 24π cm² olan dik dairesel silindirin yüksekliği kaç cm’dir?
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = $pi cdot r^2$
Taban Alanı = $pi cdot (4 text{ cm})^2$
Taban Alanı = $16pi text{ cm}^2$
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot r) cdot h$
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot 4 text{ cm}) cdot h$
Yanal Alan = $8pi h text{ cm}^2$
Adım 3: Yüzey Alanı Formülünü Kullanarak Yüksekliği Bulma
Yüzey Alanı = (2 * Taban Alanı) + Yanal Alan
24π cm² = $(2 cdot 16pi text{ cm}^2) + (8pi h text{ cm}^2)$
24π = $32pi + 8pi h$
Şimdi bu denklemde yüksekliği (h) bulalım:
24π – 32π = $8pi h$
-8π = $8pi h$
Bu durumda bir gariplik var. Yüzey alanı iki taban alanından küçük olamaz. Soruda bir hata olabilir veya yüzey alanı sadece yanal alanı ve bir taban alanını ifade ediyor olabilir. Ancak standart yüzey alanı formülü kullanıldığında bu sonuç mantıklı değildir. Eğer soruda bir yazım hatası yoksa, bu silindir gerçekte var olamaz.
Düzeltilmiş Varsayım: Eğer soruda yüzey alanı 24π yerine daha büyük bir değer verilseydi, çözüme devam edebilirdik. Örneğin, eğer yüzey alanı 100π olsaydı:
100π = $32pi + 8pi h$
100π – 32π = $8pi h$
68π = $8pi h$
$frac{68pi}{8pi} = h$
$h = 8,5$ cm olurdu.
Bu sorunun orijinal haliyle çözümü mümkün görünmüyor.
b) Yarıçapı 2 m ve yüzey alanı 60 m² olan dik dairesel silindirin yüksekliği kaç m’dir? ($pi = 3$ alınız.)
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = $pi cdot r^2$
Taban Alanı = $3 cdot (2 text{ m})^2$
Taban Alanı = $3 cdot 4 text{ m}^2$
Taban Alanı = $12 text{ m}^2$
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Yanal Alan = $(2 cdot pi cdot r) cdot h$
Yanal Alan = $(2 cdot 3 cdot 2 text{ m}) cdot h$
Yanal Alan = $12h text{ m}^2$
Adım 3: Yüzey Alanı Formülünü Kullanarak Yüksekliği Bulma
Yüzey Alanı = (2 * Taban Alanı) + Yanal Alan
60 m² = $(2 cdot 12 text{ m}^2) + (12h text{ m}^2)$
60 = $24 + 12h$
Şimdi bu denklemde yüksekliği (h) bulalım:
60 – 24 = $12h$
36 = $12h$
$frac{36}{12} = h$
$3 = h$
Sonuç: b) şıkkının yüksekliği 3 m’dir.
2. Problem Sorusu Çözümü:
Yandaki şekilde verilen cisim, bakır sac kullanılarak yapılacaktır. Silindirin tabanları açıktır. Cismin silindir biçimindeki kısmını prizmindeki kesme bağlayan yüzey de açıktır. Bu cismin yapımı için kaç m² bakır sac’a ihtiyaç vardır? ($pi = 3$ alınız.)
Bu cisim, üst üste konulmuş iki farklı boyutlarda silindirlerden oluşuyor. Alt kısımdaki silindirin yarıçapı 2 m ve yüksekliği 1,2 m. Üst kısımdaki silindirin yarıçapı 0,9 m ve yüksekliği ise belirtilmemiş ama görselden alt silindirle aynı yükseklikte veya daha kısa olduğu tahmin edilebilir. Ancak soruda “prizmindeki kesme bağlayan yüzey de açıktır” denmesi ve şekle bakıldığında, üstteki silindirin yüksekliği 0,9 m olarak gösterilmiş. Alttaki silindirin yüksekliği ise 1,2 m.
Cismin yapımında kullanılacak bakır sac miktarını bulmak için, bu cismin açık yüzey alanlarını hesaplamamız gerekiyor. Açık olan yüzeyler şunlardır:
- Alt silindirin taban alanı.
- Alt silindirin yanal alanı.
- Üst silindirin taban alanı.
- Üst silindirin yanal alanı.
- İki silindirin birbirine bağlandığı yüzeyin alanı (yani üstteki silindirin tabanı, alttaki silindirin üstüyle aynı boyutta olsaydı o alan). Ancak soruda “kesme bağlayan yüzey de açıktır” deniyor ve şekle bakıldığında üstteki silindir alttakinin ortasına oturmuş gibi duruyor. Bu durumda alttaki silindirin üst yüzeyinin, üstteki silindirin tabanının kapladığı kadar kısmı kapalıdır.
Soruda “silindirin tabanları açıktır” denmesi, en alttaki silindirin tabanının açık olduğunu ifade eder. “Cismin silindir biçimindeki kısmını prizmindeki kesme bağlayan yüzey de açıktır.” ifadesi kafa karıştırıcı. Ancak şekle ve “bakır sac kullanılarak yapılacak” bilgisine dayanarak, cismin dış yüzeylerinin toplam alanını hesaplamalıyız.
Daha net bir anlayış için, cismi iki ayrı silindir olarak ele alıp, açıkta kalan yüzeylerini hesaplayalım:
Alt Silindir:
- Yarıçap ($r_1$) = 2 m
- Yükseklik ($h_1$) = 1,2 m
Üst Silindir:
- Yarıçap ($r_2$) = 0,9 m
- Yükseklik ($h_2$) = 0,9 m (görseldeki ölçüye göre)
Hesaplanacak Alanlar:
1. Alt silindirin taban alanı (açık olduğu için).
2. Alt silindirin yanal alanı.
3. Üst silindirin yanal alanı.
4. Üst silindirin üst taban alanı (açık olduğu için).
5. Alt silindirin üst yüzeyinde, üst silindirin oturmadığı alan.
Adım 1: Alt Silindirin Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = $pi cdot r_1^2$
Taban Alanı = $3 cdot (2 text{ m})^2$
Taban Alanı = $3 cdot 4 text{ m}^2$
Taban Alanı = $12 text{ m}^2$
Adım 2: Alt Silindirin Yanal Alanını Hesaplama
Yanal Alan = $2 cdot pi cdot r_1 cdot h_1$
Yanal Alan = $2 cdot 3 cdot 2 text{ m} cdot 1,2 text{ m}$
Yanal Alan = $12 text{ m} cdot 1,2 text{ m}$
Yanal Alan = $14,4 text{ m}^2$
Adım 3: Üst Silindirin Yanal Alanını Hesaplama
Yanal Alan = $2 cdot pi cdot r_2 cdot h_2$
Yanal Alan = $2 cdot 3 cdot 0,9 text{ m} cdot 0,9 text{ m}$
Yanal Alan = $6 cdot 0,81 text{ m}^2$
Yanal Alan = $4,86 text{ m}^2$
Adım 4: Üst Silindirin Üst Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = $pi cdot r_2^2$
Taban Alanı = $3 cdot (0,9 text{ m})^2$
Taban Alanı = $3 cdot 0,81 text{ m}^2$
Taban Alanı = $2,43 text{ m}^2$
Adım 5: Alt Silindirin Üst Yüzeyinde Açıkta Kalan Alanı Hesaplama
Bu alan, alt silindirin üst taban alanından, üst silindirin taban alanının çıkarılmasıyla bulunur.
Açık Alan = (Alt Silindir Üst Taban Alanı) – (Üst Silindir Taban Alanı)
Alt Silindirin üst taban alanı daire olduğu için $pi cdot r_1^2$’dir. Ancak bu silindirin üstü tamamen açık değil, üstteki silindir bir kısmını kaplıyor. Bu yüzden hesaplamamız gereken, alt silindirin üst yüzeyinin tamamı değil, üst silindirin oturmadığı kısımdır.
Alt silindirin üst yüzeyinin tamamı: $pi cdot r_1^2 = 3 cdot (2)^2 = 12 text{ m}^2$.
Üst silindirin oturduğu alan: $pi cdot r_2^2 = 3 cdot (0,9)^2 = 2,43 text{ m}^2$.
Bu durumda alt silindirin üst yüzeyinde açıkta kalan alan: $12 text{ m}^2 – 2,43 text{ m}^2 = 9,57 text{ m}^2$.
Adım 6: Toplam Bakır Sac Miktarını Hesaplama
Toplam Alan = (Alt Silindir Taban Alanı) + (Alt Silindir Yanal Alanı) + (Üst Silindir Yanal Alanı) + (Üst Silindir Üst Taban Alanı) + (Alt Silindirin Üst Yüzeyinde Açıkta Kalan Alan)
Toplam Alan = $12 text{ m}^2 + 14,4 text{ m}^2 + 4,86 text{ m}^2 + 2,43 text{ m}^2 + 9,57 text{ m}^2$
Şimdi bu değerleri toplayalım:
12,00
14,40
4,86
2,43
+ 9,57
——-
43,26
Sonuç: Bu cismin yapımı için 43,26 m² bakır sac’a ihtiyaç vardır.