Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersimizin bu bölümünde doğruların orijinden geçip geçmediğini ve grafiklerini çizmeyi öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!
7. Örnek
Aşağıdaki doğruların hangisinin orijinden geçtiğini belirleyelim.
a) y = x
b) y = x + 3
c) y = 4x
Çözüm
Bir doğrunun orijinden geçmesi için denkleminde sabit bir terim olmaması gerekir. Yani denklem sadece değişkenlerden oluşmalı ve sayılarla çarpılmış olmalıdır. Gelin bu duruma göre seçeneklerimize bakalım:
a) y = x doğrusu
Bu denklemde sabit bir terim yok. Sadece y ve x değişkenleri var. Bu yüzden bu doğru orijinden geçer.
b) y = x + 3 doğrusu
Bu denklemde “+3” gibi bir sabit terim var. İşte bu sabit terim yüzünden bu doğru orijinden geçmez.
c) y = 4x doğrusu
Bu denklemde de herhangi bir sabit terim yok. Sadece y ve x değişkenleri var. Dolayısıyla bu doğru da orijinden geçer.
Sizler de bu doğruların grafiklerini çizerek orijinden geçip geçmediğini kendiniz de kontrol edebilirsiniz. Unutmayın, orijinden geçen doğruların grafiği her zaman başlangıç noktasından (0,0) geçer.
Öğrendiklerimizi Uygulayalım
1. Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri tamamlayınız.
- Bir doğrunun grafiğinin, x eksenini kestiği noktanın y değeri sıfırdır.
- Bir doğrunun grafiğinin, y eksenini kestiği noktanın x değeri sıfır‘dır.
y = ......şeklindeki doğru grafikleri orijinden geçer. (Buraya sadece değişkenler geleceği için boşluk kalmayacak, yani denklemde sabit terim olmayacak.)y = 2xdenkleminde, x bağımsız değişken; y, bağımlı değişkendir.
2. Aşağıdaki doğruların grafiklerini çiziniz.
Bu soruda bizden grafik çizmemiz isteniyor. Grafik çizmek için genellikle iki nokta yeterlidir. Orijinden geçen doğrular için (0,0) noktasını kullanabiliriz. Diğer noktayı bulmak için ise x’e herhangi bir değer verip y’yi hesaplayabiliriz. Eğer doğru orijinden geçmiyorsa, eksenleri kestiği noktaları bularak da çizebiliriz.
a) y = 2x - 8
- x = 0 için: y = 2(0) – 8 = -8. Nokta: (0, -8)
- y = 0 için: 0 = 2x – 8 => 2x = 8 => x = 4. Nokta: (4, 0)
b) y = 3x + 6
- x = 0 için: y = 3(0) + 6 = 6. Nokta: (0, 6)
- y = 0 için: 0 = 3x + 6 => 3x = -6 => x = -2. Nokta: (-2, 0)
c) y = 5 - 2x
- x = 0 için: y = 5 – 2(0) = 5. Nokta: (0, 5)
- y = 0 için: 0 = 5 – 2x => 2x = 5 => x = 5/2. Nokta: (5/2, 0)
c) y = 10
Bu denklemde x değişkeni yok. Bu, x’in her değeri için y’nin sabit kaldığı anlamına gelir. Bu bir yatay doğrudur ve y eksenini 10’da keser. x eksenine paraleldir.
d) x = -8
Bu denklemde y değişkeni yok. Bu, y’nin her değeri için x’in sabit kaldığı anlamına gelir. Bu bir dikey doğrudur ve x eksenini -8’de keser. y eksenine paraleldir.
e) y = 2x
- Bu doğru orijinden geçer.
- x = 1 için: y = 2(1) = 2. Nokta: (1, 2)
f) y = 3 + x
- x = 0 için: y = 3 + 0 = 3. Nokta: (0, 3)
- y = 0 için: 0 = 3 + x => x = -3. Nokta: (-3, 0)
g) y = 3x - 2
- x = 0 için: y = 3(0) – 2 = -2. Nokta: (0, -2)
- y = 0 için: 0 = 3x – 2 => 3x = 2 => x = 2/3. Nokta: (2/3, 0)
h) 3x - y = 0
Bu denklemi y’yi yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: y = 3x. Bu denklem orijinden geçer.
- x = 0 için: y = 3(0) = 0. Nokta: (0, 0)
- x = 1 için: y = 3(1) = 3. Nokta: (1, 3)
i) x + y = 0
Bu denklemi y’yi yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: y = -x. Bu denklem orijinden geçer.
- x = 0 için: y = -(0) = 0. Nokta: (0, 0)
- x = 1 için: y = -(1) = -1. Nokta: (1, -1)
3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.
Dx + 2y = 1 doğrusu orijinden geçer.
Bu ifade yanlıştır. Çünkü denklemde sabit bir terim (1) bulunmaktadır. Eğer denklem x + 2y = 0 olsaydı, orijinden geçerdi.
Yy = 132 doğrusu x eksenine paraleldir.
Bu ifade yanlıştır. y = sabit şeklindeki doğrular x eksenine paraleldir, ancak y = 132 gibi bir denklemde sabit sayı 132’dir. Bu doğru x eksenini kesmez, y eksenini 132’de keser ve x eksenine paraleldir.
Dy - x = 6 doğrusu x eksenini (6, 0) noktasından keser.
Bu ifade doğrudur. Bir doğru x eksenini kestiğinde y değeri 0 olur. Denklemde y yerine 0 koyalım: 0 - x = 6. Buradan x = -6 bulunur. Yani doğru x eksenini (-6, 0) noktasında keser. Soruda (6,0) yazılmış, bu bir hata olabilir. Ancak soruda verilen ifadeyi doğrudan değerlendirirsek, eğer doğru (6,0) noktasından geçiyorsa bu noktayı denklemde yerine koyarak kontrol edebiliriz: 0 - 6 = 6. Bu ifade yanlıştır. Ancak soruda “x eksenini (6,0) noktasından keser” denilmiş. Bu durumda x eksenini kestiği nokta (6,0) ise, bu noktayı denklemde yerine koyalım: 0 – 6 = 6 yanlış. Eğer doğru orijinden geçen y=-x olsaydı, o zaman x eksenini (0,0) noktasından keserdi. Bu soruda bir tutarsızlık var. Ancak “x eksenini kestiği nokta için y=0 olmalı” prensibi ile hareket edersek, denklemde y=0 koyduğumuzda x=-6 buluruz. Bu yüzden bu ifade yanlıştır.
Düzeltme: Soruda ifade “y – x = 6 doğrusu x eksenini (6, 0) noktasından keser.” olarak verilmiş. Bu ifade yanlıştır çünkü x eksenini kestiği noktada y=0 olmalıdır. Bu durumda 0 – x = 6 olur ve x = -6 bulunur. Yani doğru x eksenini (-6, 0) noktasından keser. Eğer soruda “y eksenini kestiği nokta (0, 6) noktasıdır” denseydi doğru olurdu.
Yx = -16 doğrusu y eksenine paraleldir.
Bu ifade yanlıştır. x = sabit şeklindeki doğrular y eksenine paraleldir. Bu doğru y eksenini kesmez, x eksenini -16’da keser ve y eksenine paraleldir.
Umarım bu çözümlerimiz ve açıklamalarımız konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!