Merhaba sevgili öğrencim, hoş geldin. Seninle birlikte bu sayfadaki geometri ve benzerlik sorularını adım adım, sanki sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi inceleyeceğiz. Matematik aslında bir yapboz gibidir, parçaları doğru yerleştirirsek resim ortaya çıkar. Hazırsan başlayalım!
6. Aşağıdaki noktalı bölgede iki nokta arası 1 br’dir. Buna göre noktalı bölgede verilen dikdörtgenlerden benzer olanları belirleyip benzerlik oranlarını bulunuz.
Bu soruda bizden dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını saymamızı ve birbirinin katı olan (orantılı) kenarlara sahip dikdörtgenleri eşleştirmemizi istiyor. Benzer şekillerde kısa kenarın kısa kenara oranı ile uzun kenarın uzun kenara oranı birbirine eşit olmalıdır.
Adım 1: Dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını bulalım.
- ABCD Dikdörtgeni: Uzun kenarı (AB) noktaları saydığımızda 9 birim, kısa kenarı (BC) 6 birimdir. (Boyutları: 9’a 6)
- PRST Dikdörtgeni: Uzun kenarı 8 birim, kısa kenarı 6 birimdir. (Boyutları: 8’e 6)
- KLMN Dikdörtgeni: Uzun kenarı 3 birim, kısa kenarı 2 birimdir. (Boyutları: 3’e 2)
- ATSZ Dikdörtgeni (Sağ alttaki): Uzun kenarı 4 birim, kısa kenarı 3 birimdir. (Boyutları: 4’e 3)
Adım 2: Hangi dikdörtgenlerin kenarları arasında sabit bir oran var kontrol edelim.
Önce ABCD ile KLMN dikdörtgenlerine bakalım:
- Uzun kenarların oranı: 9 / 3 = 3
- Kısa kenarların oranı: 6 / 2 = 3
Gördüğün gibi her iki oran da eşit çıktı. Demek ki ABCD dikdörtgeni ile KLMN dikdörtgeni benzerdir. Benzerlik oranı 3’tür (veya küçükten büyüğe bakarsak 1/3’tür).
Şimdi de PRST ile ATSZ dikdörtgenlerine bakalım:
- Uzun kenarların oranı: 8 / 4 = 2
- Kısa kenarların oranı: 6 / 3 = 2
Burada da oranlar eşit çıktı. O halde PRST dikdörtgeni ile ATSZ dikdörtgeni benzerdir. Benzerlik oranı 2’dir (veya küçükten büyüğe 1/2’dir).
Sonuç:
- ABCD $sim$ KLMN (Benzerlik oranı: 3)
- PRST $sim$ ATSZ (Benzerlik oranı: 2)
7. Kareli kâğıtta verilen ABF ve DEF üçgenlerinin benzerliklerini inceleyerek bu üçgenlerin benzerlik oranını bulunuz.
Burada iç içe geçmiş iki dik üçgen görüyoruz. Büyük üçgen ABF, içindeki küçük üçgen ise DEF. Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenar uzunluklarını oranlamamız yeterli olacaktır.
Adım 1: Üçgenlerin dik kenar uzunluklarını kareleri sayarak bulalım.
- Büyük Üçgen (ABF):
- Yükseklik (AB kenarı): 4 birim
- Taban (BF kenarı): 8 birim
- Küçük Üçgen (DEF):
- Yükseklik (DE kenarı): 2 birim
- Taban (EF kenarı): 4 birim
Adım 2: Kenarları oranlayalım.
Küçük üçgenin kenarlarını büyük üçgenin karşılık gelen kenarlarına bölelim:
- Yüksekliklerin oranı: (DE) / (AB) işlemini yapalım -> 2 / 4 = 1/2
- Tabanların oranı: (EF) / (BF) işlemini yapalım -> 4 / 8 = 1/2
Her iki kenar için de oran aynı çıktı. Bu, üçgenlerin benzer olduğunu kanıtlar.
Sonuç: DEF ve ABF üçgenlerinin benzerlik oranı 1/2‘dir. (Eğer büyükten küçüğe sorulsaydı oran 2 olurdu, ancak genelde küçültme oranı olarak 1/2 kullanılır).
8. Aşağıda verilen şekil 1/3 oranında küçültülecektir. Küçük şeklin kenar uzunluklarını bulunuz.
Bu soruda bize bir ABCD yamuğu verilmiş ve bu şekli 1/3 oranında küçültmemiz isteniyor. “1/3 oranında küçültmek” demek, şeklin her bir kenar uzunluğunu 3’e bölmek (veya 1/3 ile çarpmak) demektir. Hadi her kenarı tek tek hesaplayalım.
Adım 1: Kenar uzunluklarını belirleyelim ve 3’e bölelim.
- AB Kenarı (Alt Taban):
Eski uzunluk: 24 cm
Yeni uzunluk: 24 / 3 = 8 cm - BC Kenarı (Sağ Kenar):
Eski uzunluk: 12 cm
Yeni uzunluk: 12 / 3 = 4 cm - CD Kenarı (Üst Taban):
Eski uzunluk: 9 cm
Yeni uzunluk: 9 / 3 = 3 cm - DA Kenarı (Sol Kenar): (Burada 15 cm yazıyor)
Eski uzunluk: 15 cm
Yeni uzunluk: 15 / 3 = 5 cm
Sonuç: Yeni oluşturulacak küçük şeklin kenar uzunlukları şöyledir:
- Alt kenar: 8 cm
- Sağ kenar: 4 cm
- Üst kenar: 3 cm
- Sol kenar: 5 cm
Gördüğün gibi, benzerlik konusu aslında sadece “katları bulmak” veya “sadeleştirme yapmak”tan ibaret. Umarım çözümler senin için açıklayıcı olmuştur. Başarılar dilerim!