Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim! Matematik dersinde karşımıza çıkan bu güzel soruları birlikte adım adım çözelim, hem konuyu pekiştirelim hem de eğlenelim. Hazırsan başlayalım!
Ünite 3
Sıra Sizde
Aşağıda verilen cebirsel ifadelerin özdeşi olan ifadeleri yazınız.
a) $4x^2 – 36$
b) $49a^2 – 100y^2$
c) $y^2 – 64$
ç) $x^2y^2 – 9$
Bu sorularda bizden istenen, verilen cebirsel ifadelerin çarpanlarına ayrılmış hallerini bulmak. Hatırlarsan, iki kare farkı özdeşliğini kullanacağız. Bu özdeşlik, $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$ şeklindedir. Yani, bir sayının karesinden başka bir sayının karesi çıktığında, bu iki sayının farkı ile toplamının çarpımı şeklinde yazabiliriz.
Çözümler:
a) $4x^2 – 36$
Adım 1: İfadeyi iki kare farkı şeklinde yazmaya çalışalım. İlk terim ($4x^2$), $(2x)^2$ şeklinde yazılabilir. İkinci terim ($36$) ise $6^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Şimdi özdeşliği uygulayalım. $a = 2x$ ve $b = 6$ alırsak, ifademiz $(2x)^2 – 6^2$ olur.
Adım 3: Özdeşliğe göre bu ifadeyi $(2x – 6)(2x + 6)$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $4x^2 – 36 = (2x – 6)(2x + 6)$
b) $49a^2 – 100y^2$
Adım 1: İlk terim ($49a^2$), $(7a)^2$ şeklinde yazılabilir. İkinci terim ($100y^2$) ise $(10y)^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Özdeşliği uygulayalım. $a = 7a$ ve $b = 10y$ alırsak, ifademiz $(7a)^2 – (10y)^2$ olur.
Adım 3: Özdeşliğe göre bu ifadeyi $(7a – 10y)(7a + 10y)$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $49a^2 – 100y^2 = (7a – 10y)(7a + 10y)$
c) $y^2 – 64$
Adım 1: İlk terim ($y^2$), $y^2$ şeklinde zaten. İkinci terim ($64$) ise $8^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Özdeşliği uygulayalım. $a = y$ ve $b = 8$ alırsak, ifademiz $y^2 – 8^2$ olur.
Adım 3: Özdeşliğe göre bu ifadeyi $(y – 8)(y + 8)$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $y^2 – 64 = (y – 8)(y + 8)$
ç) $x^2y^2 – 9$
Adım 1: İlk terim ($x^2y^2$), $(xy)^2$ şeklinde yazılabilir. İkinci terim ($9$) ise $3^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Özdeşliği uygulayalım. $a = xy$ ve $b = 3$ alırsak, ifademiz $(xy)^2 – 3^2$ olur.
Adım 3: Özdeşliğe göre bu ifadeyi $(xy – 3)(xy + 3)$ şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: $x^2y^2 – 9 = (xy – 3)(xy + 3)$
Şimdi gelelim probleme!
1. Problem
Kare şeklindeki bir parkın içine yine kare şeklinde bir oyun parkı yapılmıştır. Parkın bir kenar uzunluğu 225 m, oyun parkının bir kenar uzunluğu ise 125 m’dir. Oyun parkı dışında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.
Bu problemde bizden istenen, parkın tamamının alanından oyun parkının alanını çıkararak, yani iki kare arasındaki yeşil alanın büyüklüğünü bulmak. Resme baktığımızda da bunu net bir şekilde görebiliriz.
Çözüm
1. Problemi Anlayalım
- Problemi kurallara uygun olarak okuyunuz.
- Problemi kendi cümlelerinizle açıklayınız.
- Problemde verilenleri ve isteneni belirleyelim.
Verilenler:
- Parkın bir kenar uzunluğu: 225 m
- Oyun parkının bir kenar uzunluğu: 125 m
İstenen:
- Geri kalan yeşil bölgenin alanı: ?
Problemi özet olarak yazalım.
| Parkın bir kenar uzunluğu | Parkın alanı | Oyun parkının bir kenar uzunluğu | Oyun parkının alanı | Kalan yeşil bölgenin alanı |
|---|---|---|---|---|
| 225 m | ? | 125 m | ? | ? |
2. Plan Yapalım
Bu problemi çözmek için şu adımları izleyeceğiz:
Adım 1: Parkın tamamının alanını hesaplayacağız. Kare bir alanın alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımıdır. Yani Alan = kenar * kenar.
Adım 2: Oyun parkının alanını hesaplayacağız. Bu da aynı şekilde kenar * kenar formülüyle bulunur.
Adım 3: Oyun parkı dışındaki yeşil alanın alanını bulmak için, parkın tamamının alanından oyun parkının alanını çıkaracağız. Yani Yeşil Alan = Parkın Alanı – Oyun Parkının Alanı.
3. Planı Uygulayalım
Adım 1: Parkın Alanını Hesaplama
Parkın bir kenar uzunluğu 225 m.
Parkın Alanı = $225m * 225m$
Şimdi bu çarpma işlemini yapalım:
225
x 225
—–
1125 (225 * 5)
4500 (225 * 20)
45000 (225 * 200)
—–
50625
Parkın Alanı = 50625 $m^2$
Adım 2: Oyun Parkının Alanını Hesaplama
Oyun parkının bir kenar uzunluğu 125 m.
Oyun Parkının Alanı = $125m * 125m$
Şimdi bu çarpma işlemini yapalım:
125
x 125
—–
625 (125 * 5)
2500 (125 * 20)
12500 (125 * 100)
—–
15625
Oyun Parkının Alanı = 15625 $m^2$
Adım 3: Yeşil Alanın Alanını Hesaplama
Yeşil Alan = Parkın Alanı – Oyun Parkının Alanı
Yeşil Alan = 50625 $m^2$ – 15625 $m^2$
Şimdi bu çıkarma işlemini yapalım:
50625
– 15625
——-
35000
Yeşil Alan = 35000 $m^2$
4. Çözümü Değerlendirme
Bulduğumuz sonuç mantıklı görünüyor. Parkın tamamı büyük, oyun parkı ise daha küçük. Aradaki yeşil alanın da bu farka göre bir büyüklüğe sahip olması beklenir.
Sonuç olarak, oyun parkı dışında kalan yeşil bölgenin alanı 35000 metrekaredir.