8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Kök-e Yayıncılık Sayfa 132

Merhaba canım öğrencilerim! Bugün matematik dersinde cebirsel ifadelerle ilgili harika örnekler çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

—

4. Örnek

(a + b) . (a + b) çarpma işlemini modelleyelim.

Çözüm

Bu soruda, kenar uzunlukları a ve b olan kareleri ve dikdörtgenleri kullanarak (a + b) . (a + b) çarpımını modelleyeceğiz. Sanki bir pasta keser gibi düşünün, bütün pastayı (a+b) x (a+b) şeklinde düşünelim.

Önce, kenar uzunluğu a olan bir kare alıyoruz. Bu karenin alanı a² olur.

Sonra, kenar uzunlukları a ve b olan iki tane dikdörtgen alıyoruz. Bu dikdörtgenlerin her birinin alanı a . b olur.

En son olarak da, kenar uzunluğu b olan bir kare alıyoruz. Bu karenin alanı ise b² olur.

Şimdi bu parçaları bir araya getirerek büyük bir kare oluşturacağız. Bu büyük karenin bir kenarı a + b uzunluğunda olacak.

Birleştirdiğimizde oluşan büyük karenin alanı şu parçaların alanlarının toplamı olacaktır:

• a² (bir tane a kenarlı kare)
• a.b (iki tane a.b kenarlı dikdörtgen)
• b² (bir tane b kenarlı kare)

Yani, (a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b² olur.

Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde ise (a + b)² = a² + 2ab + b² sonucuna ulaşırız.

Bu da bize iki terim toplamının karesi özdeşliğini hatırlatıyor. Bilgi kutusunda da bu özdeşliği görebilirsiniz.

—

5. Örnek

Cebir karolarıyla (x + 2)² = (x + 2) . (x + 2) çarpma işlemini modelleyelim.

Çözüm

Bu örnekte de 4. örnekteki mantığı kullanacağız ama bu sefer sayılarla çalışacağız. Kenar uzunluğu x + 2 olan bir kare düşünelim. Bu karenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarpmamız gerekiyor, yani (x + 2) . (x + 2).

Bu büyük kareyi daha küçük parçalara ayırabiliriz:

• Kenar uzunluğu x olan bir kare. Bu karenin alanı x² olur.
• Kenar uzunlukları x ve 2 olan iki tane dikdörtgen. Bu dikdörtgenlerin her birinin alanı x . 2 yani 2x olur.
• Kenar uzunluğu 2 olan bir kare. Bu karenin alanı ise 2 . 2 = 4 olur.

Şimdi bu parçaların alanlarını toplarsak büyük karenin alanını bulmuş oluruz:

Alan = x² + 2x + 2x + 4

Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde:

(x + 2)² = x² + 4x + 4 olur.

Yani, cebir karolarıyla bu çarpma işlemini modellediğimizde, oluşan şeklin alanının x² + 4x + 4 olduğunu görüyoruz.

—

6. Örnek

Aşağıda verilen cebirsel ifadelerin özdeşi olan ifadeleri yazalım.

Bu soruda bizden istenen, verilen ifadelerin iki terim toplamının karesi ya da iki terim farkının karesi özdeşliklerini kullanarak eşitlerini bulmamız.

Hatırlayalım:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²

Şimdi şıkları tek tek inceleyelim:

a) (x + 2y)²

Bu ifade, (a + b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine x ve b yerine 2y koyacağız.

Adım 1: a² kısmını bulalım. a = x olduğuna göre, a² = x² olur.

Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * x * (2y) = 4xy olur.

Adım 3: b² kısmını bulalım. b = 2y olduğuna göre, b² = (2y)² = 4y² olur.

Adım 4: Bu bulduğumuz parçaları toplayalım: x² + 4xy + 4y²

Sonuç: (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²

b) (3 – a)²

Bu ifade, (a – b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine 3 ve b yerine a koyacağız.

Adım 1: a² kısmını bulalım. a = 3 olduğuna göre, a² = 3² = 9 olur.

Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * 3 * a = 6a olur.

Adım 3: b² kısmını bulalım. b = a olduğuna göre, b² = a² olur.

Adım 4: Özdeşlikteki eksi işaretini unutmayalım. a² – 2ab + b² şeklinde yazacağız. Yani 9 – 6a + a² olur.

Sonuç: (3 – a)² = 9 – 6a + a²

c) (b + 5)²

Bu ifade, (a + b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine b ve b yerine 5 koyacağız.

Adım 1: a² kısmını bulalım. a = b olduğuna göre, a² = b² olur.

Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * b * 5 = 10b olur.

Adım 3: b² kısmını bulalım. b = 5 olduğuna göre, b² = 5² = 25 olur.

Adım 4: Bu bulduğumuz parçaları toplayalım: b² + 10b + 25

Sonuç: (b + 5)² = b² + 10b + 25

ç) (xy – 2)²

Bu ifade, (a – b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine xy ve b yerine 2 koyacağız.

Adım 1: a² kısmını bulalım. a = xy olduğuna göre, a² = (xy)² = x²y² olur.

Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * (xy) * 2 = 4xy olur.

Adım 3: b² kısmını bulalım. b = 2 olduğuna göre, b² = 2² = 4 olur.

Adım 4: Özdeşlikteki eksi işaretini unutmayalım. a² – 2ab + b² şeklinde yazacağız. Yani x²y² – 4xy + 4 olur.

Sonuç: (xy – 2)² = x²y² – 4xy + 4

Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen sormaktan çekinmeyin. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!