Merhaba canım öğrencilerim! Bugün matematik dersinde cebirsel ifadelerle ilgili harika örnekler çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
—
4. Örnek
(a + b) . (a + b) çarpma işlemini modelleyelim.
Çözüm
Bu soruda, kenar uzunlukları a ve b olan kareleri ve dikdörtgenleri kullanarak (a + b) . (a + b) çarpımını modelleyeceğiz. Sanki bir pasta keser gibi düşünün, bütün pastayı (a+b) x (a+b) şeklinde düşünelim.
Önce, kenar uzunluğu a olan bir kare alıyoruz. Bu karenin alanı a² olur.
Sonra, kenar uzunlukları a ve b olan iki tane dikdörtgen alıyoruz. Bu dikdörtgenlerin her birinin alanı a . b olur.
En son olarak da, kenar uzunluğu b olan bir kare alıyoruz. Bu karenin alanı ise b² olur.
Şimdi bu parçaları bir araya getirerek büyük bir kare oluşturacağız. Bu büyük karenin bir kenarı a + b uzunluğunda olacak.
Birleştirdiğimizde oluşan büyük karenin alanı şu parçaların alanlarının toplamı olacaktır:
- a² (bir tane a kenarlı kare)
- a.b (iki tane a.b kenarlı dikdörtgen)
- b² (bir tane b kenarlı kare)
Yani, (a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b² olur.
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde ise (a + b)² = a² + 2ab + b² sonucuna ulaşırız.
Bu da bize iki terim toplamının karesi özdeşliğini hatırlatıyor. Bilgi kutusunda da bu özdeşliği görebilirsiniz.
—
5. Örnek
Cebir karolarıyla (x + 2)² = (x + 2) . (x + 2) çarpma işlemini modelleyelim.
Çözüm
Bu örnekte de 4. örnekteki mantığı kullanacağız ama bu sefer sayılarla çalışacağız. Kenar uzunluğu x + 2 olan bir kare düşünelim. Bu karenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarpmamız gerekiyor, yani (x + 2) . (x + 2).
Bu büyük kareyi daha küçük parçalara ayırabiliriz:
- Kenar uzunluğu x olan bir kare. Bu karenin alanı x² olur.
- Kenar uzunlukları x ve 2 olan iki tane dikdörtgen. Bu dikdörtgenlerin her birinin alanı x . 2 yani 2x olur.
- Kenar uzunluğu 2 olan bir kare. Bu karenin alanı ise 2 . 2 = 4 olur.
Şimdi bu parçaların alanlarını toplarsak büyük karenin alanını bulmuş oluruz:
Alan = x² + 2x + 2x + 4
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde:
(x + 2)² = x² + 4x + 4 olur.
Yani, cebir karolarıyla bu çarpma işlemini modellediğimizde, oluşan şeklin alanının x² + 4x + 4 olduğunu görüyoruz.
—
6. Örnek
Aşağıda verilen cebirsel ifadelerin özdeşi olan ifadeleri yazalım.
Bu soruda bizden istenen, verilen ifadelerin iki terim toplamının karesi ya da iki terim farkının karesi özdeşliklerini kullanarak eşitlerini bulmamız.
Hatırlayalım:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
Şimdi şıkları tek tek inceleyelim:
a) (x + 2y)²
Bu ifade, (a + b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine x ve b yerine 2y koyacağız.
Adım 1: a² kısmını bulalım. a = x olduğuna göre, a² = x² olur.
Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * x * (2y) = 4xy olur.
Adım 3: b² kısmını bulalım. b = 2y olduğuna göre, b² = (2y)² = 4y² olur.
Adım 4: Bu bulduğumuz parçaları toplayalım: x² + 4xy + 4y²
Sonuç: (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²
b) (3 – a)²
Bu ifade, (a – b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine 3 ve b yerine a koyacağız.
Adım 1: a² kısmını bulalım. a = 3 olduğuna göre, a² = 3² = 9 olur.
Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * 3 * a = 6a olur.
Adım 3: b² kısmını bulalım. b = a olduğuna göre, b² = a² olur.
Adım 4: Özdeşlikteki eksi işaretini unutmayalım. a² – 2ab + b² şeklinde yazacağız. Yani 9 – 6a + a² olur.
Sonuç: (3 – a)² = 9 – 6a + a²
c) (b + 5)²
Bu ifade, (a + b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine b ve b yerine 5 koyacağız.
Adım 1: a² kısmını bulalım. a = b olduğuna göre, a² = b² olur.
Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * b * 5 = 10b olur.
Adım 3: b² kısmını bulalım. b = 5 olduğuna göre, b² = 5² = 25 olur.
Adım 4: Bu bulduğumuz parçaları toplayalım: b² + 10b + 25
Sonuç: (b + 5)² = b² + 10b + 25
ç) (xy – 2)²
Bu ifade, (a – b)² özdeşliğine benziyor. Burada a yerine xy ve b yerine 2 koyacağız.
Adım 1: a² kısmını bulalım. a = xy olduğuna göre, a² = (xy)² = x²y² olur.
Adım 2: 2ab kısmını bulalım. 2 * (xy) * 2 = 4xy olur.
Adım 3: b² kısmını bulalım. b = 2 olduğuna göre, b² = 2² = 4 olur.
Adım 4: Özdeşlikteki eksi işaretini unutmayalım. a² – 2ab + b² şeklinde yazacağız. Yani x²y² – 4xy + 4 olur.
Sonuç: (xy – 2)² = x²y² – 4xy + 4
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen sormaktan çekinmeyin. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!