Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün birlikte Pisagor bağıntısını kullanarak dik üçgenlerde verilmeyen kenar uzunluklarını bulma alıştırmaları yapacağız. Hazırsanız başlayalım!
Sıra Sizde
Aşağıdaki dik üçgenlerin verilmeyen kenar uzunluklarını bulunuz.
a)
Bu soruda bir dik üçgenimiz var ve bu üçgenin dik kenar uzunlukları 7 br ve 24 br olarak verilmiş. Bizden verilmeyen kenar uzunluğunu, yani hipotenüsü bulmamız isteniyor. Pisagor bağıntısını hatırlayalım: Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlarımız 7 ve 24. Hipotenüs ise ‘d’ olarak adlandırılmış. O zaman Pisagor bağıntısını şu şekilde yazabiliriz:
$7^2 + 24^2 = d^2$
Şimdi bu kareleri hesaplayalım:
$7^2 = 7 times 7 = 49$
$24^2 = 24 times 24$
Alt alta toplama işlemi yaparken önce birler basamağını, sonra onlar basamağını toplarız. Ama burada çarpma işlemi var. 24 ile 24’ü çarparken:
24
x 24
—–
96 (4 x 24)
480 (20 x 24)
—–
576
Yani $24^2 = 576$.
Şimdi bu değerleri denklemde yerine koyalım:
$49 + 576 = d^2$
Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:
49
+576
—-
625
Yani $d^2 = 625$.
Şimdi ‘d’yi bulmak için 625’in karekökünü almamız gerekiyor. Hangi sayının karesi 625’tir diye düşünelim. 20’nin karesi 400, 30’un karesi 900. O zaman sonuç 20 ile 30 arasında olmalı ve son rakamı 5 olduğu için 25 olabilir.
$25^2 = 25 times 25 = 625$.
Bu durumda $d = 25$ br olur.
Sonuç: $d = 25$ br
b)
Bu soruda da bir dik üçgenimiz var. Bu üçgenin bir dik kenarı 15 br, hipotenüsü ise 17 br olarak verilmiş. Bizden diğer dik kenarın uzunluğunu, yani ‘d’yi bulmamız isteniyor. Yine Pisagor bağıntısını kullanacağız.
Pisagor bağıntısı: $a^2 + b^2 = c^2$ (Burada ‘a’ ve ‘b’ dik kenarlar, ‘c’ ise hipotenüstür.)
Bizim sorumuzda: $15^2 + d^2 = 17^2$
Şimdi kareleri hesaplayalım:
$15^2 = 15 times 15 = 225$
$17^2 = 17 times 17$
17
x 17
—–
119 (7 x 17)
170 (10 x 17)
—–
289
Yani $17^2 = 289$.
Şimdi bu değerleri denklemde yerine koyalım:
$225 + d^2 = 289$
‘d²’yi yalnız bırakmak için 225’i denklemin diğer tarafına atalım. Karşıya geçerken işareti değişir:
$d^2 = 289 – 225$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
289
-225
—-
64
Yani $d^2 = 64$.
Şimdi ‘d’yi bulmak için 64’ün karekökünü alalım. Hangi sayının karesi 64’tür? $8 times 8 = 64$.
Bu durumda $d = 8$ br olur.
Sonuç: $d = 8$ br
c)
Bu soruda da bir dik üçgenimiz var. Dik kenarlarından biri 4 br, diğeri ise ‘s’ olarak verilmiş. Hipotenüs ise 8 br. Bizden ‘s’ kenarının uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Pisagor bağıntısını tekrar yazalım: $a^2 + b^2 = c^2$
Bizim sorumuzda: $4^2 + s^2 = 8^2$
Şimdi kareleri hesaplayalım:
$4^2 = 4 times 4 = 16$
$8^2 = 8 times 8 = 64$
Bu değerleri denklemde yerine koyalım:
$16 + s^2 = 64$
‘s²’yi yalnız bırakmak için 16’yı denklemin diğer tarafına atalım:
$s^2 = 64 – 16$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
64
-16
—-
48
Yani $s^2 = 48$.
Şimdi ‘s’yi bulmak için 48’in karekökünü almamız gerekiyor. 48 tam bir kare sayı olmadığı için, onu en sade köklü ifade şeklinde yazmaya çalışalım. 48’i çarpanlarına ayırabiliriz. Hangi sayının karesi 48’in içinde var diye düşünelim. 16, 48’in bir çarpanıdır ve 16’nın karekökü 4’tür.
$48 = 16 times 3$
Bu durumda:
$s = sqrt{48} = sqrt{16 times 3} = sqrt{16} times sqrt{3} = 4sqrt{3}$
Bu durumda $s = 4sqrt{3}$ br olur.
Sonuç: $s = 4sqrt{3}$ br
2. Örnek
Yandaki şekilde ABCD kare ve BEFC dikdörtgendir.
|AB| = 4 br ve |BE| = 8 br olduğuna göre x ve y değerlerini bulalım.
Çözüm
ABCD kare ise |AB| = |BC| = 4 ve |AB| $perp$ |BC|’dir. BEFC dikdörtgen ise |BC| $perp$ |BE|’dir. Buna göre ABC ve CBE dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısını kullanarak x ve y değerlerini bulalım.
Adım 1: x değerini bulma
Öncelikle ABC üçgenine bakalım. Bu bir dik üçgen ve dik kenarları |AB| ve |BC|. Hipotenüsü ise x. Verilen bilgilere göre |AB| = 4 br ve |BC| = 4 br (çünkü ABCD kare).
Pisagor bağıntısını uygulayalım:
$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$
$4^2 + 4^2 = x^2$
Kareleri hesaplayalım:
$4^2 = 16$
Yani,
$16 + 16 = x^2$
Toplama işlemini yapalım:
16
+ 16
—-
32
Bu durumda $x^2 = 32$.
Şimdi x’i bulmak için 32’nin karekökünü alalım. 32 tam bir kare sayı değil. En sade köklü ifadeyi bulmak için 32’yi çarpanlarına ayıralım. 32’nin içinde tam kare bir çarpan arıyoruz. 16, 32’nin bir çarpanıdır ve $sqrt{16} = 4$.
$32 = 16 times 2$
Bu durumda:
$x = sqrt{32} = sqrt{16 times 2} = sqrt{16} times sqrt{2} = 4sqrt{2}$
Yani, $x = 4sqrt{2}$ br bulunur.
Adım 2: y değerini bulma
Şimdi CBE üçgenine bakalım. Bu da bir dik üçgen. Dik kenarları |BC| ve |BE|. Hipotenüsü ise y. Verilen bilgilere göre |BC| = 4 br (çünkü ABCD kare) ve |BE| = 8 br.
Pisagor bağıntısını uygulayalım:
$|BC|^2 + |BE|^2 = |CE|^2$
$4^2 + 8^2 = y^2$
Kareleri hesaplayalım:
$4^2 = 16$
$8^2 = 64$
Bu değerleri denklemde yerine koyalım:
$16 + 64 = y^2$
Toplama işlemini yapalım:
16
+ 64
—-
80
Bu durumda $y^2 = 80$.
Şimdi y’yi bulmak için 80’in karekökünü alalım. 80 tam bir kare sayı değil. En sade köklü ifadeyi bulmak için 80’i çarpanlarına ayıralım. 80’in içinde tam kare bir çarpan arıyoruz. 16, 80’in bir çarpanıdır ve $sqrt{16} = 4$.
$80 = 16 times 5$
Bu durumda:
$y = sqrt{80} = sqrt{16 times 5} = sqrt{16} times sqrt{5} = 4sqrt{5}$
Yani, $y = 4sqrt{5}$ br bulunur.
Sonuç: x = $4sqrt{2}$ br ve y = $4sqrt{5}$ br
Umarım bu çözümler konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Unutmayın, pratik yaptıkça bu tür sorular sizin için çok daha kolay hale gelecek!