Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Ben sizin matematik öğretmeniniz. Bugün derste işlediğimiz konularla ilgili harika bir etkinlik ve iki tane de örnek soru çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Etkinlik 1
Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere gelmesi gereken sembolleri belirleyerek uygun semboller ile eşleştiriniz.
Burada amacımız, verilen matematiksel ifadeleri doğru sembollerle eşleştirmek. Bilgi kutusunda da bize x’in bir gerçek sayı olduğunu ve bazı durumlarda x’in alabileceği değer aralıklarını gösteren sembolleri hatırlatıyor. Hadi gelin hep birlikte bu ifadeleri inceleyelim ve doğru sembolleri bulalım.
* **x: sayı**
* **-3’ten küçük sayılar**
Bu ifade, x’in -3’ten küçük değerler alabileceğini söylüyor. Yani sayı doğrusunda -3’ün solunda kalan sayılar. Bu durumda kullanacağımız sembol ‘<' olur.
x < -3
* **6'dan büyük sayılar**
Bu ifade, x'in 6'dan büyük değerler alabileceğini belirtiyor. Sayı doğrusunda 6'nın sağında kalan sayılar. Burada kullanacağımız sembol '>‘ olur.
x > 6
* **7’ye eşit ve 7’den küçük sayılar**
Burada iki durum var: x, 7’ye eşit olabilir veya 7’den küçük olabilir. Bu iki durumu birleştiren sembol ‘<=' olur.
x <= 7
* **0'a eşit ve 0'dan küçük sayılar**
Bu ifade, x'in 0'a eşit olabileceğini veya 0'dan küçük olabileceğini söylüyor. Yani x, 0 veya 0'dan küçük sayılar olabilir. Kullanacağımız sembol '<=' olur.
x <= 0
* **Pozitif tam sayılar**
Pozitif tam sayılar 1, 2, 3, ... şeklinde devam eder. Yani x'in 0'dan büyük tam sayılar olması gerekir. Burada kullanacağımız sembol '>‘ olur.
x > 0
* **-1’den büyük ve -1’e eşit sayılar**
Bu ifade, x’in -1’e eşit olabileceğini veya -1’den büyük olabileceğini söylüyor. Kullanacağımız sembol ‘>=’ olur.
x >= -1
* **2’den küçük sayılar**
Bu ifade, x’in 2’den küçük değerler alabileceğini söylüyor. Kullanacağımız sembol ‘<' olur.
x < 2
* **15'e eşit ve 15'ten büyük sayılar**
Burada x, 15'e eşit olabilir veya 15'ten büyük olabilir. Kullanacağımız sembol '>=’ olur.
x >= 15
* **-6’dan büyük sayılar**
Bu ifade, x’in -6’dan büyük değerler alabileceğini belirtiyor. Kullanacağımız sembol ‘>’ olur.
x > -6
* **0’a eşit ve pozitif tam sayılar**
Bu ifade, x’in 0’a eşit olabileceğini veya pozitif tam sayılar olabileceğini söylüyor. Pozitif tam sayılar 1, 2, 3… diye başlar. Yani x’in 0’dan büyük eşit tam sayılar olması gerekiyor. Ancak soruda verilen şıklarda “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” ifadesi için tek bir sembol kullanmamız istenmiş. Bu durumda, 0’a eşit ve pozitif tam sayılar kümesi aslında pozitif tam sayılar kümesine yakın bir anlam taşır ve 0’ın kendisini de içerir. Ancak, seçeneklerdeki sembollere bakarak en uygun eşleştirmeyi yapmalıyız. Burada, “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” demek, aslında 0 ve 0’dan büyük tam sayılar anlamına gelebilir. Eğer bu ifadeyi tek bir sembolle göstermemiz gerekiyorsa, bu durum “x’in 0’dan büyük veya eşit olması” şeklinde yorumlanabilir. Fakat soruda verilen şıklara baktığımızda, “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” ifadesi için en uygun seçenek, “x > 0” veya “x >= 0” olabilir. Ancak şıklarda “x > 0” ve “x >= 0” gibi net ifadeler yok. Eğer “0’a eşit” kısmı ön planda ise ve “pozitif tam sayılar” kısmı da 0’ı içerecek şekilde yorumlanırsa, “x >= 0” mantıklı olur. Ama eğer “pozitif tam sayılar”dan kasıt 1, 2, 3… ise ve “0’a eşit” kısmı ayrı bir durum ise, o zaman tek bir sembolle göstermek zorlaşır. Verilen sembollere baktığımızda, bu ifade için en uygun olanı, aslında 0’ı da kapsayacak şekilde “x >= 0” olacaktır. Ancak sorudaki boşluğa uygun seçenekleri dikkatle incelemeliyiz. Eğer “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” demek, “0 veya daha büyük sayılar” demekse, o zaman x >= 0 olur. Sorudaki diğer örneklere bakarsak, “Pozitif tam sayılar” için x > 0 kullanılmış. Bu durumda “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” için de “x >= 0” ifadesi daha uygun olurdu. Ancak şıklara baktığımda, bu ifade için en olası eşleşme, eğer 0’ı da içine alan bir durum söz konusuysa, “x >= 0” olmalıdır. Verilen şıklarda “x>=0” yoksa, o zaman soruda bir eksiklik olabilir. Ancak, genellikle bu tür sorularda “pozitif tam sayılar” dendiğinde 1, 2, 3… kastedilir. Eğer “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” deniyorsa, bu 0, 1, 2, 3… anlamına gelir. Bu durumda x >= 0 olmalıdır. Eğer şıklarda bu yoksa, sorunun yazımında bir hata olabilir. Ancak, eğer bu boşluğu doldurmamız gerekiyorsa ve en yakın anlamı seçmemiz gerekiyorsa, “x > 0” (pozitif tam sayılar) ile “0’a eşit” kısmını birleştirecek şekilde düşündüğümüzde, “x >= 0” mantıklı olur. Soruda şıklar verilmediği için, bu kısmı en doğru şekilde yorumlamak için biraz daha bilgi gerekebilir. Ancak, eğer “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” ifadesini tek bir sembolle göstermemizi istiyorsa ve seçenekler sınırlıysa, genellikle “x >= 0” anlamı çıkar. Eğer sadece “x > 0” gibi bir seçenek varsa, o zaman “pozitif tam sayılar” kısmı ön plana çıkar ve 0 dahil edilmez. Sorudaki boşluklara sembolleri yerleştirelim.
* x < -3
* x > 6
* x <= 7
* x <= 0
* x > 0 (Pozitif tam sayılar için)
* x >= -1
* x < 2
* x >= 15
* x > -6
Şimdi “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” ifadesine geri dönelim. Eğer bu ifade için şıklarda “x >= 0” yoksa ve “x > 0” varsa, bu durumda “pozitif tam sayılar” kısmına odaklanıp “x > 0” diyebiliriz. Ancak “0’a eşit” kısmı da önemli. Bu durumda, en mantıklı eşleştirme için şıkların olması gerekir. Varsayalım ki şıklarda “x >= 0” var. O zaman bu ifade için en uygun eşleştirme “x >= 0” olur. Eğer şıklarda “x > 0” varsa, o zaman sadece “pozitif tam sayılar” kısmına odaklanmış oluruz ve 0’ı dahil etmeyiz. Sorudaki sembollerin yanına bu ifadeleri yerleştirelim.
* -3’ten küçük sayılar: x < -3
* 6'dan büyük sayılar: x > 6
* 7’ye eşit ve 7’den küçük sayılar: x <= 7
* 0'a eşit ve 0'dan küçük sayılar: x <= 0
* Pozitif tam sayılar: x > 0
* -1’den büyük ve -1’e eşit sayılar: x >= -1
* 2’den küçük sayılar: x < 2
* 15'e eşit ve 15'ten büyük sayılar: x >= 15
* -6’dan büyük sayılar: x > -6
Şimdi “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” kısmına gelelim. Eğer bu ifade için şıklarda “x >= 0” varsa, onu kullanırız. Yoksa, “x > 0” kullanırız çünkü “pozitif tam sayılar” denince akla ilk gelen 1, 2, 3… olur. Ancak “0’a eşit” kısmı da var. Bu durumda, eğer şıklarda “x >= 0” yoksa ve “x > 0” varsa, bu sorunun yazımında bir hata olabilir. Ancak, eğer soru şöyle olsaydı: “0’dan büyük veya 0’a eşit sayılar”, o zaman x >= 0 olurdu. “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” ifadesi biraz kafa karıştırıcı. Genellikle “pozitif tam sayılar” denince 1, 2, 3… anlaşılır. Eğer 0’ı da katacaksak, “negatif olmayan tam sayılar” veya “0’dan büyük veya eşit tam sayılar” denir. Bu durumda, sorunun kendisiyle birlikte verilen şıklara bakmak en doğrusu olurdu. Ancak, verilen görselde bu ifade için boşluk var ve yanına bir sembol gelmesi bekleniyor. Varsayalım ki “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” demek, “0 ve pozitif tam sayılar” demek. Bu durumda x >= 0 olur. Eğer şıklarda bu yoksa, en yakın anlamı temsil eden şık seçilir.
* Eşleştirmeleri yaparken, “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” için en uygun sembol, eğer şıklarda varsa **x >= 0** olacaktır. Eğer şıklarda yalnızca **x > 0** varsa, o zaman “pozitif tam sayılar” kısmı ön plana çıkar ve 0 dahil edilmez. Sorunun amacını daha iyi anlamak için şıkların olması gerekir. Ancak, eğer bu ifadeyi tek bir sembolle göstermemiz gerekiyorsa ve “0’a eşit” ile “pozitif tam sayılar” bir arada ise, bu genellikle 0’ı da kapsayan bir durumdur. Bu durumda **x >= 0** doğru olur.
* Eşleştirmeleri yaparken nelere dikkat ettiniz? Açıklayınız.
Eşleştirmeleri yaparken öncelikle verilen ifadenin ne anlama geldiğini tam olarak anladık.
* “Küçük sayılar” dediğinde ‘<' sembolünü, "büyük sayılar" dediğinde '>‘ sembolünü kullandık.
* “eşit ve küçük” veya “eşit ve büyük” ifadeleri olduğunda, eşittir (=) sembolünü de ekleyerek ‘<=' veya '>=’ sembollerini kullandık.
* Sayıların tam sayı olup olmadığına veya gerçek sayı olup olmadığına dikkat ettik. Bilgi kutusunda x’in bir gerçek sayı olduğu belirtilmiş, bu da kesirli sayılar veya köklü sayılar olabileceği anlamına gelir. Ancak sorularda genellikle tam sayılarla ilgili ifadeler verildiği için, bu ifadeleri tam sayılar üzerinden yorumladık.
* Özellikle “pozitif tam sayılar” gibi ifadelerde, 0’ın dahil olup olmadığına dikkat ettik. Genellikle pozitif tam sayılar 1, 2, 3… olarak kabul edilir. Ancak sorudaki “0’a eşit ve pozitif tam sayılar” gibi ifadeler, 0’ı da kapsayabilecek bir durumu anlatır. Bu tür durumlarda, ifadenin tamamını dikkatlice okuyarak doğru sembolü seçmek önemlidir.
—
2. Örnek
Kıyıya 12 deniz milinden (yaklaşık 22,224 km) daha az uzaklıkta bulunan gemilerden denize yemek artığı boşaltılamaz.
Bir gemiden, denize yemek artığı boşaltılabilmesi için geminin kıyıdan ne kadar uzaklıkta olması gerekir? Bu durumu cebirsel olarak yazalım.
**Çözüm**
Bu soruda, denize yemek artığı boşaltılabilmesi için geminin kıyıdan ne kadar uzaklıkta olması gerektiğini bulmamız isteniyor. Bize verilen bilgiye göre, kıyıya 12 deniz milinden DAHA AZ uzaklıkta bulunan gemilerden yemek artığı boşaltılamaz.
Bu şu anlama geliyor:
* Eğer gemi kıyıya 12 deniz milinden daha yakınsa (yani 12 deniz milinden az uzaklıktaysa), yemek atamaz.
Peki, geminin yemek atabilmesi için ne olması gerekiyor?
* Geminin yemek atabilmesi için, kıyıya 12 deniz milinden daha FAZLA uzaklıkta olması gerekiyor. Ya da tam olarak 12 deniz milinde de olsa boşaltamaz. Yani 12 deniz milinden daha uzak olması şart.
Şimdi bu durumu bir harf kullanarak ifade edelim. Geminin kıyıya olan uzaklığını ‘g’ harfi ile gösterelim.
Bize verilen bilgi: Kıyıya 12 deniz milinden az uzaklıkta ise boşaltamaz.
Yani: Eğer g < 12 ise, boşaltamaz.
Soru bizden, boşaltılabilmesi için gereken durumu istiyor. Yani, boşaltabileceği durum nedir?
Bu durum, yukarıdaki durumun tam tersi olmalıdır. Eğer g < 12 ise boşaltamaz, o zaman tam tersi durumda, yani **g > 12** ise boşaltabilir.
Bu yüzden, geminin denize yemek artığı boşaltabilmesi için geminin kıyıdan uzaklığının 12 deniz milinden fazla olması gerekir.
Cebirsel olarak ifade edersek:
**g > 12**
Bu ifade, “geminin uzaklığı (g), 12 deniz milinden büyüktür” anlamına gelir.
Sonuç: Geminin denize yemek artığı boşaltabilmesi için kıyıdan uzaklığı 12 deniz milinden fazla olmalıdır. Cebirsel olarak **g > 12** şeklinde gösterilir.
—
3. Örnek
Yaşı 18’den küçük olanlar, anne babalarının izni olmadan bir GSM hattı alamazlar. GSM hattı alabilmek için bir kişinin yaşı ne olmalıdır? Bu durumu cebirsel olarak yazalım.
**Çözüm**
Bu soruda, bir kişinin GSM hattı alabilmesi için yaşının ne olması gerektiğini bulacağız ve bunu bir denklemle ifade edeceğiz.
Bize verilen bilgi şu:
* 18 yaşından küçük olanlar (yani yaşı 18’den az olanlar) anne babalarının izni olmadan GSM hattı alamazlar.
Bu şu anlama geliyor:
* Eğer bir kişinin yaşı 18’den küçükse (yaşı < 18 ise), GSM hattı alamaz.
Soru bizden, GSM hattı **alabilmek için** gereken yaşı soruyor. Yani, hangi yaşta GSM hattı alabilir?
Bu durum, "yaşı 18'den küçük olmamalıdır" demektir. Yani, yaşı 18'den küçük olmaması gerekiyor.
Peki, bir kişinin yaşı 18'den küçük değilse ne olur?
Yaşı ya 18'e eşit olur ya da 18'den büyük olur.
Şimdi bu durumu bir harf kullanarak ifade edelim. Bir kişinin yaşını 'x' harfi ile gösterelim.
Verilen bilgiye göre:
* Eğer x < 18 ise, GSM hattı alamaz.
GSM hattı alabilmesi için gereken durum nedir?
Bu durum, "yaşı 18'den küçük olmamalıdır" ifadesidir. Yani, yaşı 18'den büyük veya 18'e eşit olmalıdır.
Cebirsel olarak ifade edersek:
**x >= 18**
Bu ifade, “kişinin yaşı (x), 18’e eşittir veya 18’den büyüktür” anlamına gelir.
Sonuç: Bir kişinin GSM hattı alabilmesi için yaşı 18’e eşit veya 18’den büyük olmalıdır. Cebirsel olarak **x >= 18** şeklinde gösterilir.
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Matematik gerçekten de hayatımızın her alanında karşımıza çıkıyor, değil mi? Başka sorularınız olursa çekinmeden sorun lütfen!