Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün sizlerle benzerlik konusunu pekiştirecek harika bir soru çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
4. Örnek
Yanda verilen üçgenlerin benzerliklerini gösterelim.
Bu soruda bize iki tane üçgen verilmiş. Bu üçgenlerin benzer olup olmadığını anlamamız isteniyor. Benzerlik, geometride iki şeklin aynı şekle sahip olup kenar uzunluklarının orantılı olması ve karşılıklı açılarının eşit olması demektir.
Çözüm:
Kareli zeminde verilen şekilde [AB] // [DE]‘dir. Bu, AB doğrusunun DE doğrusuna paralel olduğu anlamına gelir. Bu bilgi bize sorunun çözümünde yardımcı olacak.
O halde, eğer iki doğru birbirine paralelse ve bir kesen varsa, yöndeş açılar veya iç ters açılar birbirine eşit olur. Burada da benzer üçgenler elde etmek için bu durumdan faydalanacağız.
- m($hat{B}$) = m($hat{D}$): Bu iki açının eşit olması, AB’nin DE’ye paralel olmasından dolayı C noktasından çıkan doğrularla oluşan iç ters açılar veya yöndeş açılar olabileceğini gösterir.
- m($hat{A}$) = m($hat{E}$): Benzer şekilde bu açılar da eşit olacaktır.
Ayrıca, soruda bize bazı eşitlikler verilmiş:
- 2 . |DC| = |BC|
- 2 . |DE| = |AB|
- 2 . |EC| = |AE|
Bu eşitlikler bize, üçgenlerin kenar uzunlukları arasında bir oran olduğunu söylüyor. Eğer iki üçgenin karşılıklı tüm açıları birbirine eşitse ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılıysa, bu iki üçgen benzerdir diyebiliriz.
Bu bilgiler ışığında, birbirine karşılık gelen açı ölçüleri eşit ve üçgenlerin kenar uzunlukları orantılı olduğundan;
$triangle ABC sim triangle EDC$
Bu ifade, ABC üçgeninin EDC üçgenine benzer olduğunu gösterir. Benzerlik sembolü olarak $sim$ kullanılır.
Şimdi de “Öğrendiklerimizi Uygulayalım” kısmındaki sorulara bakalım!
1. Aşağıdaki kareli bölgede verilen şekillerden eş ve benzer olanları belirleyiniz.
Bu soruda bize kareli zemin üzerine çizilmiş farklı şekiller verilmiş. Bizden bu şekillerden hangilerinin hem eş hem de hangilerinin benzer olduğunu bulmamız isteniyor. Eş şekiller, hem kenar uzunlukları hem de açıları birbirinin aynısı olan şekillerdir. Benzer şekiller ise, açıları eşit ama kenar uzunlukları orantılı olan şekillerdir.
Şimdi şekilleri tek tek inceleyelim:
- Birinci Şekil (Soldaki Beşgen): Bu şeklin kenar uzunluklarını ve açısını inceleyerek diğer şekillerle karşılaştırabiliriz.
- İkinci Şekil (Ortadaki Üçgen ve Dikdörtgen): Bu şeklin içinde bir üçgen ve bir dikdörtgen var. Bu şekillerin kendi içlerinde veya diğer şekillerle benzerlik veya eşlik durumlarını incelememiz gerekiyor.
- Üçüncü Şekil (Sağdaki Üçgen): Bu üçgenin kenar uzunluklarını ve açılarını kontrol edelim.
- Dördüncü Şekil (Alttaki Dikdörtgen): Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve açılarını inceleyelim.
Bu şekiller arasında eşlik veya benzerlik bulmak için her birinin kenar uzunluklarını ve açılarını dikkatlice ölçmemiz veya kareli zemindeki birimlere göre karşılaştırmamız gerekir. Örneğin, kareli zeminde kenar uzunluklarını sayarak karşılaştırabiliriz.
Bu şekiller arasında, özellikle de üçgenler arasında benzerlik veya eşlik olup olmadığını belirlemek için:
- Açıları Eşit mi?
- Kenar Uzunlukları Orantılı mı? (Benzerlik için)
- Kenar Uzunlukları Tamamen Aynı mı? (Eşlik için)
Bu sorunun cevabı görselde verilmediği için, öğrencilerin bu adımları takip ederek kendilerinin bulması beklenmektedir. Ancak genel bir yaklaşımla, benzer veya eş şekilleri bulmak için kenar uzunluklarını ve açıları karşılaştırmamız gerekmektedir.
2. Aşağıdaki şekillerde eş olan üçgenleri belirleyiniz.
Bu soruda bize üç farklı üçgen verilmiş ve bu üçgenlerden hangilerinin birbirine eş olduğunu bulmamız isteniyor. Eş üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları birbirine eşit olan üçgenlerdir.
Şimdi her bir üçgeni inceleyelim:
a)
Bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu görüyoruz. Dik açının olduğu köşeyi, tabanı ve yüksekliği belirleyelim. Tabanı BC, yüksekliği ise AD‘dir. AD’nin BC’yi dik olarak ortaladığı görülüyor. Yani |BD| = |DC| ve m($hat{ADB}$) = m($hat{ADC}$) = 90°.
b)
Bu şekil bir dikdörtgendir ve köşegenleri çizilmiştir. Köşegenlerin kesiştiği noktaya P denmiş. Bu kesişim noktası, köşegenlerin orta noktasıdır. Bu da dikdörtgenin tüm kenar uzunluklarının eşit olduğunu (kare olduğunu varsayarsak) ve köşegenlerin birbirini ortaladığını gösterir. Bu durumda oluşan dört tane üçgen oluşur. Bu üçgenlerin hepsinin birbirine eş olduğunu söyleyebiliriz. Özellikle $triangle ABD$ ve $triangle CDB$ gibi üçgenlere bakarsak, kenar uzunlukları ve açılar aynı olacaktır. Soruda sadece üçgenler sorulduğu için, burada oluşan $triangle APB$, $triangle BPC$, $triangle CPD$, $triangle DPA$ gibi üçgenlerin de eş olduğunu söyleyebiliriz.
c)
Bu şekil bir yamuktur. AM ve BN dikmeleri çizilmiş. AD ve BC kenarlarında çift çizgiler var, bu da bu kenarların eşit uzunlukta olduğunu gösterir. Ayrıca açılarda da işaretler var, bu da bazı açıların eşit olduğunu gösterir. Bu üçgenleri incelediğimizde, $triangle ADM$ ve $triangle BCN$ üçgenlerine bakabiliriz. Her ikisi de dik üçgen. |AD| = |BC| verilmiş. Eğer yamuğun tepe noktalarından indirilen dikmelerin ayakları arasındaki mesafe (MN) ile taban arasındaki ilişkiyi bilseydik, daha net bir sonuca varabilirdik. Ancak verilen bilgilere göre, bu üçgenlerin eş olduğunu söylemek için ek bilgilere ihtiyacımız var.
Şimdi bu üçgenlerin eş olup olmadığını daha detaylı inceleyelim:
- Üçgen a): Bir ikizkenar üçgen. Tabanı ortadan ikiye bölen yükseklik var.
- Üçgen b): Dikdörtgenin köşegenleri ile oluşan üçgenler. Bu üçgenlerin hepsi birbirine eşittir.
- Üçgen c): Bir ikizkenar yamuk. İki yan kenarı eşit ve taban açıları eşit (görseldeki işaretlerden anlaşılıyor). Bu durumda, yamuğun tepe noktalarından tabanlara indirilen dikmelerle oluşan üçgenler de birbirine eşittir. Yani $triangle ADM$ ve $triangle BCN$ üçgenleri eşittir.
Dolayısıyla, bu soruda eş olan üçgenler şunlardır:
- Şekil b)’deki köşegenlerin oluşturduğu tüm dört üçgen birbirine eşittir.
- Şekil c)’deki $triangle ADM$ ve $triangle BCN$ üçgenleri birbirine eşittir.
Şekil a)’daki üçgenin eşi bu şekiller arasında yer almıyor gibi görünüyor, ancak eğer şekil b)’deki üçgenlerden biri şekil a) ile eş ise, o zaman onlar da eş olurdu. Fakat şekil a)’daki üçgenin kenar uzunlukları ile şekil b)’deki üçgenlerin kenar uzunlukları farklı görünüyor.
Sonuç olarak, eş olan üçgenler şekil b)’de oluşan köşegenlerden meydana gelen dört üçgen ve şekil c)’deki yan kenarlarından oluşan iki dik üçgendir.