Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim! Matematik dersinde sana yardımcı olmak için buradayım. Görseldeki soruları birlikte adım adım çözeceğiz. Unutma, her sorunun bir çözümü var ve biz o çözümleri senin anlayacağın dilde anlatacağız. Hazırsan başlayalım!
13. $sqrt{10}-sqrt{40}-sqrt{13}+sqrt{9}$ = A ise A’nın değeri kaçtır?
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
Sevgili öğrencim, bu soruda kareköklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemi yapmamız isteniyor. İlk yapmamız gereken şey, karekök içindeki sayıları mümkün olduğunca sadeleştirmek.
Adım 1: Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
- $sqrt{10}$ zaten en sade halindedir.
- $sqrt{40} = sqrt{4 times 10} = sqrt{4} times sqrt{10} = 2sqrt{10}$
- $sqrt{13}$ zaten en sade halindedir.
- $sqrt{9} = 3$
Adım 2: Sadeleştirdiğimiz ifadeleri yerlerine yazalım.
$sqrt{10} – 2sqrt{10} – sqrt{13} + 3$
Adım 3: Benzer terimleri bir araya getirelim.
- $sqrt{10}$’lu terimleri birleştirelim: $sqrt{10} – 2sqrt{10} = (1-2)sqrt{10} = -sqrt{10}$
- Sabit sayıyı ve $sqrt{13}$’lü terimi ayrı tutalım.
Şimdi ifademiz şu hale geldi: $-sqrt{10} – sqrt{13} + 3$
Soruda bir hata olmuş gibi görünüyor. Verilen şıklarda tam sayılar var. Eğer soru $sqrt{10}-sqrt{40}+sqrt{13}-sqrt{9}$ şeklinde olsaydı:
$sqrt{10} – 2sqrt{10} + sqrt{13} – 3 = -sqrt{10} + sqrt{13} – 3$ olurdu.
Eğer soru $sqrt{100}-sqrt{40}-sqrt{13}+sqrt{9}$ şeklinde olsaydı:
$10 – 2sqrt{10} – sqrt{13} + 3 = 13 – 2sqrt{10} – sqrt{13}$ olurdu.
Sorunun orijinal haliyle şıklara uygun bir sonuç çıkmıyor. Ancak, eğer soruda bir yazım hatası olduğunu varsayıp, $sqrt{40}$ yerine $sqrt{16}$ gibi bir ifade olsaydı veya başka bir düzenleme olsaydı şıklardan biri çıkabilirdi. Mevcut haliyle soru hatalı görünüyor.
Ancak, eğer sorunun aslında $sqrt{100}-sqrt{40}-sqrt{13}+sqrt{9}$ olduğunu varsayarsak, bu da tam olarak şıklara uymuyor. Eğer sorunun $sqrt{100}-sqrt{40} + sqrt{169}-sqrt{9}$ gibi bir şey olması daha olasıdır. Ama verilen haliyle en yakın mantıkla ilerleyelim.
Sorunun orijinal haliyle şıklardan biri çıkmadığı için, bu soruyu geçelim.
Not: Bu tür sorularda, eğer şıklar tam sayı ise, genellikle karekök içindeki ifadeler tam kare sayılarla çarpılarak sadeleştirilir ve sonuç tam sayı çıkar. Mevcut soruda $sqrt{10}$ ve $sqrt{13}$ sadeleşmediği için tam sayı elde etmek zor.
14. Alani 121 m² olan kare biçimindeki bir tarlanın çevresi aşağıdakilerden hangisidir?
a) 11 m
b) 22 m
c) 33 m
d) 44 m
Sevgili öğrencim, bu soruda bize bir karenin alanı verilmiş ve çevresi soruluyor. Bir karenin alanını bulmak için bir kenar uzunluğunu kendisiyle çarparız. Yani alan = kenar × kenar.
Adım 1: Karenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
Karenin alanı 121 m² ise, bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
Kenar uzunluğu = $sqrt{121}$ m
Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 121 eder? Bu sayı 11’dir. Çünkü $11 times 11 = 121$.
Yani karenin bir kenar uzunluğu 11 metredir.
Adım 2: Karenin çevresini hesaplayalım.
Bir karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Çevre = 4 × kenar uzunluğu.
Çevre = 4 × 11 m
Çevre = 44 m
Sonuç olarak, karenin çevresi 44 metredir.
Doğru cevap d) 44 m
15. $sqrt{72} + sqrt{98} = A$ eşitliğini sağlayan A sayısının aşağıdaki sayılardan hangisi ile çarpılırsa sonuç bir rasyonel sayı olur?
a) $sqrt{2}$
b) $sqrt{3}$
c) $sqrt{7}$
d) $2sqrt{7}$
Merhaba canım öğrencim, bu soruda önce A’nın değerini bulmamız ve sonra da A’yı hangi sayıyla çarparsak sonucun rasyonel sayı olacağını bulmamız gerekiyor. Rasyonel sayı, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır ve köklü olmayan sayılar rasyonel sayılardır.
Adım 1: A’nın değerini bulalım.
A = $sqrt{72} + sqrt{98}$
Önce kareköklü ifadeleri sadeleştirelim:
- $sqrt{72} = sqrt{36 times 2} = sqrt{36} times sqrt{2} = 6sqrt{2}$
- $sqrt{98} = sqrt{49 times 2} = sqrt{49} times sqrt{2} = 7sqrt{2}$
Şimdi A’nın değerini hesaplayalım:
A = $6sqrt{2} + 7sqrt{2}$
Benzer terimleri topladığımızda:
A = $(6+7)sqrt{2} = 13sqrt{2}$
Adım 2: A’yı hangi sayıyla çarparsak sonuç rasyonel olur, bulalım.
A sayımız $13sqrt{2}$. Bu sayıyı rasyonel yapmak için, içindeki $sqrt{2}$’den kurtulmamız gerekiyor. Bunun için $sqrt{2}$ ile çarpmalıyız. Çünkü $sqrt{2} times sqrt{2} = 2$’dir ve 2 rasyonel bir sayıdır.
Şimdi şıklara bakalım:
- a) $sqrt{2}$: $A times sqrt{2} = 13sqrt{2} times sqrt{2} = 13 times (sqrt{2} times sqrt{2}) = 13 times 2 = 26$. 26 bir rasyonel sayıdır.
- b) $sqrt{3}$: $A times sqrt{3} = 13sqrt{2} times sqrt{3} = 13sqrt{6}$. Bu irrasyonel bir sayıdır.
- c) $sqrt{7}$: $A times sqrt{7} = 13sqrt{2} times sqrt{7} = 13sqrt{14}$. Bu irrasyonel bir sayıdır.
- d) $2sqrt{7}$: $A times 2sqrt{7} = 13sqrt{2} times 2sqrt{7} = 26sqrt{14}$. Bu irrasyonel bir sayıdır.
Gördüğümüz gibi, A sayısını $sqrt{2}$ ile çarptığımızda sonuç rasyonel bir sayı oluyor.
Doğru cevap a) $sqrt{2}$
16. $A = sqrt{80} + sqrt{45}$ ve $B = sqrt{5} + sqrt{20}$ ise A-B’nin değeri nedir?
a) $5sqrt{2}$
b) $4sqrt{5}$
c) $5sqrt{6}$
d) $6sqrt{5}$
Sevgili öğrencim, bu soruda iki farklı ifade verilmiş ve bizden bu iki ifadenin farkını bulmamız isteniyor. Yine ilk adımımız kareköklü ifadeleri sadeleştirmek olacak.
Adım 1: A’nın değerini sadeleştirerek bulalım.
A = $sqrt{80} + sqrt{45}$
- $sqrt{80} = sqrt{16 times 5} = sqrt{16} times sqrt{5} = 4sqrt{5}$
- $sqrt{45} = sqrt{9 times 5} = sqrt{9} times sqrt{5} = 3sqrt{5}$
Şimdi A’yı toplayalım:
A = $4sqrt{5} + 3sqrt{5} = (4+3)sqrt{5} = 7sqrt{5}$
Adım 2: B’nin değerini sadeleştirerek bulalım.
B = $sqrt{5} + sqrt{20}$
- $sqrt{5}$ zaten en sade halindedir.
- $sqrt{20} = sqrt{4 times 5} = sqrt{4} times sqrt{5} = 2sqrt{5}$
Şimdi B’yi toplayalım:
B = $sqrt{5} + 2sqrt{5} = (1+2)sqrt{5} = 3sqrt{5}$
Adım 3: A – B işlemini yapalım.
A – B = $7sqrt{5} – 3sqrt{5}$
Benzer terimleri çıkardığımızda:
A – B = $(7-3)sqrt{5} = 4sqrt{5}$
Sonuç olarak, A-B’nin değeri $4sqrt{5}$’tir.
Doğru cevap b) $4sqrt{5}$
17. x = $sqrt{2}$ olduğuna göre $sqrt{8} + sqrt{128} – sqrt{50}$ ifadesinin x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2x
b) 3x
c) 4x
d) 5x
Merhaba canım öğrencim, bu soruda bize x’in değeri verilmiş ve bir kareköklü ifade soruluyor. Bizden istenen, bu kareköklü ifadeyi x cinsinden yazmak.
Adım 1: Kareköklü ifadeyi sadeleştirelim.
İfademiz: $sqrt{8} + sqrt{128} – sqrt{50}$
- $sqrt{8} = sqrt{4 times 2} = sqrt{4} times sqrt{2} = 2sqrt{2}$
- $sqrt{128} = sqrt{64 times 2} = sqrt{64} times sqrt{2} = 8sqrt{2}$
- $sqrt{50} = sqrt{25 times 2} = sqrt{25} times sqrt{2} = 5sqrt{2}$
Adım 2: Sadeleştirdiğimiz ifadeleri yerine yazarak işlemi yapalım.
İfade = $2sqrt{2} + 8sqrt{2} – 5sqrt{2}$
Benzer terimleri toplayıp çıkaralım:
İfade = $(2+8-5)sqrt{2} = (10-5)sqrt{2} = 5sqrt{2}$
Adım 3: İfadeyi x cinsinden yazalım.
Bize soruda x = $sqrt{2}$ olarak verilmişti.
Bulduğumuz sonuç $5sqrt{2}$. Bunu x cinsinden yazarsak:
$5sqrt{2} = 5 times x = 5x$
Yani, ifadenin x cinsinden değeri 5x’tir.
Doğru cevap d) 5x
18. $sqrt{147} + sqrt{175} – sqrt{75} = asqrt{3} + bsqrt{7}$ ise a+b aşağıdakilerden hangisidir?
a) 10
b) 7
c) 6
d) 5
Sevgili öğrencim, bu soruda bize bir eşitlik verilmiş ve bu eşitlikten a ve b’nin değerlerini bulup toplamamız isteniyor. Yine ilk işimiz kareköklü ifadeleri sadeleştirmek olacak.
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
Sol taraf: $sqrt{147} + sqrt{175} – sqrt{75}$
- $sqrt{147} = sqrt{49 times 3} = sqrt{49} times sqrt{3} = 7sqrt{3}$
- $sqrt{175} = sqrt{25 times 7} = sqrt{25} times sqrt{7} = 5sqrt{7}$
- $sqrt{75} = sqrt{25 times 3} = sqrt{25} times sqrt{3} = 5sqrt{3}$
Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyalım:
Sol taraf = $7sqrt{3} + 5sqrt{7} – 5sqrt{3}$
Benzer terimleri bir araya getirelim:
Sol taraf = $(7sqrt{3} – 5sqrt{3}) + 5sqrt{7}$
Sol taraf = $(7-5)sqrt{3} + 5sqrt{7}$
Sol taraf = $2sqrt{3} + 5sqrt{7}$
Adım 2: Elde ettiğimiz ifadeyi verilen eşitlikle karşılaştıralım.
Elde ettiğimiz ifade: $2sqrt{3} + 5sqrt{7}$
Verilen eşitlik: $asqrt{3} + bsqrt{7}$
Bu iki ifade birbirine eşit olduğuna göre, $sqrt{3}$’ün katsayıları ve $sqrt{7}$’nin katsayıları kendi aralarında eşit olmalıdır.
- $a = 2$ (çünkü $asqrt{3}$ ile $2sqrt{3}$ eşit)
- $b = 5$ (çünkü $bsqrt{7}$ ile $5sqrt{7}$ eşit)
Adım 3: a + b işlemini yapalım.
a + b = $2 + 5 = 7$
Sonuç olarak, a+b’nin değeri 7’dir.
Doğru cevap b) 7
19. $frac{3^2 – sqrt{81}}{6}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) $frac{1}{2}$
b) 0
c) $frac{1}{3}$
d) $frac{1}{6}$
Merhaba canım öğrencim, bu soruda bir işlem önceliği sorusu var. Üslü sayılar, karekökler ve çıkarma, bölme işlemleri bir arada. Dikkatli olalım.
Adım 1: Üslü ifadeyi ve karekökü hesaplayalım.
- $3^2$ demek, 3’ü kendisiyle çarpmak demektir: $3 times 3 = 9$.
- $sqrt{81}$ demek, hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 81 eder diye sormaktır. Bu sayı 9’dur. Çünkü $9 times 9 = 81$.
Adım 2: Hesapladığımız değerleri ifadede yerine koyalım.
İfade = $frac{9 – 9}{6}$
Adım 3: Pay kısmındaki çıkarma işlemini yapalım.
Pay kısmı = $9 – 9 = 0$
Şimdi ifademiz şöyle oldu:
İfade = $frac{0}{6}$
Adım 4: Bölme işlemini yapalım.
Sıfırı herhangi bir sayıya böldüğümüzde sonuç sıfır olur.
İfade = 0
Sonuç olarak, işlemin sonucu 0’dır.
Doğru cevap b) 0
20. $sqrt{3} cdot (sqrt{27} – sqrt{75})$ işleminin sonucu kaçtır?
a) 9
b) 6
c) -6
d) -9
Sevgili öğrencim, bu soruda bir çarpma ve parantez içi çıkarma işlemi var. İşlem önceliğine dikkat ederek ilerleyelim.
Adım 1: Parantez içindeki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
- $sqrt{27} = sqrt{9 times 3} = sqrt{9} times sqrt{3} = 3sqrt{3}$
- $sqrt{75} = sqrt{25 times 3} = sqrt{25} times sqrt{3} = 5sqrt{3}$
Adım 2: Sadeleştirdiğimiz ifadeleri parantez içine yerleştirelim.
Parantez içi = $3sqrt{3} – 5sqrt{3}$
Benzer terimleri çıkardığımızda:
Parantez içi = $(3-5)sqrt{3} = -2sqrt{3}$
Adım 3: Şimdi dışarıdaki $sqrt{3}$ ile parantez içindeki sonucu çarpalım.
İşlem = $sqrt{3} cdot (-2sqrt{3})$
Çarpma işlemini yaparken, sayılar kendi aralarında, köklü sayılar kendi aralarında çarpılır.
İşlem = $(-2) times (sqrt{3} times sqrt{3})$
Bildiğimiz gibi $sqrt{3} times sqrt{3} = 3$’tür.
İşlem = $(-2) times 3 = -6$
Sonuç olarak, işlemin sonucu -6’dır.
Doğru cevap c) -6
21. $sqrt{2} cdot frac{1}{sqrt{3}} cdot sqrt{18}$ işleminin sonucu kaçtır?
a) $sqrt{2}$
b) $sqrt{3}$
c) $2sqrt{3}$
d) $3sqrt{3}$
Merhaba canım öğrencim, bu soruda da çarpma işlemleri var. Yine kareköklü ifadeleri sadeleştireceğiz ve sonra çarpacağız.
Adım 1: Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
- $sqrt{2}$ zaten en sade halindedir.
- $frac{1}{sqrt{3}}$ ifadesi de böyle kalsın şimdilik.
- $sqrt{18} = sqrt{9 times 2} = sqrt{9} times sqrt{2} = 3sqrt{2}$
Adım 2: Sadeleştirdiğimiz ifadeleri yerine koyarak çarpma işlemini yapalım.
İşlem = $sqrt{2} cdot frac{1}{sqrt{3}} cdot 3sqrt{2}$
Şimdi çarpma işlemini yaparken, payları kendi aralarında, paydaları kendi aralarında çarpabiliriz. Veya sayıları bir araya getirebiliriz.
İşlem = $frac{sqrt{2} times 1 times 3sqrt{2}}{sqrt{3}}$
Pay kısmını çarpalım:
Pay = $sqrt{2} times 3sqrt{2} = 3 times (sqrt{2} times sqrt{2}) = 3 times 2 = 6$
Şimdi ifademiz şu hale geldi:
İşlem = $frac{6}{sqrt{3}}$
Bu ifadeyi şıklara benzetmek için paydadaki kökten kurtulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için hem payı hem de paydayı $sqrt{3}$ ile çarparız (paydada kökten kurtulma işlemi).
İşlem = $frac{6}{sqrt{3}} times frac{sqrt{3}}{sqrt{3}}$
İşlem = $frac{6sqrt{3}}{(sqrt{3} times sqrt{3})}$
İşlem = $frac{6sqrt{3}}{3}$
Şimdi sadeleştirme yapabiliriz:
İşlem = $2sqrt{3}$
Sonuç olarak, işlemin sonucu $2sqrt{3}$’tür.
Doğru cevap c) $2sqrt{3}$
22. $frac{sqrt{54} + 2sqrt{24}}{5sqrt{6} – sqrt{96}}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2
b) $sqrt{6}$
c) 5
d) 7
Sevgili öğrencim, bu soruda bir kesir var ve kesrin hem payında hem de paydasında kareköklü ifadeler var. Yine ilk yapmamız gereken şey bu kareköklü ifadeleri sadeleştirmek.
Adım 1: Pay kısmındaki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
Pay = $sqrt{54} + 2sqrt{24}$
- $sqrt{54} = sqrt{9 times 6} = sqrt{9} times sqrt{6} = 3sqrt{6}$
- $sqrt{24} = sqrt{4 times 6} = sqrt{4} times sqrt{6} = 2sqrt{6}$
Şimdi pay kısmını toplayalım:
Pay = $3sqrt{6} + 2 times (2sqrt{6})$
Pay = $3sqrt{6} + 4sqrt{6}$
Pay = $(3+4)sqrt{6} = 7sqrt{6}$
Adım 2: Payda kısmındaki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
Payda = $5sqrt{6} – sqrt{96}$
- $5sqrt{6}$ zaten sade halindedir.
- $sqrt{96} = sqrt{16 times 6} = sqrt{16} times sqrt{6} = 4sqrt{6}$
Şimdi payda kısmını çıkaralım:
Payda = $5sqrt{6} – 4sqrt{6}$
Payda = $(5-4)sqrt{6} = 1sqrt{6} = sqrt{6}$
Adım 3: Sadeleştirdiğimiz pay ve payda ile kesri oluşturalım.
Kesir = $frac{7sqrt{6}}{sqrt{6}}$
Adım 4: Kesri sadeleştirelim.
Pay ve paydadaki $sqrt{6}$’lar birbirini götürür.
Kesir = 7
Sonuç olarak, işlemin sonucu 7’dir.
Doğru cevap d) 7
23. Bir grup öğrenciye, hangi meyve suyunu sevdikleri sorulmuş ve yukarıdaki sıklık tablosu oluşturulmuştur. Bu tablo, daire grafiğinde gösterilecek olursa kayısı suyunu gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?
| Meyve Suyu Çeşitleri | Sayı |
| :——————- | :— |
| Portakal | 5 |
| Şeftali | 20 |
| Kayısı | 15 |
| Elma | 13 |
| Karışık | 7 |
a) 75°
b) 80°
c) 85°
d) 90°
Merhaba canım öğrencim, bu soruda bize bir sıklık tablosu verilmiş ve bu verilerin bir daire grafiğinde gösterileceği söyleniyor. Bizden istenen ise kayısı suyunu gösteren daire diliminin merkez açısını bulmak.
Adım 1: Tablodaki tüm verilerin toplamını bulalım.
Toplam öğrenci sayısı = Portakal + Şeftali + Kayısı + Elma + Karışık
Toplam = 5 + 20 + 15 + 13 + 7
Toplama işlemini yapalım:
5 + 20 = 25
25 + 15 = 40
40 + 13 = 53
53 + 7 = 60
Toplam öğrenci sayısı 60’tır.
Adım 2: Kayısı seven öğrenci sayısını bulalım.
Tabloya göre kayısı seven öğrenci sayısı 15’tir.
Adım 3: Daire diliminin merkez açısını hesaplayalım.
Bir dairenin tamamı 360 derecedir. Daire diliminin merkez açısını bulmak için, o kategoriye ait sayının, toplam sayıya oranını 360 derece ile çarparız.
Merkez Açısı = (Kayısı Seven Öğrenci Sayısı / Toplam Öğrenci Sayısı) × 360°
Merkez Açısı = $frac{15}{60} times 360°$
Önce kesri sadeleştirelim:
$frac{15}{60}$ kesrini 15 ile sadeleştirirsek $frac{1}{4}$ olur.
Şimdi hesaplamayı yapalım:
Merkez Açısı = $frac{1}{4} times 360°$
Merkez Açısı = $frac{360°}{4}$
Merkez Açısı = 90°
Sonuç olarak, kayısı suyunu gösteren daire diliminin merkez açısı 90°’dir.
Doğru cevap d) 90°
Umarım bu açıklamalar soruları daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Matematik yolculuğunda başarılar dilerim!