Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim! Matematik dersinde özdeşlikler konusunu pekiştirmek için harika bir fırsatımız var. Sana gönderdiğin bu soruları birlikte adım adım, en ince ayrıntısına kadar inceleyerek çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Sıra Sizde
Aşağıdaki soruları özdeşliklerden yararlanarak yanıtlayınız.
a) Toplamları 9, karelerinin toplamları 41 olan iki doğal sayının çarpımı kaçtır?
Burada iki doğal sayı var, bu sayılara a ve b diyelim.
Bize verilen bilgiler şunlar:
- Sayıların toplamı 9: a + b = 9
- Sayıların karelerinin toplamı 41: a² + b² = 41
Bizden istenen ise bu iki sayının çarpımı, yani a * b‘yi bulmak.
Bu tür sorularda aklımıza hemen (a + b)² özdeşliği gelmeli. Çünkü bu özdeşlik, a + b, a² + b² ve a * b terimlerini bir araya getirir.
Hatırlayalım özdeşliğimizi:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Şimdi elimizdeki bilgileri bu özdeşlikte yerine koyalım:
Biliyoruz ki a + b = 9. O zaman (a + b)² yerine 9² yazabiliriz.
Biliyoruz ki a² + b² = 41. Özdeşlikte a² ve b²’yi bir araya getirip 41 yazabiliriz.
Özdeşliğimiz şöyle olur:
9² = 41 + 2ab
Şimdi bu denklemi çözerek 2ab‘yi bulalım:
81 = 41 + 2ab
41’i eşitliğin diğer tarafına atalım:
81 – 41 = 2ab
40 = 2ab
Bizden istenen a * b olduğu için, eşitliğin her iki tarafını da 2’ye bölelim:
40 / 2 = ab
20 = ab
Demek ki, bu iki doğal sayının çarpımı 20‘dir.
b) a – b = 7, a² + b² = 109 ise “ab” kaçtır?
Bu soruda da yine sayılarımız var, a ve b diyelim yine.
Bize verilen bilgiler:
- Farkları 7: a – b = 7
- Karelerinin toplamı 109: a² + b² = 109
Bizden istenen ise a * b‘yi bulmak.
Bu soruda da bize verilenlere uygun olarak (a – b)² özdeşliğini kullanmalıyız.
Hatırlayalım özdeşliğimizi:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Şimdi elimizdeki bilgileri bu özdeşlikte yerine koyalım:
Biliyoruz ki a – b = 7. O zaman (a – b)² yerine 7² yazabiliriz.
Biliyoruz ki a² + b² = 109. Özdeşlikte a² ve b²’yi bir araya getirip 109 yazabiliriz.
Özdeşliğimiz şöyle olur:
7² = 109 – 2ab
Şimdi bu denklemi çözerek 2ab‘yi bulalım:
49 = 109 – 2ab
Şimdi -2ab‘yi eşitliğin sol tarafına, 49’u da sağ tarafına alalım:
2ab = 109 – 49
2ab = 60
Bizden istenen a * b olduğu için, eşitliğin her iki tarafını da 2’ye bölelim:
ab = 60 / 2
ab = 30
Yani “ab” değeri 30‘dur.
Öğrendiklerimizi Uygulayalım
1. Aşağıda verilen eşitliklerden özdeşlik olanların başındaki kutucuğa “x” işaretini koyunuz.
Özdeşlik demek, eşitliğin her iki tarafının da her zaman birbirine eşit olması demektir. Yani değişkenlerin yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım eşitlik doğru olmalıdır. Şimdi her bir maddeyi tek tek inceleyelim:
- 3x(2x – 9) = 6x² – 27x
- (x + 5) * (x – 7) = x² – x – 35
- -2a(a + 3x) = -2ax + 2a²
- (2a – b) * (2a + b) = 4a² – b²
- (2x + 3) * (3x – 7) = 6x² – 5x – 21
- I. (x + 5y)²
- II. (2x – 3y)²
- III. (3x + 8)²
- IV. (4 – 9x)²
- V. (7 – 6xy)²
- I. -> (….) x² + 10xy + 25y²
- II. -> (….) 4x² – 12xy + 9y²
- III. -> (….) 64 + 48x + 9x²
- IV. -> (….) 16 – 72x + 81x²
- V. -> (….) 49 – 84xy + 36x²y²
- Uzun kenar: 5a
- Kısa kenar: 2a
- Yeni uzun kenar: 5a + 2
- Yeni kısa kenar: 2a + 2
Bu eşitliğin sol tarafını dağılma özelliğini kullanarak açalım:
3x * 2x = 6x²
3x * (-9) = -27x
Yani, sol taraf 6x² – 27x olur. Bu da sağ taraftaki ifadeyle aynı. O halde bu bir özdeşliktir. Kutucuğa x koyuyoruz.
Bu eşitliğin sol tarafını çarpma işlemiyle açalım:
(x + 5) * (x – 7) = x * (x – 7) + 5 * (x – 7)
= x² – 7x + 5x – 35
= x² – 2x – 35
Sol taraf x² – 2x – 35 oldu. Sağ tarafta ise x² – x – 35 var. Ortadaki terimler farklı olduğu için bu bir özdeşlik değildir. Kutucuğa x koymuyoruz.
Bu eşitliğin sol tarafını dağılma özelliğini kullanarak açalım:
-2a * a = -2a²
-2a * 3x = -6ax
Yani, sol taraf -2a² – 6ax olur. Sağ tarafta ise -2ax + 2a² var. Hem işaretler hem de terimler farklı. Bu bir özdeşlik değildir. Kutucuğa x koymuyoruz.
Bu eşitliğin sol tarafı, iki kare farkı özdeşliğinin bir örneğidir. Hatırlayalım: (x – y)(x + y) = x² – y²
Burada x yerine 2a, y yerine b gelmiş.
O halde sol tarafı açarsak:
(2a)² – b² = 4a² – b²
Bu da sağ taraftaki ifadeyle aynı. O halde bu bir özdeşliktir. Kutucuğa x koyuyoruz.
Bu eşitliğin sol tarafını çarpma işlemiyle açalım:
(2x + 3) * (3x – 7) = 2x * (3x – 7) + 3 * (3x – 7)
= 6x² – 14x + 9x – 21
= 6x² – 5x – 21
Sol taraf da sağ taraf da 6x² – 5x – 21 oldu. O halde bu bir özdeşliktir. Kutucuğa x koyuyoruz.
2. Aşağıda verilen ifadeleri, özdeş olduğu ifadelerle eşleştiriniz.
Burada soldaki ifadelerin karelerini alarak sağdaki hangi ifadeye eşit olduklarını bulacağız.
Bu ifadeyi (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliği ile açalım:
a = x, b = 5y
x² + 2 * x * (5y) + (5y)²
= x² + 10xy + 25y²
Sağ taraftaki x² + 10xy + 25y² ile eşleşir.
Bu ifadeyi (a – b)² = a² – 2ab + b² özdeşliği ile açalım:
a = 2x, b = 3y
(2x)² – 2 * (2x) * (3y) + (3y)²
= 4x² – 12xy + 9y²
Sağ taraftaki 4x² – 12xy + 9y² ile eşleşir.
Bu ifadeyi (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliği ile açalım:
a = 3x, b = 8
(3x)² + 2 * (3x) * 8 + 8²
= 9x² + 48x + 64
Bu ifadeyi sağ tarafta biraz düzenleyerek bulabiliriz. Genellikle sabit terim sonda yazılır. 64 + 48x + 9x² şeklinde yazılmış olan ifade ile eşleşir.
Bu ifadeyi (a – b)² = a² – 2ab + b² özdeşliği ile açalım:
a = 4, b = 9x
4² – 2 * 4 * (9x) + (9x)²
= 16 – 72x + 81x²
Sağ taraftaki 16 – 72x + 81x² ile eşleşir.
Bu ifadeyi (a – b)² = a² – 2ab + b² özdeşliği ile açalım:
a = 7, b = 6xy
7² – 2 * 7 * (6xy) + (6xy)²
= 49 – 84xy + 36x²y²
Sağ taraftaki 49 – 84xy + 36x²y² ile eşleşir.
Eşleştirmelerimiz şöyle oluyor:
3. Aşağıda verilen ifadelere özdeş olan ifadeleri yazınız.
Bu soruda da yine özdeşlikleri kullanarak verilen ifadelerin eşitlerini bulacağız.
a) (2z – 3y) * (2z + 3y) =
Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir: (a – b)(a + b) = a² – b²
Burada a = 2z ve b = 3y’dir.
O halde eşitimiz:
(2z)² – (3y)² = 4z² – 9y²
b) 16 – x² =
Bu ifade de iki kare farkı şeklindedir. 16 sayısı 4²‘ye eşittir.
Yani 4² – x² şeklinde düşünebiliriz.
İki kare farkı özdeşliğini uygularsak: (4 – x)(4 + x)
c) 25x² – 36 =
Bu da iki kare farkı. 25x² sayısı (5x)²‘ye eşittir. 36 sayısı ise 6²‘ye eşittir.
Yani (5x)² – 6² şeklinde.
İki kare farkı özdeşliğini uygularsak: (5x – 6)(5x + 6)
c) 9a²b² – c² =
Bu da iki kare farkı. 9a²b² sayısı (3ab)²‘ye eşittir. c² ise zaten karesel bir ifade.
Yani (3ab)² – c² şeklinde.
İki kare farkı özdeşliğini uygularsak: (3ab – c)(3ab + c)
d) 1 – 4y² =
Bu da iki kare farkı. 1 sayısı 1²‘ye eşittir. 4y² sayısı ise (2y)²‘ye eşittir.
Yani 1² – (2y)² şeklinde.
İki kare farkı özdeşliğini uygularsak: (1 – 2y)(1 + 2y)
4. Kenar uzunlukları 5a ve 2a olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ikişer birim artırılıyor. Yeni oluşan dikdörtgenin alanı kaç br² olur?
Başlangıçtaki dikdörtgenimizin kenar uzunlukları:
Kenar uzunlukları ikişer birim artırılıyor:
Yeni oluşan dikdörtgenin alanını bulmak için bu iki kenarı çarpmamız gerekir:
Alan = (Yeni Uzun Kenar) * (Yeni Kısa Kenar)
Alan = (5a + 2) * (2a + 2)
Şimdi bu çarpma işlemini yapalım. Dağılma özelliğini kullanacağız:
(5a + 2) * (2a + 2) = 5a * (2a + 2) + 2 * (2a + 2)
= (5a * 2a) + (5a * 2) + (2 * 2a) + (2 * 2)
= 10a² + 10a + 4a + 4
Benzer terimleri birleştirelim:
= 10a² + (10a + 4a) + 4
= 10a² + 14a + 4
Yeni oluşan dikdörtgenin alanı 10a² + 14a + 4 br² olur.
5. x² – Y = (x – 13) * (x + 13) ifadesinin bir özdeşlik olması için “Y” yerine hangi sayı gelmelidir?
Bu soruda bize verilen bir ifade var ve bunun bir özdeşlik olması isteniyor. Özdeşlik olması için eşitliğin her iki tarafının da birbirine eşit olması gerekir.
Verilen eşitlik:
x² – Y = (x – 13) * (x + 13)
Eşitliğin sağ tarafı, iki kare farkı özdeşliğinin bir örneğidir: (a – b)(a + b) = a² – b²
Burada a = x ve b = 13’tür.
O halde sağ tarafı açarsak:
(x – 13) * (x + 13) = x² – 13²
= x² – 169
Şimdi bu sonucu eşitliğin sol tarafına eşitleyelim:
x² – Y = x² – 169
Bu eşitliğin bir özdeşlik olabilmesi için, her iki tarafın da aynı olması gerekir. x² terimleri zaten aynı.
O halde -Y‘nin -169‘a eşit olması gerekir.
-Y = -169
Her iki tarafı -1 ile çarparsak:
Y = 169
Yani “Y” yerine gelmesi gereken sayı 169‘dur.
6. 100² – 98² = 2 * M ise, M yerine hangi sayı gelmelidir?
Bu soruda yine bir eşitlik var ve M’yi bulmamız isteniyor. Eşitliğin sol tarafı, iki kare farkı özdeşliği şeklinde duruyor.
Verilen eşitlik:
100² – 98² = 2 * M
Önce sol tarafı iki kare farkı özdeşliği ile açalım: a² – b² = (a – b)(a + b)
Burada a = 100 ve b = 98’dir.
Sol tarafı açarsak:
(100 – 98) * (100 + 98)
Şimdi bu işlemleri yapalım:
100 – 98 = 2
100 + 98 = 198
Yani sol taraf şöyle olur:
2 * 198
Şimdi bu sonucu eşitliğin sağ tarafına eşitleyelim:
2 * 198 = 2 * M
Bu eşitlikte M’yi bulmak için her iki tarafı da 2’ye bölebiliriz:
198 = M
Yani M yerine gelmesi gereken sayı 198‘dir.
Umarım her adımı anlaşılır bir şekilde anlatabilmişimdir. Özdeşlikler matematiğin temel taşlarından, bol bol pratik yaparak bu konuya iyice hakim olabilirsin. Başarılar dilerim!