Merhaba sevgili öğrencim! Ben Matematik öğretmeninim. Seninle bu sayfadaki problemleri, tıpkı sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi adım adım ve anlaşılır bir şekilde inceleyeceğiz. Bu sorular LGS sürecinde karşına çıkabilecek EBOB ve EKOK konusunun en temel ve güzel örnekleri. Hazırsan arkana yaslan, kağıdını kalemini hazırla ve başlayalım!
1. Aynı anda hareket eden iki gemiden birincisi 7, ikincisi 9 günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi, ilk kez birlikte hareket ettikten en az kaç gün sonra tekrar birlikte hareket eder?
Bu soruda iki farklı zaman aralığı var ve bu gemilerin ne zaman “tekrar” buluşacağını soruyor. Gelecekteki bir buluşma noktasını aradığımız için EKOK (En Küçük Ortak Kat) bulmamız gerekir.
Adım 1: 7 ve 9 sayılarını inceleyelim. Bu iki sayı aralarında asaldır, yani 1 dışında ortak bölenleri yoktur.
Adım 2: Aralarında asal sayıların EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir.
EKOK(7, 9) = 7 x 9 = 63
Sonuç: Bu iki gemi en az 63 gün sonra tekrar birlikte hareket eder.
2. Boyutları 9 cm ve 15 cm olan dikdörtgenlerden bir kare yapılmak isteniyor. En az kaç tane dikdörtgene ihtiyaç vardır?
Küçük parçaları birleştirip büyük bir bütün (kare) oluşturacağız. Parçadan bütüne gittiğimiz için EKOK kullanmalıyız. Karenin tüm kenarları eşit olmalıdır, yani hem 9’un hem de 15’in katı olan bir uzunluk bulmalıyız.
Adım 1: 9 ve 15’in EKOK’unu bulalım.
9 = 32
15 = 3 x 5
EKOK(9, 15) = 32 x 5 = 9 x 5 = 45 cm. (Oluşturacağımız karenin bir kenarı 45 cm olmalı).
Adım 2: Şimdi kaç tane dikdörtgen gerektiğini bulmak için karenin alanını, bir dikdörtgenin alanına bölelim.
Kare Alanı = 45 x 45
Dikdörtgen Alanı = 9 x 15
Dikdörtgen Sayısı = (45 x 45) / (9 x 15)
(45 / 9) = 5 (Yatayda 5 tane)
(45 / 15) = 3 (Dikeyde 3 tane)
5 x 3 = 15
Sonuç: En az 15 tane dikdörtgene ihtiyaç vardır.
3. 72 kg fasulye ve 108 kg nohut, eşit hacimlerdeki poşetlere doldurulacaktır. Fasulye ve nohut birbirine karıştırılmayacak ve hiç artmayacak şekilde en az kaç poşete doldurulabilir?
Büyük çuvalları küçük poşetlere paylaştırıyoruz. Bütünü parçalara ayırdığımız için EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kullanmalıyız. Poşet sayısının “en az” olması için, poşetlerin alabileceği “en büyük” miktarı bulmalıyız.
Adım 1: 72 ve 108 sayılarının EBOB’unu bulalım.
72 = 36 x 2
108 = 36 x 3
İkisini de bölen en büyük sayı 36‘dır. Yani bir poşet 36 kg alacak.
Adım 2: Şimdi kaç poşet gerektiğini hesaplayalım.
Fasulye için: 72 / 36 = 2 poşet
Nohut için: 108 / 36 = 3 poşet
Adım 3: Toplam poşet sayısını bulalım.
2 + 3 = 5
Sonuç: En az 5 poşete ihtiyaç vardır.
4. Bir okulun öğrencileri sekizer ve onarlı gruplandığında hep 5 öğrenci açıkta kalıyor. Okuldaki öğrenci sayısının 300’den fazla olduğu bilindiğine göre okulun mevcudu en az kaçtır?
Öğrenciler 8’er ve 10’ar sayılabiliyorsa, öğrenci sayısı (artan 5 kişiyi saymazsak) hem 8’in hem de 10’un katı olmalıdır. Yani EKOK bulacağız.
Adım 1: 8 ve 10’un EKOK’unu bulalım.
8 = 23
10 = 2 x 5
EKOK(8, 10) = 40. (Öğrenci sayısı 40’ın katı olmalı).
Adım 2: Okul mevcudu 300’den fazlaymış. 40’ın 300’den büyük en küçük katını bulalım.
40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320.
Adım 3: Her seferinde 5 öğrenci artıyordu. Bu yüzden bulduğumuz sayıya 5 eklemeliyiz.
320 + 5 = 325
Sonuç: Okulun mevcudu en az 325‘tir.
5. 453 sayısından en az kaç çıkaralım ki elde edilen sayı 15 ve 18 ile tam bölünebilsin?
Bir sayının hem 15’e hem 18’e bölünmesi için, bu sayıların EKOK‘una bölünmesi gerekir.
Adım 1: 15 ve 18’in EKOK’unu bulalım.
15 = 3 x 5
18 = 2 x 9 = 2 x 32
EKOK(15, 18) = 2 x 32 x 5 = 2 x 9 x 5 = 90.
Adım 2: 453 sayısına en yakın ama 453’ten küçük 90’ın katını bulmalıyız (çünkü çıkarma yapacağız).
90’ın katları: 90, 180, 270, 360, 450, 540…
Adım 3: 453’e en yakın alt kat 450’dir. Aradaki farkı bulalım.
453 – 450 = 3
Sonuç: Bu sayıdan en az 3 çıkarırsak kalan sayı (450) tam bölünür.
6. 9 ve 12’ye bölünebilen üç basamaklı en büyük sayı kaçtır?
Hem 9’a hem 12’ye bölünen bir sayı arıyorsak, önce bunların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: EKOK(9, 12)’yi hesaplayalım.
9 = 32
12 = 3 x 4 = 3 x 22
EKOK = 36.
Adım 2: Şimdi 36’nın katı olan üç basamaklı en büyük sayıyı bulmalıyız. 1000’e yakın bir kat arıyoruz.
1000 ÷ 36 işlemini yaparsak yaklaşık 27 çıkar.
36 x 27 işlemini yapalım.
36 x 27 = 972
Kontrol: 972’ye 36 eklersek 1008 olur (4 basamaklı). Demek ki en büyük sayı 972.
Sonuç: Aradığımız sayı 972‘dir.
7. İki otomatik zil 35 dakika ve 40 dakika aralıklarla çalıyor. Bu ziller, ilk kez birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalar?
Zaman problemi ve “tekrar ne zaman buluşurlar” sorusu olduğu için EKOK kullanacağız.
Adım 1: 35 ve 40 sayılarının EKOK’unu bulalım.
35 = 5 x 7
40 = 5 x 8 = 5 x 23
EKOK(35, 40) = 5 x 7 x 8 = 280
Sonuç: Bu ziller en az 280 dakika sonra tekrar birlikte çalar.
8. Farklı ülkelerden gelen 64 ve 80 kişilik iki turist kafilesi bir otelde konaklayacaktır. Her odadaki turist sayısı eşit olacak ve her odada aynı dili konuşan ve aynı kültüre ait turistler kalacaktır. Bunun için en az kaç oda gereklidir?
Turistleri odalara paylaştırıyoruz, yani bölüyoruz. Oda sayısının “en az” olması için, bir odaya koyabileceğimiz “en fazla” turisti koymalıyız. Bu bir EBOB sorusudur.
Adım 1: 64 ve 80’in EBOB’unu bulalım.
İkisi de 8’e bölünür, ikisi de 16’ya bölünür.
64 = 16 x 4
80 = 16 x 5
EBOB(64, 80) = 16. (Her odada 16 kişi kalacak).
Adım 2: Kaç oda gerektiğini bulalım.
1. Kafile: 64 / 16 = 4 oda
2. Kafile: 80 / 16 = 5 oda
Adım 3: Toplayalım.
4 + 5 = 9
Sonuç: En az 9 oda gereklidir.
9. 45 kişilik bir topluluğa en az kaç kişi daha eklenirse yeni oluşan topluluk hem altışarlı hem beşerli gruplara ayrılabilir?
Topluluk hem 6’ya hem 5’e tam bölünebilmeli. Yani 6 ve 5’in katı olmalı.
Adım 1: 6 ve 5’in EKOK’unu bulalım. Ardışık sayılar aralarında asaldır.
EKOK(5, 6) = 5 x 6 = 30.
Adım 2: Topluluk sayısı 30’un katı olmalı. Mevcut sayı 45. 45’ten büyük 30’un en küçük katını bulalım.
30, 60, 90…
Adım 3: Sayının 60 olması için kaç kişi eklemeliyiz?
60 – 45 = 15
Sonuç: En az 15 kişi daha eklenmelidir.
10. Kenar uzunlukları 42 cm ve 36 m olan bir bahçenin etrafına, eşit aralıklarla ve köşelerine de gelecek şekilde ağaç dikilecektir. Bunun için en az kaç ağaç gereklidir?
Not: Soruda birim hatası var gibi görünüyor (biri cm biri m yazılmış), ancak bu tip sorularda genellikle ikisi de aynı birim (metre) kabul edilir. Biz ikisini de metre olarak düşünüp çözelim.
Bahçenin çevresini eşit aralıklara böleceğiz. Ağaç sayısının az olması için aralıkların en geniş olması gerekir. Bu bir EBOB sorusudur.
Adım 1: 42 ve 36’nın EBOB’unu bulalım (İki ağaç arası mesafe).
42 = 6 x 7
36 = 6 x 6
EBOB(42, 36) = 6 metre.
Adım 2: Çevre uzunluğunu bulup, iki ağaç arası mesafeye bölelim.
Çevre = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 x (36 + 42) = 2 x 78 = 156 metre.
Adım 3: Ağaç Sayısı = Çevre / EBOB
Ağaç Sayısı = 156 / 6 = 26
Sonuç: En az 26 ağaç gereklidir.