Merhaba sevgili öğrencim, bugün seninle birlikte çarpanlara ayırma konusunun en önemli iki başlığını inceleyeceğiz: **Tam Kare Özdeşliği** ve **İki Kare Farkı Özdeşliği**. Matematikte bu kalıpları görmek, bulmaca çözmek gibidir; parçaları yerine koyduğunda resim ortaya çıkar.
Senin için sayfadaki “Sıra Sizde” bölümlerindeki soruları tek tek, sanki yan yana ders çalışıyormuşuz gibi inceledim. Hadi başlayalım!
1. Bölüm: Aşağıda verilen cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
Buradaki soruların hepsi Tam Kare Özdeşliği ile ilgilidir. Yani (a + b)² veya (a – b)² formundadırlar. Kuralımız çok basit:
- Birinci terimin karekökünü al.
- Üçüncü terimin karekökünü al.
- Bu ikisinin çarpımının 2 katı ortadaki terimi veriyor mu diye kontrol et.
- Eğer veriyorsa ve ortadaki işaret artı (+) ise toplamın karesi, eksi (-) ise farkın karesidir.
a) x² + 8x + 16
Adım 1: İlk terim x² neyin karesidir? ->x‘in.
Adım 2: Son terim 16 neyin karesidir? ->4‘ün.
Adım 3: Kontrol edelim. Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı ortayı veriyor mu?
2 . x . 4 = 8x (Evet, veriyor!)
Adım 4: Ortadaki işaret (+) olduğu için bu bir toplamın karesidir.
Sonuç: (x + 4)² = (x + 4) . (x + 4)
b) 9a² + 30a + 25
Adım 1: İlk terim 9a² neyin karesidir? ->3a‘nın.
Adım 2: Son terim 25 neyin karesidir? ->5‘in.
Adım 3: Sağlama yapalım. (3a) ile (5)’i çarpıp 2 katını alalım.
2 . 3a . 5 = 30a (Evet, ortadaki terimi verdi!)
Adım 4: İşaretler pozitif olduğu için araya artı koyuyoruz.
Sonuç: (3a + 5)² = (3a + 5) . (3a + 5)
c) x² – 14x + 49
Adım 1: İlk terim x² ->x‘in karesi.
Adım 2: Son terim 49 ->7‘nin karesi.
Adım 3: Kontrol zamanı.
2 . x . 7 = 14x (Ortadaki sayı tutuyor.)
Adım 4: Dikkat! Ortadaki terimin işareti eksi (-) olduğu için bu sefer araya eksi koyacağız.
Sonuç: (x – 7)² = (x – 7) . (x – 7)
ç) x² – 16x + 64
Adım 1: İlk terim x² ->x‘in karesi.
Adım 2: Son terim 64 ->8‘in karesi.
Adım 3: Sağlama yapalım.
2 . x . 8 = 16x (Ortayı verdi.)
Adım 4: Ortadaki işaret eksi (-) olduğu için bu bir farkın karesidir.
Sonuç: (x – 8)² = (x – 8) . (x – 8)
2. Bölüm: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
Şimdi sayfanın alt kısmındaki sorulara geçtik. Burada İki Kare Farkı özdeşliğini kullanacağız. Uzun uzun sayıların karesini alıp çıkarmak yerine şu sihirli formülü kullanacağız:
a² – b² = (a – b) . (a + b)
Yani sayıları bir çıkaracağız, bir toplayacağız, sonra da çarpacağız. Bu işimizi çok kolaylaştıracak.
a) 48² – 45²
Adım 1: Sayıları formüle yerleştirelim. Bir çıkar, bir topla.
(48 – 45) . (48 + 45)
Adım 2: Parantez içlerini bulalım.
Farkları: 48 – 45 = 3
Toplamları: 48 + 45 = 93
Adım 3: Çıkan sonuçları çarpalım.
3 . 93 = 279
Sonuç: 279
b) 39² – 35²
Adım 1: Yine aynı kuralı uyguluyoruz. İki sayının farkı ile toplamını çarpacağız.
(39 – 35) . (39 + 35)
Adım 2: Parantez içlerindeki işlemleri yapalım.
Farkları: 39 – 35 = 4
Toplamları: 39 + 35 = 74
Adım 3: Şimdi 4 ile 74’ü çarpalım.
4 . 74 = 296
Sonuç: 296
c) 100² – 81²
Adım 1: Formülümüzü yazalım.
(100 – 81) . (100 + 81)
Adım 2: İşlemleri yapalım.
Farkları: 100 – 81 = 19
Toplamları: 100 + 81 = 181
Adım 3: Şimdi 19 ile 181’i çarpmamız gerekiyor. Bu biraz daha büyük bir işlem, dikkatli çarpalım.
181 . 19 işlemi için:
181 . 20 = 3620 (20 tane olsa böyle olurdu)
3620 – 181 = 3439 (Bir tanesini çıkarırsak 19 tane kalır)
Veya alt alta çarpabilirsin:
181
x 19
——
1629 (9 kere 181)
+ 181 (1 kere 181, basamak kaydırarak)
——
3439
Sonuç: 3439
Gördüğün gibi, özdeşlikleri bildiğimizde hem harfli ifadeleri düzenlemek hem de büyük sayılarla işlem yapmak çok daha kolay hale geliyor. Bol bol tekrar yapmayı unutma, başarılar!