Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle matematik kitabımızdaki örnek soruları inceleyip, bu konuları daha iyi anlamak için birlikte çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
7. Örnek
Aşağıda çarpanlarına ayrılmış cebirsel ifadelerde boş bırakılan yerlere gelmesi gereken terimleri bulalım.
a) (3x – ⬜)² = 9x² – 12x + 4
b) (⬜ + a)² = 16 + 8a + a²
c) (5x – 2y)² = 25x² – ⬜ + 4y²
Çözüm
Eşitliklerde terimlerin eksik olmayan taraflarını çarpanlarına ayıralım.
a) 9x² – 12x + 4 = (3x – 2)² ise boş yere 2 gelmelidir.
- Adım 1: İfadeye baktığımızda (3x)² = 9x² olduğunu görüyoruz. Bu, ilk terim.
- Adım 2: Sabit terim olan 4’ün ise 2² olduğunu görüyoruz. Bu da son terim.
- Adım 3: Ortadaki terim olan -12x’in, (a-b)² açılımındaki -2ab kısmına denk gelmesi gerekiyor. Burada a=3x ve b=2 alırsak, -2 * (3x) * 2 = -12x olur. Bu da tam olarak ortadaki terim.
- Sonuç: Demek ki boş yere gelmesi gereken sayı 2 imiş.
b) 16 + 8a + a² = (4 + a)² ise boş yere 4 gelmelidir.
- Adım 1: İfadeye baktığımızda a² zaten bir tam kare.
- Adım 2: Sabit terim olan 16’nın ise 4² olduğunu görüyoruz.
- Adım 3: Ortadaki terim olan 8a’nın, (a+b)² açılımındaki 2ab kısmına denk gelmesi gerekiyor. Burada a=a ve b=4 alırsak, 2 * a * 4 = 8a olur. Bu da tam olarak ortadaki terim.
- Sonuç: Demek ki boş yere gelmesi gereken sayı 4 imiş.
c) (5x – 2y)² = (5x)² – 2 . 5x . 2y + (-2y)² = 25x² – 20xy + 4y² ise boş yere 20xy gelmelidir.
- Adım 1: Burada verilen ifade zaten (a-b)² şeklinde açılmış.
- Adım 2: İlk terim (5x)² = 25x².
- Adım 3: Son terim (-2y)² = 4y².
- Adım 4: Ortadaki terim ise -2ab formülü ile bulunur. Burada a=5x ve b=2y alırsak, -2 * (5x) * (2y) = -20xy olur.
- Sonuç: Demek ki boş yere gelmesi gereken terim 20xy imiş.
→ Sira Sizde
Aşağıdaki eşitliklerde boş bırakılan yerlere gelmesi gereken terimleri bulunuz.
a) (2x – ⬜)² = 4x² – 4x + 1
- Adım 1: İlk terim (2x)² = 4x².
- Adım 2: Son terim 1’in karesi de 1’dir.
- Adım 3: Ortadaki terim -4x’tir. (a-b)² açılımında -2ab’ye eşittir.
- Adım 4: a=2x olarak verilmiş. O zaman -2 * (2x) * b = -4x olmalıdır.
- Adım 5: Bu denklemi çözersek: -4xb = -4x, buradan b = 1 bulunur.
- Sonuç: Boş yere 1 gelmelidir.
b) (⬜ + 3b)² = a² + 6ab + 9b²
- Adım 1: İfade (a+b)² şeklinde açılmış gibi görünüyor.
- Adım 2: Son terim 9b², (3b)²’ye eşittir. Bu, b’nin 3b olduğunu gösterir.
- Adım 3: Ortadaki terim 6ab’dir. (a+b)² açılımında 2ab’ye eşittir.
- Adım 4: Burada b=3b olarak bulduk. O zaman 2 * a * (3b) = 6ab olmalıdır.
- Adım 5: Bu ifade zaten soruda verilmiş olan ortadaki terimle aynı.
- Sonuç: Demek ki ilk terim olan ‘a’ boş yere gelmelidir.
c) (4x + 2z)² = 16x² + ⬜ + 4z²
- Adım 1: Bu ifade (a+b)² şeklinde açılmış.
- Adım 2: İlk terim (4x)² = 16x².
- Adım 3: Son terim (2z)² = 4z².
- Adım 4: Ortadaki terim 2ab formülü ile bulunur. Burada a=4x ve b=2z alırsak, 2 * (4x) * (2z) = 16xz olur.
- Sonuç: Boş yere 16xz gelmelidir.
? Öğrendiklerimizi Uygulayalım
1. Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırınız.
a) 3x + 12
- Adım 1: Bu ifadede hem 3x hem de 12’yi bölen en büyük sayı 3’tür.
- Adım 2: 3’ü parantez dışına alırsak, parantez içine (3x/3) + (12/3) kalır.
- Adım 3: Bu da 3(x + 4) olur.
- Sonuç: 3(x + 4)
b) 2x + 8x²
- Adım 1: Bu ifadede hem 2x hem de 8x²’yi bölen en büyük ifade 2x’tir.
- Adım 2: 2x’i parantez dışına alırsak, parantez içine (2x/2x) + (8x²/2x) kalır.
- Adım 3: Bu da 2x(1 + 4x) olur.
- Sonuç: 2x(1 + 4x)
c) xy² – 5xy
- Adım 1: Bu ifadede hem xy² hem de 5xy’yi bölen en büyük ifade xy’dir.
- Adım 2: xy’yi parantez dışına alırsak, parantez içine (xy²/xy) – (5xy/xy) kalır.
- Adım 3: Bu da xy(y – 5) olur.
- Sonuç: xy(y – 5)
ç) x²y – 6xy – xy²
- Adım 1: Bu ifadede hem x²y, hem 6xy hem de xy²’yi bölen en büyük ifade xy’dir.
- Adım 2: xy’yi parantez dışına alırsak, parantez içine (x²y/xy) – (6xy/xy) – (xy²/xy) kalır.
- Adım 3: Bu da xy(x – 6 – y) olur.
- Sonuç: xy(x – 6 – y)
d) 2x + 6y
- Adım 1: Bu ifadede hem 2x hem de 6y’yi bölen en büyük sayı 2’dir.
- Adım 2: 2’yi parantez dışına alırsak, parantez içine (2x/2) + (6y/2) kalır.
- Adım 3: Bu da 2(x + 3y) olur.
- Sonuç: 2(x + 3y)
e) x³ + x² + x
- Adım 1: Bu ifadede hem x³, hem x² hem de x’i bölen en büyük ifade x’tir.
- Adım 2: x’i parantez dışına alırsak, parantez içine (x³/x) + (x²/x) + (x/x) kalır.
- Adım 3: Bu da x(x² + x + 1) olur.
- Sonuç: x(x² + x + 1)
2. Aşağıdaki cebirsel ifadeleri, iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırınız.
a) 9 – a²
- Adım 1: İfadeyi (3)² – a² şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliği (a² – b² = (a – b)(a + b)’dir.
- Adım 3: Burada a yerine 3, b yerine a gelmektedir.
- Adım 4: Özdeşliği uygularsak (3 – a)(3 + a) elde ederiz.
- Sonuç: (3 – a)(3 + a)
b) 121 – a²
- Adım 1: İfadeyi (11)² – a² şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliğini uygularsak (11 – a)(11 + a) elde ederiz.
- Sonuç: (11 – a)(11 + a)
c) 101² – 98²
- Adım 1: Bu zaten iki kare farkı şeklinde verilmiş.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliğini uygularsak (101 – 98)(101 + 98) olur.
- Adım 3: Şimdi bu işlemleri yapalım:
- Adım 4: Son olarak bu iki sayıyı çarparız: 3 * 199 = 597
- Sonuç: 597
101 – 98 = 3
101 + 98 = 199
ç) y² – 36
- Adım 1: İfadeyi y² – (6)² şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliğini uygularsak (y – 6)(y + 6) elde ederiz.
- Sonuç: (y – 6)(y + 6)
d) y²z² – 36
- Adım 1: İfadeyi (yz)² – (6)² şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliğini uygularsak (yz – 6)(yz + 6) elde ederiz.
- Sonuç: (yz – 6)(yz + 6)
e) 81 – 144a²
- Adım 1: İfadeyi (9)² – (12a)² şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliğini uygularsak (9 – 12a)(9 + 12a) elde ederiz.
- Sonuç: (9 – 12a)(9 + 12a)
Umarım bu çözümler konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen sormaktan çekinmeyin!